MATLAB实现数字巴特沃斯⾼通IIR滤波器xuejie（可编辑） MATLAB实现数字巴特沃斯⾼通IIR滤波器xuejie（可编
辑）
MATLAB实现数字巴特沃斯⾼通IIR滤波器xuejie
⽬录摘要 1
Abstract 2
系统设计 3 2
2.1 设计思路 3
2.2 设计⽅法对⽐ 4
设计步骤 5 2.4
3 仿真程序的设计与调试 6
3.1 数字域指标变换成模拟域指标 6 3.2 数字域频率进⾏预畸变 6 3.3 模拟滤波器的设计 7 3.4 模拟滤波器变成数字滤波器 8 3.5 理论计算数字滤波器的仿真 11
利福平注射液4.程序调试中出现的问题 12
5. 总结与体会 13
参考⽂献 14
附录⼀总程序如下 15
附录⼆设计数字滤波器函数总结 17
摘要
此报告重点介绍了⽤双线性不变法设计IIR数字滤波器的基本流程，⽐较了各种设计⽅法的优缺点，总结了模拟滤波器的性能特征。最后以双线性不变法设
计了⼀个⾼通巴特沃斯IIR数字滤波器，介绍了设计步骤，然后在Matlab环
境
下进⾏了仿真与调试，实现了设计⽬标。
关键词:Matlab 双线性不变法 IIR数字滤波器巴特沃斯⾼通
Abstract
This report introduced with emphasis of the basic flow of designing the IIR digit filter
by the bilinear political reform, compared with each kind of design method's good and bad points, summarized analog filter's performance characteristic. Finally design one by the bilinear political reform to pass Butterworth high IIR digit filter, introduced the design procedure, then has carried on the simulation and the debugging under the Matlab environment, has achieved the project objective.
Key word: Matlab bilinearity political reform
the IIR digital filter pass high butterworth
Matlab课程设计
――设计⼀个数字巴特沃斯⾼通
IIR滤波器
1 设计项⽬要求与说明
课题要求设计⼀个IIR数字滤波器，⾼通，采⽤双线性变换法，⽤巴特
沃斯实现，⽤matlab软件对其进⾏仿真与调试。本设计将先说明⽤双线性法
设
计IIR数字滤波器的原理，然后写出基于matlab的软件设计流程。在对设计
进
⾏调试，分析实验数据。
2 系统设计
此部分将详细介绍IIR数字滤波器的设计流程，⽐较各种设计⽅案的优劣。
2.1 设计思路
IIR滤波器设计的主要⽅法是先设计低通模拟滤波器，然后转换为⾼通、带通
或带阻数字滤波器。对于其他如⾼通，带通，则通过频率变换转换为设计相应的⾼通，带通等。在设计的全过程的各个步
骤，matlab都提供相应的⼯具箱函数，使
得IIR数字滤波器设计变得⾮常简单。总的来说，我的设计思路主要有以下两种: 思路⼀：从归⼀化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率变换成为所需类型
连体人的模拟滤波器；然后进⾏双线性变换，由S域变换到Z域，⽽得到所需类型的数字滤波器。
模拟域冲激响应不变法
频率变换双线性变换法
图2-1 先频率变换再离散
思路⼆：先进⾏双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成数字低通滤波器；然后在Z域内经数字频率变换为所需类型的数字滤波器。
数字域
双线性变换法频率变换
图2-2 先离散再频率变换
以上两种思路都可以，我最后选择了第⼀种思路进⾏设计，即先在模拟域内经频率变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进⾏双线性变换，由S域变换到Z域，⽽得到所需类型的数字滤波器。
2.2 设计⽅法对⽐
⽅案⼀：冲激响应不变法
冲激相应不变法是从时域出发，要求数字滤波器的激响应h n 对应于模拟滤波器ha t 的等间隔抽样，h n ha nT ，其中T是抽样周期，因此时域逼近良好。
优点:h n 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好
线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器
缺点：对时域的采样会造成频域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很⼤，
不能⽤来设计⾼通和带阻滤波器。只适⽤于限带的低通、带通滤波器
⽅案⼆：双线性变换法
双线性变换法是从频域出发，使DF的频率响应与AF的频率响应相似的⼀种变换法。直接使数字滤波器的频率响应，逼近模拟滤波器的频率响应，进⽽求得H z 。
对比分析法优点：避免了频率响应的混迭现象
在特定AF和特定DF处，频率响应是严格相等的，它可以较准确地控制截⽌频率的位置。
它是⼀种简单的代数关系，设计⼗分⽅便。
缺点：除了零频率附近，与之间严重⾮线性，即线性相位模拟滤波器变为⾮线性相位数字滤波器
要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产⽣畸变
对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产⽣畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。
⽅案三：频率变换法
设计思想：从归⼀化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进⾏双线性变换，由S域变换到Z 域，⽽得到所需类型的数字滤波器。
先进⾏双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成数字低通滤波器；然后在Z 域内经数字频率变换为所需类型的数字滤波器。
综上所述，频率变换法是基于双线性变换法或冲激响应不变法(⽤于频带变换)，此处选择双线性变换法主要是基于要获得严格的频率响应，以及较准确地控制截⽌频率的位置。⽽由于此种⽅法是⼀种简单的代数关系，设计也⼗分⽅便。
2.3典型模拟滤波器⽐较
白铜锡
1、Butterworth巴特沃斯滤波器：它具有单调下降的幅频特性；即最平幅度。
2、Chebyshev切⽐雪夫滤波器：在通带或阻带等波纹，可提⾼选择性。
3.Bessel贝塞尔滤波器：在通带内有较好的线性相位特性。
4.Ellipse椭圆滤波器：其选择性相对前三种是最好的。
此处选择巴特沃斯主要是想获得最平稳的幅频响应。⽽不计较相位特性，⽽⽤双线性变换法也会将线性相位变为⾮线性相位。
2.4 设计步骤
如设计⼀个数字低通滤波器，其技术指标为:
通带临界频率fp ，通带内衰减⼩于rp;
阻带临界频率fs，阻带内衰减⼤于αs；采样频率为FS
将指标变为⾓频率
wp fp*2*pi;ws fs*2*pi;
(式2-1)
将数字滤波器的频率指标 Wk 由wk 2/T tan Wk/2 转换为模拟滤波器的频率指标 wk ，由于是⽤双线性不变法设计，故先采取预畸变。
; ; (式2-2)
将⾼通指标转换为低通指标，进⽽设计⾼通的s域模型
归⼀化处理 ;; (式2-3)
;; (式2-4)
; (式2-5)
由式2-3，2-4，2-5计算出N，查表可得模拟低通滤波器的阶数，从⽽由下式确定模拟⾼通滤波器的参数。
(式2-6)
3 仿真程序的设计与调试
3.1 数字域指标变换成模拟域指标
其程序为:
fp 400 ; fs 300;
Rp 1; Rs 20; wp fp*2*pi; ws fs*2*pi;
FS 1000;T 1/FS;
程序执⾏结果为:wp 2.5133e+003
ws 1.8850e+003 与实际计算结果相符。
3.2 数字域频率进⾏预畸变
其程序为:
wp2 2*tan Wp/2 /T; ws2 2*tan Ws/2 /T;
经过预畸变，可以发现频率变为:
wp2 6.1554e+003 ws2 2.7528e+003
3.3 模拟滤波器的设计
其程序为
%设计模拟滤波器
[N,Wn] buttord wp2,ws2,Rp,Rs,'s' [z,p,k] buttap N ; %创建Buttord低通滤波器原型 [Bap,Aap] zp2tf z,p,k ; %由零极点转换为传递函数的形式figure 1
freqs Bap,Aap ; %模拟低通滤波器的频率响应 title 模拟滤波器的频率响应' [Bbs,Abs] lp2hp Bap,Aap,Wn ; %'
模拟低通变⾼通
figure
freqs Bbs,Abs ;
title '模拟滤波器的频率响应'
图3-1 模拟滤波器的频率响应
由上图分析可得：其符合⾼通的⼀般特征，与预期的效果⼀样。⽽在此条件下，Butterworth滤波器低通原型的波形如下图3-2。图3-2模拟滤波器的频率响应[b,a] lp2hp Bap,Aap,Wn ; 功能：把模拟滤波器原型转换成截⾄频率为 Wn 的⾼通滤波器。其中，Bap，Aap 分别为低通传递函数的分⼦向量和分母向量; b，a分别为⾼通传递函数的分⼦向量和分母向量。
3.4 模拟滤波器变成数字滤波器
奉化市实验小学其程序为:
[Bbz,Abz] bilinear Bbs,Abs,FS ; %⽤双线性变换法设计数字滤波器
freqz Bbz,Abz,512,FS ; 程序运⾏的结果为：如下图3-2，图3-3
图3-2 数字滤波器的频率响应
由于使⽤的是双线性不变法设计的，其相位为⾮线性。此处主要是基于要获得严格的频率响应，以及较准确地控制截⽌频率的位置，故画出了详细的幅频响应。(如下图3-2)
图3-3 详细的幅频响应
分析该图可知其在0.6(即300Hz)处的衰减为40dB，⽽在0.8(即400Hz)处的衰减极⼩，应⼩于1dB。由此可见，此设计符合要求设计的参数。
⽽在调试的过程中发现：通带衰减越⼩，滤波器的性能越好
阻带衰减越⼤，滤波器的性能越好
其曲线也越陡峭，选择性越好，当然所⽤的滤波器阶数也越⾼。
当阻带衰减变为40dB(之前为20dB)，通带不变时，其波形如下图3-4。对⽐上图3-3可知，其在阻带临界频率处衰减变为了40dB，曲线变陡峭了。
图3-4 详细的幅频响应(阻带衰减为40dB)
当通带变为5dB时，阻带不变时，其波形如下图3-5。对⽐图3-3可知，其在通带处的衰减变为了5dB，曲线平滑了⼀些。
图3-5 详细的幅频响应(通带衰减为5dB)
3.5 理论计算数字滤波器的仿真
wp 0.8*pi;
ws 0.6*pi;
OmegaP 2*1000*tan wp/2 ;
OmegaS 2*1000*tan ws/2 ;
lamdas OmegaP/OmegaS;
N 0.5*log10 10.^ 20/10 -1 / 10.^ 1/10 -1 /log10 lamdas ;
%笔算的结果为N 3.6947；故取N 4
%此处为计算⾼通的传递函数
Wn 4.8890e+003
az [0 0 0 0 1];
bz [1 2.613 3.414,2.613,1];
[Bbs,Abs] lp2hp az,bz,Wn
%⽤双线性不变法处理
[Bbz,Abz] bilinear Bbs,Abs,1000 ;
其运⾏结果为:N 3.6947；图形如图3-6
范安翔图3-6 理论计算的滤波器的幅频响应
综上所述，本滤波器以四阶即实现了预期的设计⽬标：采样频率为
1000Hz，通带临界频率fp 400Hz，通带内衰减⼩于1dB(αp 1)；阻带临界频
，阻带内衰减⼤于20dB(αs 25)，其在通带内的性能更好。率fs 300Hz
4.程序调试中出现的问题
1.在使⽤巴特沃斯函数获取其阶数时发现，调⽤函数时有点思路要理清，对于
其函数
[N,Wn] buttord wp2,ws2,Rp,Rs,'s' ，若有后⾯的‘s’，N 4;⽽缺省时，N
6；经查资料发现，当有‘s’时，其表⽰的是模拟Butterworth滤波器，⽽缺省时
是数字Butterworth滤波器。
2.⼀个线性是不变系统的典型表达式有状态空间型、传递函数型、零极增益
型、极点留数型共四种，在开始的设计过程中我发现在把零极点增益型向传递函数
型的转换过程中多⽤了⼀步，即先把零极点增益型转换为状态空间型，进⾏相应的
频率变换和双线性变换后，再由状态空间型转换为传递函数型，进⽽绘制出其频率
响应图，但是经仿真分析后发现，性能并不理想，所以并没有采⽤。
3. freqs Bbs,Abs 与freqz Bbz,Abz,512,FS 刚开始时分得不是很清楚，后来
发现前者是求模拟域频率响应的，⽽后者是求数字域频率响应的。后者的⽤法如下: [[h,w] ]freqz b,a,n[,’whole’] ；或[h,f] freqz b,a,n[,’whole’],Fs ;
式中，b,a为数字滤波器分⼦和分母多项式的系数，n为复数频率的响应点
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