单通道语⾳增强之维纳滤波（三）
上⼀节中主要介绍了⼀些利⽤迭代的⽅法去近似求解⾮因果解的维纳滤波增益函数的算法，并且实验结果也表明，利⽤迭代⽅法实现的⾮因果解维纳滤波具有不错的消噪性能。⽽这⼀节中，我将着重介绍⼏种⽤⾮迭代的⽅法去求解的算法，并对它们进⾏详细的理论分析和实验验证。
⾮迭代维纳滤波算法的思想很简单，就是求解下⾯的⾮因果解形式的增益函数⽅程：
其中，和 分别表⽰估计的纯净语⾳功率谱和噪声的功率谱。因此，如何去估计出这两个功率谱值成为了求解上述⽅程的关键。接下来，我将介绍两⼤类基于此⽅程的⾮迭代维纳滤波算法，分别是：⽆约束的⾮迭代维纳滤波算法和有约束的⾮迭代维纳滤波算法。 3.2 ⽆约束的⾮迭代维纳滤波算法
说到⽆约束的⾮迭代维纳滤波算法，就不得不提，Scalart, P. 和 Filho, J.于1996年提出的基于先验信噪⽐的维纳滤波算法。在他们的算法中，⾸次提出了⽤⼀种判决引导的⽅法去估计先验信噪⽐，然后求解增益函数⽅程。接下来，就详细介绍⼀下该算法的原理。
如果我们对增益函数⽅程，的分⼦分母同除以，于是，我们就得到了下⾯的基于先验信噪⽐的增益函数形式：
其中， 表⽰在频点估计的先验信噪⽐。对于先验信噪⽐的估计，Scalart, P. 和 Filho, J.提出了⼀种利⽤后验信噪⽐和过去的先验信噪⽐进⾏加权组合的⽅法如下：
其中，是⼀个平滑常数，可以取0.98，表⽰在第m-1帧频点处的增强信号功率谱，和分别表⽰第m帧频点
处的带噪语⾳和噪声功率谱。这种递归关系使得 的估计具有较好的平滑性，继⽽可以消除⾳乐噪声。
⽽在上述的先验信噪⽐估计⽅法中，噪声功率谱是未知的，因此需要我们进⾏估计。对于该噪声功率谱的估计，这⾥采⽤⽆语⾳帧时的信号功率谱近似估计得到。除了这种粗略的噪声估计⽅法，还有MS、MCRA等性能较好的噪声估计⽅法，我会在后⾯的噪声估计专题中专门介绍。
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接下来，我们进⾏实验测试算法的性能，从NOIZEUS语⾳库中，摘取⼀段采样率为8kHz的纯净语⾳，并与⽩噪声混成0dB和15dB的两段带噪语⾳。利⽤算法进⾏降噪处理，得到其时域波形图如下所⽰。
图⼀ 纯净语⾳信号的时域波形图
图⼆ 带噪语⾳和增强后语⾳信号的时域波形图
图⼀是纯净语⾳信号的时域波形图，图⼆是0dB和15dB带噪语⾳及其增强后语⾳的时域波形图。其中左上⾓为0dB的带噪语⾳，右上⾓为增强后的0dB带噪语⾳，左下⾓为15dB的带噪语⾳，右下⾓为增强后的15dB带噪语⾳。从仿真试验可以看出，在低信噪⽐情况下（0dB），基于先验信噪⽐的维纳
滤波算法会有较⼤的残留噪声，但没有产⽣⾳乐噪声，同时也保持了较⼩的语⾳失真。⽽在⾼信噪⽐情况下（15dB），也会存在残留噪声，但是语⾳失真会相对更⼩。因此，基于先验信噪⽐的维纳滤波算法可以应⽤于⼀些对语⾳质量要求较⾼，但⼜允许⼀些残留噪声的情况。此外，虽然该算法的消噪能⼒有限，但是不会产⽣⾳乐噪声，且运算复杂度低，完全可以满⾜某些⼯程领域对实时处理的要求。 3.3 有约束的⾮迭代维纳滤波算法
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上⾯介绍了⽆约束的⾮迭代维纳滤波算法，但是有些时候，我们对残留噪声的要求⽐较⾼，也就是说，我们希望将残留噪声限制在某⼀阈值以下，同时还能保持较⼩的语⾳失真，于是这就变成了⼀个约束最优化问题，也就有了下⾯两种有约束的⾮迭代维纳滤波算法：噪声失真和语⾳失真约束的⾮迭代维纳滤波算法、⼼理声学约束的⾮迭代维纳滤波算法。
3.3.1噪声失真和语⾳失真约束的维纳滤波
算法的主要思想就是对残留噪声程度和语⾳失真程度进⾏约束，⾸先，我们先量化⼀下语⾳失真和噪声失真如下所⽰：
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其中，为噪声功率谱。那么语⾳失真和噪声失真的功率谱均⽅值可表⽰为：
那么，上述误差的总均⽅值可表⽰如下：
其中， 和分别量化了所引⼊的噪声失真（可以理解为残留噪声的程度）和语⾳失真。然⽽，语⾳失真和噪声失真是互为⽭盾的，我们不可能同时让语⾳失真和噪声失真都很⼩，于是便考虑设计⼀个最⼩化语⾳失真的同时将噪声失真限制在某⼀预设的阈值⽔平下的最优滤波器。也就是，实现如下⽬标⽅程：
为了求解上述约束⽅程，我们引⼊朗格朗⽇因⼦来求解，于是便推导出如下所⽰的增益函数表达式：
其中，为估计的先验信噪⽐，为拉格朗⽇乘数可变参数。
接下来，只需要求解上述增益函数解中的参数和即可。⾸先，是先验信噪⽐的估计，下⾯介绍⼏种先验信噪⽐的具体估计⽅法：
⽅法1： 利⽤谱减法估计先验信噪⽐
其中，为过减因⼦。上述⽅法⾸先利⽤了过减法来⼤致估计⼀个纯净语⾳信号的功率谱，然后再计算先验信噪⽐的值。
⽅法2： 判决引导的⽅法估计先验信噪⽐
这⾥介绍的判决引导的⽅法，就是基于先验信噪⽐的维纳滤波算法中提出的⽅法，通过对过去和当前的估计进⾏递归式的加权组合，使其具有较好的平滑性，从⽽抵消⾳乐噪声。
⽅法3： 先计算先验信噪⽐的多窗谱⽐率⼩波阈值估计法
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因为的估计波动的⼤⼩会影响语⾳增强的性能，因此除了FFT的谱估计器，我们还可以采⽤更好的谱估计器来进⼀步减⼩波动。这⾥
就介绍⼀种利⽤多窗法的谱估计器来改进的估计。的具体估计步骤如下：
1. ⾸先计算多窗谱的先验信噪⽐。
，
，
，
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其中，L为窗的数量，可以设置为5，为第k个数据窗，且这些窗是正交的。和分别为带噪语⾳和噪声信号的多窗
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功率谱。此外，为了消除的负分量，设置其下限如下：
为谱下限因⼦，可取。
2. 对取对数并通过⼩波阈值法得到其对数估计。
<1> 计算。其中，C为常数，为双Digamma函数。
<2>对进⾏离散⼩波变换（DWT）直到层（可设为5），得到各j层的DWT经验系数
<3>对⼩波系数进⾏阈值处理，并对处理后的⼩波系数进⾏逆DWT得到优化后的估计值：。
3. 利⽤下列公式进⾏最终的优化估计。
，其中为真正的先验信噪⽐，近似为⾼斯分布的噪声。于是，我们可以进⼀步得到：
即为先验信噪⽐对数估计值，求其对数逆变换就是最终的估计值。
⽅法4： 后计算先验信噪⽐的多窗谱⽐率⼩波阈值估计法
后计算先验信噪⽐的多窗谱⼩波阈值估计法，基本的⽅法和⽅法3相同，只是最后才计算先验信噪⽐，具体步骤如下：
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