⾃适应滤波：维纳滤波器——GSC 算法及语⾳增强
作者：桂。
时间：2017-03-26 06:06:44
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~ 【读书笔记04】
前⾔
中国青年志愿者标志仍然是西蒙.赫⾦的《⾃适应滤波器原理》第四版第⼆章，⾸先看到，接着到了，此处为约束扩展的维纳滤波，全⽂包括： 1）背景介绍；
2）⼴义旁瓣相消（Generalized Sidelobe Cancellation, GSC ）理论推导；
3）GSC 应⽤——语⾳阵列信号增强；
内容为⾃⼰的学习记录，其中错误之处，还请各位帮忙指正！
⼀、背景介绍
在中，有w H s θ0=g 的约束条件，即s H θ0w =g .如s θ0为旋转向量时，希望在θ0处保留波束—>对应g 1=1，希望在θ2处抑制波束—>对应g 2=0 ，写成⼀般形式：写成更⼀般的形式：
C H w =g
假设w 权值个数为M ，在⼀般约束维纳滤波中可以看出：限定条件使得结果更符合预期的效果。假设C 为M×L 的矩阵：L 个线性约束条件。对于M 个变量的⽅程组，对应唯⼀解最多有M 个⽅程，即：对于L 个线性约束来讲，我们仍可以继续利⽤剩下的M-L 个⾃由度进⾏约束，使得结果更加符合需求（⽐如增强某信号、抑制某信号等），这便是GSC 的背景。 ⼆、GSC 理论推导
A-理论介绍
书中的推导较为繁琐，我们可以从投影空间的⾓度加以理解，也就是最⼩⼆乘结果的矩阵求逆形式，给出简要说明：对于矩阵A （N×M ）: 如果A 是满列秩（N>=M ）对于符合LA=I 的矩阵解为：L =A H A −1A H ；如果A 是满⾏秩（N<=M ）对于符合AR=I 的矩阵解为：R =A H AA H
−1.
对于C H w =g ，得出最优解：()()()
(
)()()
w q =C C H C
−1g
记：w re =w −w q
为了便于对余量w re 进⾏控制，将C 扩展为：[ C | C a ]，C a 的列向量为矩阵C 列向量张成空间的正交补空间的基，即：
C H a C =0
分析新的空间特性：
上式有C H w re =0，这就说明只要满⾜该条件，r e =C H a w re 就是补空间的余量，如何保证⼀定有C H w re =0呢？可以将w re 写为：−C a w a 的形
式，之所以添加−可能是因为正交补空间可以认为C 列向量空间不能表征的成分，我们通常认为这⼀部分为该丢弃的残差，也因为是残差：C a 通常被称为阻塞矩阵（取Block 之意），很多书籍⽤B 表⽰。
重新给出推导的结果：
w =w q −C a w a s.t. C a w q =0
对应结构图为：
简化后可以认为上⽀、下⽀：
这是维纳滤波器的典型结构。
B-阻塞矩阵的选取
阻塞矩阵这⼀段摘⾃：秦博雅《基于低复杂度⾃适应信号处理的波束成形技术研究》p22~23.
⼤致有以下⼏种⽅式：
()
三、阵列信号增强
学了这个GSC怎么应⽤呢？这⾥参考⼀篇07年adaptive beamforming（引⽤见最后的参考）的例⼦，简要说明思路，关于阻塞矩阵。⽂中结构图：
即：分别利⽤GSC框架，通过最⼩互信息实现信号的分离，其中w a、C a即B都提前给定，优化w a1、w a2。
全球化战略
定义互信息：
其中，
在幅度（严格来讲是傅⾥叶系数幅度）为正态条件下，得到：
给出输出表达式：
并给出准则函数——相关系数的表达式：
其中，
其中相关、互相关⽆法得到统计信息，仍然可以基于遍历性假设：利⽤时间换取空间，近似求取。
⽂中提到引⼊正则化（regularization）
这个只是优化过程中的限定条件，与GSC框架关系不⼤，不再补充。
这⾥在⽹上去了⼀个8通道（channel）的混合语⾳（两个说话⼈），利⽤该算法进⾏分析，给出主要代码：主要代码：
MMI_define_var(Xf1,Xf2);
%initialization
W1 = [0 0 0 0.1 0 0 0.2 ];
W2 = [0 2 0 0 0.2 0 0.1 ];
阿托品试验[Wa1,Wa2]=MMI_EstimateWa([W1 W2]');
其中MMI_define_var定义变量:
function MMI_define_var(Xf1,Xf2)
global Wq B covX1X1 covX2X2 covX1X2 len;
Wq=[1 1 1 1 1 1 1 1]'*1/8;
B=[1 -1 0 0 0 0 0 0 ;0 1 -1 0 0 0 0 0 ;0 0 1 -1 0 0 0 0 ;0 0 0 1 -1 0 0 0 ;0 0 0 0 1 -1 0 0 ;0 0 0 0 0 1 -1 0 ;0 0 0 0 0 0 1 -1 ]';
[~,len]=size(Xf2);
XfMean1=mean(Xf1.');
XfMean2=mean(Xf2.');
for i=1:8
Xf1(i,:)=Xf1(i,:)-XfMean1(i);
Xf2(i,:)=Xf2(i,:)-XfMean2(i);
end
covX1X1=Xf1*Xf1'/len;
covX2X2=Xf2*Xf2'/len;
covX1X2=Xf1*Xf2'/len;
MMI_EstimateWa实现参数估计:
有效教学研究function [Wa1 Wa2]=MMI_EstimateWa(W)
%obtain the Wa
雨水口ww=[real(W)' imag(W)']';
options = optimset('LargeScale','off','display','off');
[X,fval] = fminunc('MMI_real_imag_objfun',ww,options);
X_real=X(1:14);
X_imag=X(15:28);
Wa1_real=X_real(1:7);
Wa1_imag=X_imag(1:7);
Wa2_real=X_real(8:14);
Wa2_imag=X_imag(8:14);
Wa1=Wa1_real+sqrt(-1)*Wa1_imag;
Wa2=Wa2_real+sqrt(-1)*Wa2_imag;
工业机器人装配
end
对应结果图：
可以听出来：虽然略有杂⾳，但两个说话⼈的声⾳已经实现了分离，GSC框架有效。如果不同说话⼈
声达时间估计准确，迭代算法应⽤合适，效果会更好，此处主要介绍GSC应⽤，细节不再琢磨，有兴趣的可以探索探索。
参考：
K. Kumatani, T. Gehrig, U. Mayer, E. Stoimenov, J. McDonough and M. WÖlfel, "Adaptive Beamforming With a Minimum Mutual Information Criterion," in IEEE Transactions on Audio, Speech, and Language Processing, vol. 15, no. 8, pp. 2527-2541, Nov. 2007.
》.
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