第43卷第5期2 0 2 1年5月
铁 道 学 报网络虚拟机
JOURNAL OF THE CHINA RAILWAY SOCIETY
Vol.43 No.5
May 2 0 2 1
文章编号： 1001-8360（ 2021 ） 05-0204-09
陈梦成1，2，杨 超1，2，方 苇1，2，温清清1，2，许开成1，2，黄 宏1，2
（1.华东交通大学土木建筑学院，江西南昌330013； 2.省部共建轨道交通基础设施性能监测与
保障国家重点实验室，江西南昌330013）
摘要：针对长期荷载作用下的混凝土结构，将混凝土徐变量作为表征混凝土结构服役性能的退化指标，采用
Gamma 随机过程模拟混凝土徐变发展过程的不确定性。当参数c 和尺度参数
0为随机变量且其先验分布已知
时，可利用Bayesian 定理，得到c
和0的后验分布和估计。作为特例，给岀c 为定值、0先验分布服从Gamma 分布
的后验分布和0后验估计值的解析表达式。最后在给定参数b 和c
的情况下，使用经典矩估计、极大似然估计与 Bayesian 估计、后验矩估计、后验极大似然估计等5种算法，融合2组混凝土徐变试验数据，对Gamma 过程参数进
行估计，实现混凝土徐变过程模拟，并以误差平方和最小为准则，将徐变模拟结果进行比较，结果发现Bayesian 估
计和后验估计法优于经典估计法，尤以Bayesian 估计法为最佳。
关键词：混凝土徐变；Gamma 过程；矩估计；极大似然估计；贝叶斯估计中图分类号：TU13；O211. 62
文献标志码：A doi ： 10. 3969/j.issn.l001-8360. 2021. 05. 025
Research on Parameter Estimation of Concrete Creep
Based on Gamma Model
CHEN Mengcheng 1，2, YANG Chao 1，2, FANG Wei 1，2, WEN Qingqing 1，2, XU Kaicheng 1，2, HUANG Hong 1，2
(1. School of Civil Engineering and Architecture , East China Jiaotong University , Nanchang 330013, China ； 2. State
Key Laboratory of Performance Monitoring and Protecting of Rail Transit Infrastructures , Nanchang 330013, China)
Abstract : Concrete creep is usually used as a deterioration index to characterize the service performance of concrete structures under long-term loading. The primary aim of this investigation is to use Gamma stochastic process to simulate the uncertainty of concrete creep process . When the parameter c and scale parameter 0 were random variables and their
prior distributions were known , the posterior distribution and estimation of parameter c and scale parameter 0 could be obtained by the Bayesian theorem. As a special case, the analytical expression , where the parameter c was a given val ue, the prior distribution of paramater 0 followed the posterior distribution of the Gamma distribution , and posterior esti
mation , was established. Finally , given parameters b and c , the model parameters of Gamma process was estimated by
the classical moment estimation , maximum likelihood estimation , the Bayesian inference, posterior moment estimation
and posterior maximum likelihood estimation in conjunction with two sets of concrete creep data. Then the stochastic process of concrete creep was simulated. Based on the minimum sum of square errors as a criterion , the results of above
five methods were compared. The comparison results show that the Bayesian estimation, which is deemed the best meth od, and the posterior parameter estimation , are superior to the classical parameter estimation.
Key words : concrete creep ；Gamma process ；moment estimation ；maximum likelihood estimation ； Bayesian inference
混凝土结构在土木工程和基础设施中应用广泛,
服役期间混凝土在长期荷载作用下会产生徐变变形,
收稿日期：2020-05-27；修回日期：2020-12-03基金项目：国家自然科学基金（51878275）
作者简介：陈梦成（1962—），男，江西高安人，教授，博士。E-mail : mcchen@ ecjtu.edu
并且随时间不断增长。徐变会引起桥梁结构性能退
化，导致其服役时间未到设计寿命，提前失效。1996 年9月26日，帕劳共和国的Koror-Babeldaob 桥建成不 到19年突然发生垮塌。专家分析，其倒塌的主要原因
是混凝土徐变引起的跨中下挠过大。因此，BaZant 等［1］在国际混凝土结构协会会议上呼吁人们要高度
第5期陈梦成等：混凝土徐变的Gamma模型参数估计研究205
重视混凝土徐变及徐变效应问题。
目前，国内外对于混凝土徐变研究较多［2-7］，但主要集中在确定性徐变问题上。事实上，影响混凝土徐变的因素有内在因素，如材料组分和材料性能等，也有外在因素，如环境与荷载等，这些因素大多是不确定的。另外，混凝土徐变也是随时间增长的。因此，混凝土徐变发展过程是一个单调非负、随时间增长的随机过程，传统的确定性计算方法已经不适用于混凝土徐变预测要求。赵人达等［8］、徐腾飞等［9］、Ma等［10］和余志武等［11］基于随机有限元和统计方法对混凝土徐变引起的桥梁变形进行了研究，均得到了非常有益的结果，推动了混凝土徐变研究进程，但这些研究成果尚未考虑徐变随时间的变化。1965年‘Benjamin等［12］首次将混凝土徐变看作随机过程。1975年，Abdel-Hameed［i3］提出采用随机Gamma过程建立结构性能随时间随机退化的模型。常用来描述随机过程的有预定义状态类别的Markov过程，其属无自相关随机过程类。Nootwijk［i4］阐释了离散马尔可夫过程(如Markov 链)和连续Markov过程(如Brownian运动)与Poisson、Levy和Gamma过程之间的差异性，并指出Gamma随机过程是一个单调、独立、非负退化增量的随机过程，适合模拟与时间相关的、渐变的结构性能退化过程，如裂纹、疲劳损伤、磨耗、腐蚀、收缩徐变等引起的结构性能退化过程。Pandy等［15］也进一步说明Gamma过程适用于捕捉这类过程。目前，国内外使用随机Gamma 过程模拟随时间单调、缓慢增长过程的研究很多，如混凝土收缩和徐变［i6-i7］，疲劳裂纹扩展［i8-20］，钢材锈蚀［21-25］和产品性能老化［19-20,26］等。但是，模拟混凝土徐变发展过程的论文屈指可数［16-17］，且尚不够成熟。
本文首先采用Gamma随机过程对混凝土徐变发展过程进行建模，并将模型参数作为随机变量，根据它们的先验分布，导出其后验分布和后验估计；其次，基于尺度参数0后验估计值计算得到形状参数幕函数表达式中系数c的后验矩估计和极大似然估计值；最后运用累计误差平方和最小准则，结合应用仿真算例，对这几种估计方法进行对比。
1混凝土徐变模型构建
1.1Gamma过程
混凝土徐变是混凝土在恒定荷载作用下随时间递增而单调增长的变形。将混凝土在t时刻的徐变量定义为X(t)，并且有X(0)=0，其随时间的增加而逐渐单调增长。因此，对任意时刻t"，如果t>t,，则必有X(tj-X(t,)>0，符合随机Gamma过程的特点。这里使用Gamma分布来描述混凝土徐变量的随机性，使用随机Gamma过程来描述混凝土徐变量随时间变化的过程。
混凝土徐变量X的概率密度函数可用Gamma分布表示，具体为
Ga(小,0)=-i exp(-/3x)/(0s)(“)⑴
r(a)鲁米诺
式中：形状参数a>0；尺度参数0>0；r(a)=［t"-i e-t dt为a>0时的Gamma函数；当x e A时, t=0
厶(x)=1，当x磋A时，厶(x)=0o
假定形状参数a(t)为非负、右连续的实值函数，且t>0时，有a(0)=0o当Gamma过程形状参数a(t)>0和尺度参数0>0时，混凝土徐变随机过程{X(t):t M0}可以看作是一个时间连续随机Gamma 过程，且具有以下特征：
(1)当概率为1时，有X(0)=0o
(2)对所有t>t M0时，有［X(t)-X(t)］〜Ga(a(t)-a(t),0)，即X(t)-X(t)服从Gamma 分布。
(3)X(t)的增量是独立的，即对任意时间节点t；<t2<…<t”，”>2，各增量X(t2)-X(/；),•••, X(t”)-X(t”-i)相互独立。
因此,t时刻的混凝土徐变量X(t)的概率密度函数可以表示为
fx(t)(x)=Ga(x a(t),0)=
0a(t)
r(a(t))F t)-；e xp(一0x)/(0,s)(x)(2)由式(2)可得到混凝土徐变量的期望值和方差为E［X(t)］=；"Far［X(
t)］=；；)(3)由于混凝土徐变为非线性过程，因此，它是一个非稳态Gamma随机过程。根据Noortwijk等［27］研究成果,Gamma随机过程模型中比例参数0为常数，形状参数a(t)可表示为幕函数形式，即
a(t)=c•t6(4)式中:c、6为参数
将式(4)代入式(2),Gamma模型中未知参数变为c、6和0三个。在通常情况下，Noortwijk［i4］建议参数6取为常数，它取决于特定的退化过程。当6=1时，随机Gamma过程为稳态的，单调过程与时间为线性关系；若6老1，随机Gamma过程为非稳态的，单调过程与时间为非线性关系。
1.2模型参数的经典估计方法
为使Gamma模型能解决徐变问题，需要运用统计学方法对模型中三个未知参数进行估计［28-29］。构建
206铁道学报第43卷
一组数据集，它由检测时间节点t，和相应混凝土徐变量的检测值叫组成(，=1,2,…，")，并且0=t0<t j< t2<…<t”,0=“0W W x2W…W o考虑如何利用该数据统计估计Gamma模型中的形状参数a(t)= c-t b和尺度参数0。常用的参数估计法有矩估计法和极大似然估计法[16]，其中矩估计法只适用于参数b 已知的情况。下面主要讨论这两种方法。
1.2.1矩估计法
依据大数定理，只要样本容量足够大，便可认为样本矩无限接近总体矩。因此可用样本一阶原点矩估计总体平均值，用样本二阶中心矩估计总体方差。
根据式(3),t时混凝土徐变量的期望值和方差可写为
ct b ct b
E[X(t)]=0畑[X(t)]=02(5)当参数b已知时，通过变换，将日历时间t转化为换算时间Z(t)，即z(t)=t b后，非平稳随机Gamma过程可以很容易转化为平稳随机Gamma过程。对于所有时间t，如果混凝土徐变量的增量X(t+A)-X(t)的概率分布仅与h(h>0)有关，那么混凝土徐变量的随机变化过程就具有稳定的增量。将式(5)中日历时间t进行逆转换，即令t(z)=z'/b，则式(5)变为E[X(t(z))]=0[X(t(z))]=02(6)类似地，换算检测时间节点可记为：z,=t b,,=1, 2,…,”。在此基础上，进一步定义对应换算时间节点之间的增量为叫=z,-z,_i=t b-t b-j,i=1,2,…，”o 为了数学处理上的便利，同时令
cw
0=5-耳1y,=D i-0i=1,2,…，”⑺对所有i=1,2,…，”，式(7)中混凝土徐变量增量D，满足形状参数为cw，和尺度参数为0的Gamma分布，并且卩,？，…,。”独立。注意到x,、D,、y，为随机变量，叫、<s,、y，
为相对应的检测值，那么对于每个时间节点i,y，的一阶和二阶矩分别为
,
E(y,)=0E(y2)=02,=1,…,”(8)为便于理解，引入总换算时间内混凝土徐变量增量平均值定义，即
””
6£y,印务局
刀=—『=—"刀-土(9)
亍w，亍w,
,=1,=1
联立式(8)和式(9)，可得
e(y)=0e(y2)=冷一^
02v Z
w,
,=1
(10)
由式(9)和式(10)可计算得E(D)=c/0，那么根据式(7)有
工(d,-刀w,)2=工(y2-2y,yw,+w2尸)
黄埔船厂,=1,=1
(11)
由于e(y,)=0，那么由式(7)右边第二项求期望值可得
(12)
c w,
e(y,y)=02”‘
0工w,
,=1
根据式(10)〜式(12)，并对等式(11)两边求期望值，有
e[£(D,-Dw,)2]=02(13)
”
(V2\
”A w,
工w,-,
”
I,=1工w,I 因此，用矩估计法获得的形状参数估计值c和尺度参数估计值0，可以归纳为求解以下方程
”
c工认”
C,=1”
”=”=t b=5(⑷
0v t”
"Z w,
,=1
”
”(工w2I”
1-—=I(5,-5w,)2(15)
0I[工w,]2「1
,=1
式(14)、式(15)表明，用矩估计法简单，而且容易计算。但是当参数b未知时，矩估计法将失去效用。1.2.2极大似然估计法
现在讨论模型形状参数c、b和尺度参数0的极大似然估计方法。首先建立混凝土徐变增量的似然函数，然后再对其两边取自然对数，并使自然对数似然函数取最大值。在混凝土徐变增量服从Gamma分布的总体中，检测(或抽样)到一组数据样本5,=x,-x,_!, ,=1,2,…，”，独立且同分布。因此，混凝土徐变增量的似然函数是由其独立增量Gamma密度函数的乘积构成的，即
”
U生，…,5”|c,b,0)=fl fx(t,)-x(t,-1)(5,)=
,=1
”0c(tb-tb-1)
n rr0b b H^m—exp(-05,)(16)
,=11
[c(t,-t,-1)」
对式(16)两边取自然对数，有
第5期陈梦成等：混凝土徐变的Gamma 模型参数估计研究207
】nZ(…,<5”)=工{c(t [-仁)ln
3-0<5, +
i = 1
[c (球-球-
1
) -
1]ln 5i
- lnr[c ( t
-
-
t -_1)]} (17)
为了使式(17)取得极大值，令
d
,ln
i (51,…,<5” 0)=dc
度参数的估计值b 、c
和0 o
将获得的估计值b 、C 和0代入式(5)，并参考式
(14)或式(22)，可以得到t 时混凝土徐变量的期望值
和方差为
亍(£ -
f-i
) {〃 [c (t - - t -_1 ) ] - ln 5i }-E [ X (t )]
州大学
(25)
i = 1
t ”
ln
0(18)
d
”
丽1nZ( 5i ,…,<5” 0)=工{c (球 ln
t i - t f -Jnt i-i ) •
i = 1
[ln 5i -巾[c (t - - t -_1) ] ]}
+ ct ”
lnt •ln "” =0
兀”
(19)
d
討nZ(51,…,5” 0)
I
, {
c (: -5i }ct ”
… , — — %.
0 J 0 式中：&(a )为Digamma 函数，由伽马函数对数求导得
(a ) _ alnf (a )
0(20)
(21)
少(a )
八丿r (a )
da
其中，a>0。(a )可使用Bernardo [30]提出的算法精确计算。
进一步整理式(18)〜式(20)，用极大似然估计法Var [ X (t )]=巴=乞(丄 I
新国学网(26)
02 0 I ⑺
1.3模型参数的后验估计方法
1. 3.1尺度参数0的Bayesian 后验分布和估计若考虑未知参数的不确定性，则需要使用 Bayesian 定理[14]。Bayesian 定理是为解决概率问题而
提供的一种数据学习方法。记t i 时刻的混凝土徐变增
量为随机变量D , ,5，为来自D i 的样本数据或检测数 据。由前面讨论可知，它们为独立同分布，均服从 Gamma 分布，相对应的有未知形状参数为b 、c 和尺度
参数0，其中参数b 一般是已知的常数(与特定的混凝
土徐变过程有关)。在Bayesian 理论中,c 和0不再是
未知参数，而是随机变量，可以根据经验和已完成的试
验或检测历史数据确定，有明确的概率分布，是先验分
布，可以是有信息分布或无信息分布。假定参数c 和 尺度参数0是相互独立的，那么根据Bayesian 定理，有
n (c,0|5[,…，5”)=
获得的形状参数估计值C 、b 和尺度参数0，可以归纳
为求解以下3个方程
4 = %”=
5 (22)
0 t
”
亍(t b - t ；_J 制[c (t b - th ) ] - ln 5i }=
i=1
亍,{C(t b ln
t i - rjnt i —i ) •
i = 1
人
人
人
ct
[屮[c (t ： -t b _i )]
- ln 5i
] } = ct b n ln t ”
• ln — (24)
%”
可以看出，用极大似然估计法得到的式(22)与用
矩估计法得到的式(14)完全相同；当参数b 为已知 时，用极大似然估计法获得的形状参数估计值C 和尺
度参数0，只需求解式(22)和式(23)组成的非线性方 程组，可以通过Matlab 软件结合Newton-Rapthon 迭代
和优化等算法进行编程求解，从而获得形状参数和尺
z ( 51,…,5”|c,0)n (
c,0)
(27)
[[Z( 5i , (5)
c,0) n ( cQdcd 0
00
式中：L ⑹，…,5” c,0)为检测数据5”…,5”的似然 函数，分布形式已由式(16)给出；n (c,0)为获得新检
测数据5,(i = 1,2,…，”)前参数(c,0)的先验概率密
度(先验分布)；n (c,0 5],…,5”)为获得新检测数据 5,(i = 1,2,…，”)后(c,0)的后验概率密度(后验分
布) 。
由此可见，一旦获得新的检测数据样本5i ，就可
利用Bayesian 定理式(27 )更新先验分布而得到后验
分布。下面讨论当c 为定值时尺度参数0的后验分布
和估计的解析求解方法。
当参数c 已知时，尺度参数0的先验分布考虑采
用共轭先验形式，即n (0 c )服从Gamma 分布，记为0
〜Ga (a ,A )，其中a 为形状参数，A 为尺度参数。由
式(27) 有
n (0 c ,5l ,…,5”) * L (
51,…,5” C,0) * n ( 0 c )=
L(51,…，5”|c,0) • n(0)=
”
i=1
r (cwj
'
exp (- 05i )
X
208铁道学报第43卷r(a)旷咲(-入02
(A+x”)(a+ct”) r(a+ct”)+ct”-1exp[-(A+x”)0]=
Ga(0a+ct”,A+x”)(28)由式(28)可知,0的后验分布服从Gamma分布，即B〜Ga(a+ct”,A+x”)。于是，更新后的0后验估计值0可以用0的均值来表示，即
“a+ct”
0=E(Bc,5；,…，5”)=A(29)
A+x”
式中：B为未知的随机变量。
当参数c未知且为定值时，依据式(14)或式(22)，尺度参数0依赖于c，因此，0的形状参数和尺度参数可以分别写为：a(c)和A(c)。当选择a(c)= ct6(t>0)和A(c)=A时，并且c取定值时，尺度参数0的后验估
计值可以表示为
a(c)+ct6c(t6+t6) 0=E(BcJ,…,5”)=a+”=A+”
人(C)+x”人+x”
(30)
由式(5)可知，t时混凝土徐变量X(t)的期望值E(X(t))=ct6/0，在检测到一组新数据5,(,=1,2,…,”)后,t时混凝土徐变量预测值可表示为
E佇5；,…,5,c[A+x”]t6
(31)
a(c)+ct”-1
式中：C和B为随机变量，且1/B服从逆Gamma分布，记为1/B〜IG(十|a(c)+ct”,A(c)+x”j。
1.3.2后验矩估计
若6已知时，用式(30)求得尺度参数0的后验估计值0，用式(14)计算得到c后验矩估计值c。
若6未知时，由于此时还有2个未知量c和0，矩估计不再适用。
1.3.3后验极大似然估计
若6已知时，用式(30)求得尺度参数0的后验估计值0，用式(22)计算得到c后验极大似然估计值c。该值与后验矩估计值c相同。
若6未知时，用式(30)求得尺度参数0的后验估计值0，联立方程式(22)和式(23)计算得到6和c后验极大似然估计值6和c
2实例应用与讨论
2.1素混凝土徐变
Bazant收集了全球大量的徐变试验数据并建立徐变数据库，本文挑选其中一根加载龄期为2d的试件，试验测得混凝土徐变观测数据x,(,=1,2,…，15)，并且x；=0[31]。
2.1.1b已知
考虑形状参数为时间t的幕函数形式，即a(t)= c-t6。根据Bazant获得的徐变试验数据x,，可计算得到徐
变增量5,，并且假定6是已知的,6=0.22。分别采用矩估计法(式(14)、式(15))、极大似然估计法(式(22)、式(23))、Bayesian估计法、后验矩估计法和后验极大似然估计法进行参数估计。
(1)根据6=0.22，使用矩估计法、Newton-Raphson 迭代法，求解得到参数c和尺度参数0的经典估计值，并将其代入式(25)，计算得到混凝土徐变随时间变化数据。
(2)根据6=0.22，用极大似然估计法、Newton-Raphson迭代法，求解得到参数c和尺度参数0的经典估计值，并将其代入式(25)，计算得到混凝土徐变随时间变化数据。
(3)在6=0.22时，可用矩估计法和极大似然估计法结合Newton-Raphson迭代法，获得参数c和尺度参数0的初始估计值。用极大似然估计法得到c= 15.0921和0=0.8164o考虑0为一个随机变量，采用Bayesian估计法更新0的初始估计值，得到0的后验估计值。假定尺度参数0的先验分布服从Gamma分布，记为Ga(a,A),a为形状参数，A为尺度参数。假定形状参数a为时间幕函数形式，即：a =ct6，这里6=0.22,c取用极大似然估计法得到的初始值，即：c=15.0921，取t=0.6>0,A=23，因此，根据式(29)计算得到0的后验估计值0= 0.758和式(31)计算得到混凝土徐变随时间变化的Bayesian曲线。
(4)将Bayesian估计法得到的尺度参数0后验估计值0代入式(14)或式(22)计算得到c的后验估计值c=14.0142o在此基础上，利用式(25)计算得到混凝土徐变随时间变化规律，此时后验矩估计法和后验极大似然估计法得到的结果完全相同。
5种算法下素混凝土徐变模拟结果比较见图1o 从图1可知,5种估计方法模拟结果均与试验观测数据吻合较好，其中，因式(14)和式(22)的缘故，经典矩估计、极大似然估计方法和后验矩估计、极大似然估计得到的曲线重合。5种算法下damma模型参数估计见表1。
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