若n个相互独⽴的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从[标准正态分布]（也称独⽴同分布于标准[正态分布]，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平⽅和构成⼀新的随机变量，其分布规律称为卡⽅分布（chi-square distribution）。 其⾃由度n为独⽴随机分布的个数
性质:
(１)：均数为⾃由度n。
(２)：⽅差为两倍⾃由度2n
注意：
这⾥要求这些随机变量都是标准正态分布，即均值为０⽅差为１． 最基本的计算卡⽅值的公式是
尿苷其中O是观察值，E是期望值。
但这⼉想讨论的问题是，如果不是标准的正态分布。那么⾮标准的正态分布的平⽅和构成的⾮标准的卡⽅分布，他们的均值和⽅差是多少？
稍微⼀般点的卡⽅分布是每个变量符合均值为但是⽅差仍然为１的正态分布，那么他们的平⽅和所符合的卡⽅分布的均值和⽅差为（资料源于 Noncentral chi-squared distribution - Wikipedia
）
其中即是独⽴变量的个数，⽽。即各个独⽴变量的均值的平⽅和。假设独⽴变量的均值为０，⽅差不为１，如果我们仍然能得到上⾯的公式的话，由于为０，⽅差和均值就和最基本的卡⽅分布相同。但是发现这个问题⽐想象中复杂很多。⾸先卡⽅分布是⼀种特殊的伽马分布(gamma distribution)。gamma分布具体见wiki百科
Gamma distribution - Wikipedia
建筑施工安全管理论文简单来说,gamma分布由如下两个参数决定shape parameter 和scale parameter 决定。如果⼀个变量分布服从gamma分布，那我们把它记为
下⾯从标准正态分布讲到gamma分布和它的关系。如果⼀个变量符合标准正态分布，我们把它记为
vb编程那这个变量的平⽅符合⾃由度为１的卡⽅分布，记为
网上家长学校校信通同时，⾃由度为１的卡⽅分布为的卡⽅分布。即
。如果个独⽴变量服从标准⾼斯分布，那么他们的平⽅和服从⾃由度为的卡⽅分布即
同时符合Gamma分布
这⼉体现出了Gamma函数的⼀个性质。在相同的情况下，Gamma分布是可加的。因为每⼀个变量的平⽅都符合Gamma分布
如果不同，就不能这样。
如果我们拥有个服从均值为０，⽅差为的独⽴变量，即。
那么有(参考 Distribution of sum of squares of normals that have mean zero but not variance one? 的第⼀个回答
轮滑天地
)
第３到第４个式⼦⽤的是gamma分布scaling的性质（已在Matlab⾥验证），具体见上⾯wiki⾥scaling的部分。由于是scaling参数的不同，就意味着个服从均值为０，⽅差为的独⽴变量的平⽅和并不能很
简单地相加写为另⼀个Gamma分布什么的。参考了stack exchange的问题 Generic sum of Gamma random variables
其中top回答者whuber的回答⼤概表⽰会表⽰成⼀个有限gamma分布的混合。即⼀堆gamma分布相加。Paul Harrison的回答表⽰可以⽤⼀个Gamma函数近似，根据他提供的公式求得新的和。
Gamma函数的均值的是，⽅差是。所以个服从标准正态分布的独⽴变量的均值是，即变量个数。但是当他们的⽅差不同时，我们不能直接说个服从均值为０，⽅差为的独⽴变量的平⽅和服从⼀个简单的Gamma分布，均值是n了，因为Gamma在相同的条件下可加的性质不能使⽤了。
如果均值不为０．
西菲律宾海就更⿇烦了。可以从减去变量开始分析，更好的更细节的⽅法也可以见⽂章
<A novel single-gamma approximation
to the sum of independent gamma
variables, and a generalization to
infinitely divisible distributions>
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