gamma分布_轻松理解gamma分布

gamma函数与gamma分布

上⼀篇讲到了gamma函数，今天讲⼀下gamma分布。既然⼆者的名字都含有gamma，必然是有联系的。我们先从gamma函数来讲gamma分布，完全是从数学的⾓度，然后再从概率统计的⾓度来看gamma分布。

我们已经知道，gamma函数的⼀般形式是

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其中a为实数，x>=0。

接下来我们基于gamma函数⽣成⼀个概率密度函数(probability density function)，简称pdf。概率密度函数在定义域内的积分为1，且函数值的范围是[0,1]。要基于gamma函数得到⼀个概率密度函数，⽅法就是在gamma函数⼀般形式的两侧都除以?(a)，得到

满⾜了概率密度函数的要求，⽽这个概率密度函数就是gamma分布的概率密度函数，为了使概率密度函数具有概率统计上的意义，将x⽤

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广西壮族自治区人口和计划生育管理办法x/θ代替，θ为常数，具体的概率统计意义后⽂会介绍。替代后的等式为

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得到gamma分布的概率密度函数

gamma分布与指数分布

前⽂从数学的⾓度得到gamma分布的概率密度函数，现在通过⼀个概率统计的例⼦来推导。

在《10分钟了解泊松分布》中，我们知道了泊松分布与指数分布的关系，在事件的发⽣次数满⾜泊松分布的情况下，事件发⽣⼀次的时间间隔满⾜指数分布。⽽gamma分布，是指数分布的拓展，表⽰事件发⽣a次的时间间隔。现在定义事件单位时间内平均发⽣的次数为λ，事件发⽣⼀次等待的平均时间θ则为1/λ，W表⽰事件发⽣a次需要等待的时间，X表⽰单位时间内事件发⽣的次数。则X满⾜泊松分布，概率质量函数为：

昂立口译现在我们求W的概率密度函数f(w)，我们可以先求W的概率分布函数F(w)，再对F(w)求导就能得到概率密度函数f(w)。

根据概率分布函数的定义可以得到

那么

下⾯我们将P(W>w)的概率转化成泊松分布的场景。P(W>w)表⽰事件发⽣a次，需要等待的时间超过w的概率。那么，在时间间隔[0, w]内，事件的发⽣⼀定⼩于a次，即[0, a-1]次，表⽰为

其中

我们知道X满⾜泊松分布，时间间隔[0,w]的平均发⽣次数是λw，所以可以得到

下⾯我们对F(w)做微分，即可得到概率密度函数f(w)

将λe−λw移出累加，并且k除以k！得

将k=1，2，3…a-1展开得

仔细观察中括号内部是⼀个可以错位相减，得到

已经很接近最终答案了，由于λ=1/θ，代⼊得

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