刘敏杰，田涌涛，李从心
（上海交通大学国家模具ｃＡＩ）工程研究中心，上海２００【）３０）
摘要：基于Ｋａｎｅ方法，提出了一种适合建立并联机器人动力学方程的子结构Ｋａｎ。方法．该方法将并联机器人的各个杆件看作是独立的子结构，针对每个子结构建立各自的动力学方程，根据子结构之间的约束关系构成系统的约束动力学方程．最后运用正交补法或ｓｖＤ奇异值分解法消去亍结构之间的约束・形成系统的动力学表达式．以ｓｔｅｗａｒｔ平台机械手为例，说明了该方法的建模过程．与Ｎｅｗｔｏｎ—Ｅｕ】ｅｒ方法、Ｉ。８９。ａ“ｇｅ方法厦传统的Ｋａｎｅ方法相比，整个推导过程简单明了．最终构成的系统动力学方程非常简洁，计算效率高，适于并行计算． 关键词：并联机嚣人；动力学；子结构；Ｋａｎｅ方法
中图分类号：’ＪＩＰ２４２，２文献标识码：Ａ
Ｄｙｎａｍｉｃｓ０ｆＰａｒａｌｌｅｌＭａｎｉｐｕｌａｔｏｒＵｓｉｎｇ
Ｓｕｂ—ＳｔｒｕｃｔｕｒｅＫａｎｅＭｅｔｈＯｄ
ＬＩＵＭ１ｎ女￡，ＴＩＡＮＹｏｎｇ—ｔｍｌ，ＬＩｃｍｌｇ—Ｔｔ４
（Ｎａｔｉ。ｎａ】Ｄｉｃ＆ＭｏｕｌｄＣＡＤＥｎｇ．ＲｅｓｅａｒｃｈＣｅｎＩｅｒ，Ｓｈａ“ｇｈａｉＪｉａｏｔｏ“ｇＵｎｌｖ．，Ｓｈａ“ｇｈａｉ２（）０（１３０，ＣｈＩｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｆ：ＳｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅＫａｎｅｍｅｔｈ。ｄ，ｗｈｉｃｈｉｓｖｅ。ｙｓｕｉＩａｂｌｅｆｏｒｍｏｄｅｌｉ“ｇｔｈｅｄｙｎａｎｌｌｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｐａｒａｌ—
ｌｅ】ｍａｎｉｐｕ】＾ｒｏｒ．ｗａｓｐｒ。ｐｏｓｅｄ．ＪｎｒｈｉｓｍｃＩｈｏｄ，ｅａｃｈｓｅ—ａ】ｊｊｎｋＪｓｌｒｃａｔｅｄａｓ】门ｄｅｐｅｎｄｅ”ｌｓ“ｂｓｌｒｕｃｌｕｒｅ．ｔ‰ｄｙｎａ肌ｃ８ｑｕａｔｉｏｎＲｏｆ８ｙｓｔｅｍａｒｅｃｏｍｐｏｓｅｄｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ。ｆｅａｃｈｌｉｎｋａｃｃ。ｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｆｏｎｓＩｒａｌＴｌｔｓａｍ。ｎｇｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｔｈｏｓｃｃ。ｎｓｔｒａＩｎｔｓａｒｅｅｌｉｍｉｎａｔｃｄＩ。。ｂｔａｍｔｈｅｓｙｓｔｅｍｄｙｎａｎｌｉ【ｅｑｕａｔｌｏｎｓ．ＡｓａｎＰｘ—ａｍｐｌｅ，ａｓｔｃｗａ九ｐｌａｔｆｏｒｍｍａｎＩｐｕｌａｔｏｒｉｓｕｓｅｄｔｏｅｘｐｌａｉｎ仆ｌｅｍｏｄｃｌｌ“ｇｐｒｏｃｅｓｓｂｙｔｈｌｓｎｌｅｔｈｏｄ．ＣｏｍｐａｒｅｄｔｏｔｈｅＮｅｗｔｏｎ—ＥｕＩｅｒｍｅＩｈｕｄ，Ｌａｇｒａ”ｇ。ｍｅｔｈｏｄａｎｄ”ａｄｉｔｉ。ｎａｌＫａｎｅｍｅ仆ｌｏｄ，ｔｈｃｍ。ｄｅＩｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ１ｓｖｅｒｙｓｌｍｐｆｅ．Ｍｏ＂ｏｖｅｒ－ｃｈｅｆｉｎｄｌ５ｙｓｃｅｍｃｑｕａｆｉｏｎｓａｒｅｖｅｒｙ∞ｎｃ
ｉｓｃａｎｄｃ。ｍｐｕｉａｔｆｏｎａｌ】ｙｅｆｆｊｄｅｆｌｆ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐａｒａＩｌｅｌｍａｎｉｐｕＩａｔｏＴ；ｄｙｎａｍｉｃｅｑｕａ“ｏｎｓ；ｓｕｂ—ｓｔｒｕｃｔｕｒ８；Ｋａｎｅｍｅｔｈｏｄ
并联机器人是一个包含多环闭链结构的复杂多体系统．与串联机器人相比，建立其动力学方程是一个复杂而困难的工作．然而，由于并联机器人主要应用在精度要求高，动力性能好的场合，因此对其动力学模型的研究又是非常重要而有意义的．近年来，大量的研究集中于并联机器人运动学，而有关动力学方而的研究还很少．目前，并联机器人动力学的建模方法主要为Ｎｅｗｔｏｎ—Ｅｕ【ｅｒ方法”和Ｌａｇｒａ“ｇｅ方法“，但该两种方法的建模过程非常繁琐，而且计算
收稿日期：２００００３２２工作量很大．
美国经济利用传统Ｋａｎｃ方法建立并联机器人的动力学方程．要将这种多闭环的复杂结构分解成树状结构．由于并联机器人的分支较多．解除约束后形成的树状结构也足相当复朵的，建立该结构的整体动力学方程仍为不易．而且在动力学方程的求解过程中要对变换矩阵、偏角速度和偏速度阵进行大量的重复计算”．根据并联机器人的结构特点，本文在Ｋａｎｅ方法的基础上提出ｒ一种适台建立并联机器人动力学方程的子结构Ｋａｎｅ方法．并以最具代表性的并联机器人Ｓｔｅｗａｎ平台机械手为例．说明该方法的
第７期刘敏杰，等：并联机器人动力学的子结构Ｋａｎｃ方法】０３３
建模过器．
１Ｓｔｅｗａｒｔ平台机械手的动力学方程ｓｔｅｗａｒｔ平台“１最初是作为多自由度运动模拟器模拟各种空问运动，近年来广泛应用于机器人领域．ｓｔｅｗａｒｔ平台机械于的结构如图ｌ所示，它由６个杆件和１个活动平台构成，可分别将它们作为子结构．由于６个杆件的结构完全相同，只需建立１个动力学方程即可，因此整个系统只需建立２个子结构的动力学方程．
圈ｌｓｔｅｗａｎ平台机械手结构示意图
Ｆ１９ｌＳｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆａＳｔｃｗａ¨ｐｌａｔｆｏｒｍ
图２扦件结构不意罔
Ｆｌｇ．２０ｎｃ【８９（】ｆｔｈｅ＆ｅｗａｒｒｐ【ａｔ而ｒｍ
１．１杆件的动力学方程
股指期货仿真交易
Ｓｔｅｗａｒｔ平台机械手的杆件结构如图２所示．其由上下两部分组成，下部由万向铰与机座联结，
有２个转动自南度．杆件上部只能相对下部滑移．图中：ｏ。为参考点；Ｑ。为联结点；矢量玑给定联结点与参考点的相对位置；矢量ｓ。度量上下两部分的移动；矢量ｎ给定质心与参考点的相对位置．选杆件下部的角速度分量及上部相对下部的平移速度分最为广义速率．为推导方便，首先假设均有３个方向的转动和滑移自由度：
卫一［∞，吣吡ｊ，ｊ，ｊ：］’
角速度
∞一［ｗ，峨ｍ。］７
偏角速度阵列
Ｍ一［ｆ。ｌ０…］
偏角速度导数阵列
讪。一［０］…
质心速度
∽＝［Ｒｙ］ｘｑ
ｕ。，；［曰？ｐ，］×ｑ十置？ｊ：
质心偏速度阵列
ｐ，一一［矗？，。］ｗ，
ｖ。。一一［骨？ｐ．］ｗ，十Ｒ？，
杆件与运动平台铰接点的偏速度阵列
ｐ～［彤，：。］Ⅳ。＋骨？，（”
质心偏速度导数阵列
ｉ．一一［月■×∞］ｗ．
ｉ。，＝［砰万又百了可Ｍ＋百科Ｊ
杆件与运动平台铰接点的偏速度导数阵列
旷一一［可ｉｉ页ｉ一干耳ｉｈ＋珊？Ｊ（２）式中：彤为变换矩阵；ｉ，一［ｊ，ｊ，ｊ：］１为杆件上部相对下部的平移速度；∞为对偶阵；
，＝［０一』，。ａ］
＃？一ｑ？＾ｓ？七ｒｂ
ｐ２，＝玑＋ｓ，＋窖２。
杆件的动力学方程为
Ａ，，，．：，。（８，＋ｃ，），。（３）式中：
Ａ．＝ｍ：ｖｊｖ，＋ｍ２，ｖｊｖ“＋ｗｊ（Ｚ＋以）ｗ，
口．一ｍ，ｖｊｉ，＋卅ｈｖ｝ｉｎ
ｃ；一＇‘，ｊ百（』？＋Ｊ：）ｗ。
，一ｖ，。Ｆ，＋ｐ：．Ｆ２，
99se
∥、，；分别为杆件下部和上部在惯性系中的转动惯量；Ｆ、Ｆ。，分别为杆件下部和上部所受的驱动力和重力及其他外力．
１．２运动平台的动力学方程
Ｓｔｅｗａｒｔ平台机械手的平台结构如图３所示，矢量给定联结点与参考点的相对位置．选平台的角速度分量及速度分量为广义速度：
儿一［吐ｑ吐ｕ，ｕ，也］７
则平台的动力学方程可直接列出：
Ａ。“一，ｐ一“（口。＋Ｃ）（４）式中的系数可仿照方程（３）写出．
上海交通走学学报
第妯卷
Ｉ兰Ｉ
３平台结构不恿崮Ｈｇ
３
ＳｍＩｃｔｕｒｅ
ｏｆｔｈｅｐｌａＬｆｏｒｍ
１．３系统动力学方程
将平台６个杆件和运动平台共７个子结构的动力学方程组合，形成有约束的系统动力学方程如下：
Ａ，一，
，（口＋ｃ）＋Ｄ１＾
（ｊ）
式中：ｊ一［ｊｊｊｊ］７．其中，各项分别与方程（３）和
（４）相对应，Ｄ为约束矩阵．
半台的６个杆件和运动平台分别由球铰联接，根据饺接点的速度相等这一约束关系可建立６个约束方程：ｖ；弘一ｖ？儿（ｆ一１，２，…，６）．其中：
ｖ？一［一［月：ｆ。］ｌｆ一］
ｖ；为支杆ｚ与运动甲台铰接点的偏速度阵列，如方程（１）所示；ｐ？为运动平台与支杆？铰接点的偏速度阵列；，，为铰接点一在平台质心坐标中的位置；硝为变换矩阵．总的约束方程为
Ｄｙ＝０
（６）
式中，约束矩阵
Ｄ一［ｄｌａｇ（ｐｉ）｜一［Ｐ？］’］
利用零特征根方法或伪上三角消去法可求得Ｄ
的止交补阵ｒ，使得脚一０．用ｒ１左乘方程（５）两端
消去广义约束矩阵，可得：
Ｔ１Ａ’一Ｔｎ，ｆ—Ｂ’一ｃ，）
对方程（６）求导，有
Ｄｙ一一６，
其中：西＝！ｄｉａｇ（ｉ；）Ｉ一［ｉ？］Ｊ］；ｉ；为支杆ｚ与运动平台铰接点的偏速度导数阵列．如方程（２）所示；ｉ？为运动平台与支杆ｚ铰接点的偏速度阵列，
ｉ？一［
［置≯×∞，］Ｉｏ。×，］
最后，系统的动力学方程为
［警卜●等』＂］㈩
这是一个关于∥的一阶方程组．实际上，ｓｔｅｗ
ａｒｌ乎台机器人的杆件由万向铰与机座联接只有两个转动速率．上下部之间也只有一个滑动速率，即每个杆件总共只有３个广义速率，冈此，其动力学方程中的各项矩阵只保留与这３个广义速率相刘应的行列即可．这样，系统具有２４个广义速率，１８个约束
方程，６个自由度，最终的动力学方程（７）为２４个．
２算例
以３—６鼬ｅｗａＨ平台结构为例，设机座半径为
２，运动平台半径为１．设杆件上ｒ两部分的质心坐标为（在杆件坐标系中）∽一ｒｏ．４】１１
ｏ
ｏ］ｒ，
ｒｚ．一［ｏ．４１４
４
ｏ
ｏ，，杆件下部、上部及运动平台
的质量为ｍ．一２，Ⅲ。一１，Ⅲ。一ｌＯ，假设系统小受摩擦力作用．平台的初始速度及加速度为零，平台的初始位置为Ｉ。一［ｏ
ｏ．２
３．ｏ］１，ｍ∽一［ｏ
ｏ．】
一ｏ．１］１，ｒａｄ，假设在ｏ～１ｓ的仿真时间内．系统所受的驱动力为常值，即Ｆ＝［５５．ｏ
４９．ｊ
５５．ｏ
４９．５
５５．ｏ
４９．５］７
则可计算出乎台的位置和姿态、线加速度和角加速度、杆件上下两部分的相对速度及杆什的长度．为节省篇幅，本文仅给出平台的位置和姿态仿真结果，如
图４所示．
ｆ，ｓ
ｆｂ、
图４平台的位置和姿态
Ｆ’ｇ．４
Ｐｏｓｌｔ】川Ⅱｄ
ｏｒｊｅｎｌａｌｊｏｎｏｆ
ｔｈｅ
ｐｌａｔｆｏｒｍ
第７期刘敏杰．等：并联机器人动力学的子结构Ｋａｎｅ方法１【）３ｊ
３结语
本文利用子结构Ｋａｎｅ方法建立了Ｓｔｅｗａｒｔ平台机器人的动力学方程，该方法继承了Ｋａｎ
ｅ的优点，克服了其推导过程繁琐的缺点．与ＮｅｗＥｕｌｅｒ方法、Ｉ，ａｇｒａ“ｇｅ方法及传统的Ｋａｎｅ方法相比，整个推导过程简单明了，最终构成的系统方程非常简洁．计算效率高，适合并行汁算，为并联机器人动力学研究开辟了新途径．
参考文献
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ｓｔｅｗａ¨Ｄ．Ａｐｂｔｆｏｒｍｗ【ｔｈｓｌｘｄ。ｇ。ｅｅｏｆｆｒｅｅｄ。ｎ１［Ｊ：．Ｐｒｕｃ。ｆ１１１ｅＩｎｓⅢｕｔｃｆｏｒＭｅｃｈａｎｌｃａｌＦ“ｇｌ删¨“ｇ，
ｌ９６５，１８（１）：３７ｌ～３８６作者简介
ｎ
■Ａ
刘敏杰１９６９年生．现为上海交
通大学模具ｃＡＤ国家工程研究中心
博士研究生．主要从事机器人动力学
与非线性控制的研究工作，发表论文
１Ｏ余篇．
田涌涛１９７５年生．现为上梅交
通大学模具ｃＡＤ国家工程研究中心
博士研究生．主要从事图像处理、机器
视觉Ａ面的研究＿［作．
李从心１９４４年生．现为上海交
通大学模具ｃＡＤ国家工程研究中心
教授、博士生导师．主要研究方向：材
料加工设备计算机控制及ｃＡＤ、机电
一体化及智能控制、高速切削ｃＡＤ／
ｃＡＭ／ＣＮＣ‘体化、材料加工过程的
计算机模拟及控制
（上接第１０２６页）
处；当哥一０．２时．动态响应仅为静态位移的１．１倍，并发生在孑二ｏ．４５处．由图５还呵见，机器人在管道上运动的速度越大，其动态响应就越大。并且较大响应发生的位置沿运动方向前移；当机器人神：管道上运动的速度越小，其动态响应就相应越小，且较小响应发生的位置沿运动方向后移．因此，有了机器人在高空管道上运动所产生的动态响应仿真结果就可以根据具体的管道使用环境作出具体的分析．当然，根据机器人应用的不同管道，只要设定相关的具体参数就可以仿真出具体管道的动态响应仿真结果，从而作出具体的分析．
４结语
ＣＭＲ在高空管道Ｅ运动作业所产生的动态响应对于其安全、正确使用具有重要的指导意义．本文通过分析，给出了计算通式。并进行了仿真计算．随着斜拉桥、高架路电线杆、高空管道的增多．ＣＭＲ的应用前景必将愈来愈广阔．
参考文献：
［１］罗均．吕恬生，张家梁．缆索维护机器人系统的研制［ｚ］
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罗均．吕恬生，粱庆华．缆索涂装机器人喷涂机柑的
设计［Ｊ］．机械设计，２０００，１７（１）：２７～２８．
张相庭．王志培．黄本才．结构振动力学［Ｍｊ．上海：同
济大学出版社，１９９４．
作者简介
罗均１９７０年生．２０００年于上
海交通大学机械工程学院获博卜学
位．现为卜海大学博士后．研究领域：
特种机器人、ＭＥＭｓ技术．已发表沧
文２０余篇．
吕恬生１０４５年生．１９６７、
１９８２年分别于上海交通大学获学士、
硕士学位，１９９３～１９９４年在日本宫崎
drifts
大学作访问学者．现为上海交通大学
工程训练中心主任、机械工程学院教
授、博士生导师．研究领域：特种机器
人与仿生机械、多移动机器人系统及其智能控制等．在缆索、管道等特种机器人、ｔ广化农业自动化装备等方面有多项专利与成果．已发表论文４０余篇．霸，譬
ｍ
嘲
啪
赞助支出
ｍ
目＆
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
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