收稿日期：２０２０⁃０３⁃１９；修回日期：２０２０⁃０６⁃１２㊀㊀基金项目：辽宁省 兴辽英才 计划项目（ＸＬＹＣ１８０７０１８）；沈阳市 双百工程 计划项目（１８⁃４００⁃６⁃１６）
作者简介：王勇亮（１９９７⁃），男，山西忻州人，硕士研究生，主要研究方向为智能计算㊁机器人控制㊁滑模控制；王挺（１９７８⁃），男（通信作者），黑龙江齐齐哈尔人，副研究员，主要研究方向为特种机器人技术㊁模式识别与智能系统（ｗａｎｇｔｉｎｇ＠ｓｉａ．ｃｎ）；姚辰（１９６４⁃），男，研究员，主要研究方向为机器人学㊁机器人控制㊁特种机器人技术．
王勇亮１，２，３，王㊀挺１，２†，姚㊀辰１，２
（１．中国科学院沈阳自动化研究所机器人学国家重点实验室，沈阳１１００１６；２．中国科学院机器人与智能制造创新
研究院，沈阳１１０１６９；３．中国科学院大学，北京１０００４９）
摘㊀要：针对灰狼优化算法（ＧＷＯ）易陷入局部最优㊁后期收敛速度慢等问题，提出一种基于Ｋｅｎｔ映射和自适应权重
的灰狼优化算法㊂首先，该算法在种初始化时引入Ｋｅｎｔ混沌映射，增强了初始化体的多样性，可以对搜索空间进行更全面彻底的搜索；其次，在收敛因子ａ和种位置更新公式中引入三角函数和贝塔分布，提高了算法后期的收敛速度；最后，在ＣＥＣ２０１７常用的四类测试函数上的仿真实验表明，在相同的实验条件下，改进后的灰狼优化算法在求解精度和收敛速度上都有显著提升，且其性能明显优于其他智能优化算法和其他改进的灰狼优化算法㊂关键词：Ｋｅｎｔ映射；灰狼优化算法；贝塔分布；全局优化；自适应权重；混沌初始化 ０㊀引言
灰狼优化（ｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＧＷＯ）算法是一种基于种的元启发式算法，由Ｍｉｒｊａｌｉｌｉ等人［１］在２０１４年提出，是根据灰狼在围捕和狩猎过程中的行为启发得来㊂函数优化测试对比实验［２］表明，ＧＷＯ算法与遗传算法（ｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＧＡ）㊁粒子优化（ｐａｒ⁃ｔｉｃｌｅｗｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＰＳＯ）和差分进化（ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｖｏｌｕｔｉｏｎ，ＤＥ）相比在部分函数上能够取得较好的结果，有一定竞争力㊂目前，ＧＷＯ算法已成功应用于资源分配调度系统［３，４］㊁流量预测［５］㊁感知器训练［６］㊁位移预测［７，８］㊁石油利用率提高［９］㊁ＰＩＤ控制器优化［１０，１１］㊁特征选取［１２］㊁皮革分割［１３］等领域中㊂
然而基本ＧＷＯ算法存在易陷入局部最优㊁搜索后期收敛速度慢等缺点㊂针对ＧＷＯ存在的不足，学者们提出了很多改进方法，并在相应函数集上进行了测试实验㊂文献［１４］受粒子优化算法的启发，提出一种控制参数随机动态调整策略，然而该改进算法也有一定的局限性，对Ｒｏｓｅｎｂｒｏｃｋ函数表现不佳㊂文献［１５］提出一种新的位置更新公式，使算法具备跳出局部最优的能力㊂虽然该改进算法在搜索精度㊁稳定性以及收敛速度上均有明显的提升，但在后期收敛速度仍然较慢㊂文献［１６］将遗传算法中的三种算子引入ＧＷＯ中，提出一种遗传 灰狼混合算法，提高了算法的全局收敛性，针对精英个体的变异操作能有效地防止算法陷入局部最优值㊂实验结果显示，该算法对部分函数的求解过程效果显著，但由于变异操作的不确定性，对其他函数起到了相反的效果㊂文献［１７］提出了一种基于对抗混沌序列的灰狼优化算法，引入罗切斯特（Ｌｏｇｉｓｔｉｃ）混沌序列搜索方式跳出局部最优，但在判断何时使用混沌搜索的问题上并没有给出明确的说明㊂文献［１８］将ＰＳＯ中个体最优位置信息融入到位置更新公式，并引入帐篷混沌映射（ｔｅｎｔ）进行种初始化㊂但在中高维（如１００维）上，该算法的优化能力减弱㊂截至目前，改进的ＧＷＯ算法都很难在提高收敛速度和避免陷入局部最优两方面同时达到最优㊂
基本ＧＷＯ算法中收敛因子线性得从２递减到０，而在实际优化问题中由于搜索过程复杂，线性变化的收敛因子导致算法的搜索能力弱㊂除此之外，位置更新方程中前三等级的狼权重相等，然而在自然界中灰狼狩猎过程中等级越高的狼起到更重要的作用㊂针对上述不足，本文设计出一种收敛因子的非
线性变化方式和自适应权重的位置更新方程㊂同时，将贝塔分布引入和位置更新方程中协调算法的搜索能力㊂种初始化时，为保证算法的收敛速度，引入Ｋｅｎｔ混沌映射产生初始种加快算法的全局收敛速度㊂仿真实验表明该算法性能显著提高㊂
１㊀基本灰狼优化算法
在ＧＷＯ算法中，设灰狼的种规模为Ｎ，搜索空间为ｄ维，则第ｉ只灰狼在空间中的位置即为全局最优解㊂
根据文献［１］，灰狼包围猎物的位置更新为Ｄ＝｜ＣˑＸｐ（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜（１）Ｘ（ｔ＋１）＝Ｘｐ（ｔ）－ＡˑＤ
sonic2000（２）
其中：ｔ为当前迭代次数；Ｘｐ＝（ｘ１，ｘ２， ，ｘｄ）为猎物位置；ＡˑＤ为包围步长㊂向量Ａ和Ｃ定义为
Ａ＝２（ｒ１－Ｅ）ˑａ
（３）Ｃ＝２ｒ２
（４）
其中：ｒ１和ｒ２为［０，１］的１行ｄ列随机向量；Ｅ是每一个元素都是１的１行ｄ列向量；ａ为收敛因子向量，随着迭代次数增加从２线性递减到０，即
ａ＝２（１－ｔ／ｔｍａｘ）ˑＥＴ
（５）
由式（１） （５）可知，其他灰狼个体在捕食过程中由前三等级的狼引导指挥的捕食位置更新为
Ｄα＝｜Ｃ１ˑＸα－Ｘ｜，Ｄβ＝｜Ｃ２ˑＸβ－Ｘ｜，Ｄδ＝｜Ｃ３ˑＸδ－Ｘ｜（６）Ｘ１＝Ｘα－Ａ１ˑＤα，Ｘ２＝Ｘβ－Ａ２ˑＤβ，Ｘ３＝Ｘδ－Ａ３ˑＤδ
（７）
Ｘ（ｔ＋１）＝
Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３
３
（８）
２㊀改进的灰狼优化算法
２ １㊀基于Ｋｅｎｔ映射的种初始化
混沌理论因具有随机性㊁遍历性和非重复性等特点被广泛引入智能算法中增强初始化体的多样性以改善其算法的优化性能㊂与随机搜索相比，混沌理论可以对搜索空间进行全面彻底搜索㊂综上所述，为使初始种个体尽可能地利用解空间的信息，本文将混沌理论中的Ｋｅｎｔ映射引入改进ＧＷＯ算法的种初始化，Ｋｅｎｔ映射的数学模型［１９］为
ｘｋ＋１＝ｘｋ／μ０＜ｘｋ＜μｘｋ＋１＝（１－ｘｋ）／（１－μ）
μɤｘｋ＜１
{
（９）
ｘｉ，ｊ＝ｘｍｉｎ，ｊ＋ｘｋ，ｊˑ（ｘｍａｘ，ｊ－ｘｍｉｎ，ｊ）
（１０）
Ｋｅｎｔ映射在其参数范围内是一个混沌映射，但当μ＝０．５时，系统呈现短周期状态，故本文不取μ＝０．５㊂在使用该映射时，初值ｘ０不能与系统参数μ相同，否则系统将演化成周期系统㊂利用Ｋｅｎｔ混沌映射产生初始体的具体步骤如算法１所示㊂
算法１
ａ）随机初始化种初值ｘ（ｉ，ｊ），设置种规模Ｎ㊁维数ｄ和最大混沌迭代步数ｋ，随机产生一个数μ（ｊ），μɪ（０，１），μʂ０．５且μʂｘ（１，ｊ），ｉ＝ｊ＝ｋ＝１；
ｂ）以式（９）进行迭代，ｊ㊁ｋ自增１，产生ｘｋ，ｊ序列，以式（１０）进行迭代，ｉ自增１，产生ｘｉ，ｊ序列，此时产生的ｘｉ，ｊ序列就是初始化的种矩阵；
ｃ）若迭代达到最大次数，则跳转至ｄ），否则返回ｂ）；ｄ）终止运行，保存ｘ序列㊂２ ２㊀自适应调整策略
ＧＷＯ算法中的收敛因子ａ影响着整个算法的迭代和最终求解全局最优解，并且考虑到前三等级的狼在寻猎物的过程中能力不同，而基本灰狼优化算法中最优解㊁次优解及第三优解视为同等重要，因此在本文中引入贝塔分布［２０］和三角函数对收敛因子ａ及权重参数ω进行扰动㊂上述参数的非线
性变化影响着算法的收敛速度及搜索能力㊂
贝塔分布是满足二项分布和伯努利分布的密度函数，其分布在［０，１］㊂贝塔函数公式和概率分布函数分别为
Ｂ（ｂ１，ｂ２）＝
ʏ１
０ｔ
文书档案
ｂ１－１（１－ｔ）ｂ２－１ｄｔ㊀ｂ１＞０，ｂ２＞０
（１１）ｆ（ｘ）＝
ｘｂ１－１（１－ｘ）ｂ２－１
Ｂ（ｂ１，ｂ２）
㊀０＜ｘ＜１
（１２）
综上所述，本文提出收敛因子ａ的调整策略：
ａ＝
２－２ｔａｎ（１ξˑ（ｔＭ
ｉｔｅｒ
）ˑπ）＋０．２Ｂ（ｂ１，ｂ２）ｆｉɤｆａｖｇ
ａｍａｘｆｉ＞ｆａｖｇ
ì
î
李怀庆
í
ï
ï
ïï（１３）
其中：ξ＝２－２ｔａｎｈ（ｔ／Ｍｉｔｅｒˑπ）㊂
为进一步加快ＧＷＯ算法的收敛速度，本文提出一种加入贝塔分布扰动的加权位置更新方式，如式（１４）所示㊂
Ｘ（ｔ＋１）＝ω１Ｘ１＋ω２Ｘ２＋ω３Ｘ３（１４）其中：
ω１＝ω１ｍｉｎ＋（ω１ｍａｘ－ω１ｍｉｎ）ｃｏｓ（２πｔＭｉｔｅｒ）＋σＢ（ｂ１，ｂ２）（１５）
ω１ｍｉｎ＝０．６，ω１ｍａｘ＝０．８（１６）ω３＝ω３ｍｉｎ＋（ω３ｍａｘ－ω３ｍｉｎ）ｃｏｓ（２πｔＭｉｔｅｒ）－σＢ（ｂ１，ｂ２）（１７）
ω３ｍｉｎ＝０．０８，ω３ｍａｘ＝０．１（１８）
ω２＝１－ω１－ω３（１９）σ为惯性权重的调整因子，与贝塔分布融合后控制惯性权重ω１，２，３的偏移程度，使算法的收敛速度和全局搜索能力提高㊂在本文中，取σ＝０．１㊂
２ ３㊀ＡＷＧＷＯ算法描述
改进算法ＡＷＧＷＯ（基于Ｋｅｎｔ映射的自适应权重的灰狼优化算法）具体实现步骤如算法２所示㊂
算法２
ａ）初始化种规模Ｎ，最大混沌迭代步数ｋ，Ｋｅｎｔ映射的相关系数μ值，求解维度ｄ，最大迭代次数Ｍｉｔｅｒ，灰狼种的初始位置Ｘ，初始化惯性权重调整系数σ，惯性权重ω等参数；
ｂ）利用算法１初始化产生灰狼种｛ｘｄｉ，ｉ＝１ｄ，２ｄ， ，Ｎｄ｝；ｃ）计算体中每个个体的适应度值｛ｆ（ｘｄｉ），ｉ＝１ｄ，２ｄ， ，Ｎｄ｝，并记录前三个最优个体α㊁β㊁δ，其对应位置分别为ｘα㊁ｘβ㊁ｘδ；ｄ）ｉ㊁ｊ增加１，根据式（１３）计算距离控制参数ａ，根据式（３）（４）计算参数Ａ㊁Ｃ的值，根据式（６）（７）（１４）更新个体位置；ｅ）根据更新的个体位置重新计算体中个体的适应度值｛ｆ（ｘｉ），ｉ＝１，２， ，Ｎ｝，更新前三个最优个体对应位置ｘα㊁ｘβ㊁ｘδ，迭代次数增１；
ｆ）判断是否满足终止条件，若满足则返回全局最优适应度值，
否则返回ｄ）进行循环迭代㊂
３㊀实验分析
生物博客
３ １㊀实验测试函数
为了验证本文算法的适用性㊁有效性和高效性，选择ＣＥＣ２０１７中常用测试函数，与基本ＧＷＯ［１］㊁ＰＳＯ㊁ＥＧＷＯ［１４］㊁ＥＥＧＷＯ［２］㊁ＩＧＷＯ［１５］算法进行实验对比㊂其中，ＥＧＷＯ对种初始化方法㊁收敛因子和位置更新公式全部进行了改变，ＥＥＧＷＯ根据ＰＳＯ的启发对位置更新公式和收敛因子进行了改变，ＩＧＷＯ仅对位置更新公式进行了改变㊂测试函数中，ｆ１㊁ｆ２为单峰函数，ｆ３为多峰函数，ｆ４㊁ｆ５为混合函数；ｆ６为复合函数，所有函数定义域为［－１００，１００］㊂函数具体定义如表１所示㊂
表１㊀ＣＥＣ２０１７测试函数
编号函数名定义域最优解
ｆ１ｂｅｎｔｃｉｇａｒｆｕｎｃｔｉｏｎ［－１００，１００］１００
ｆ２ｓｕｍｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｏｗｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎ［－１００，１００］２００
ｆ３Ｒｏｓｅｎｂｒｏｃｋ ｓｆｕｎｃｔｉｏｎ［－１００，１００］４００
ｆ４ｈｙｂｒｉｄｆｕｎｃｔｉｏｎ１［－１００，１００］１１００
ｆ５ｈｙｂｒｉｄｆｕｎｃｔｉｏｎ２［－１００，１００］１２００
ｆ６ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎ８［－１００，１００］２８００３ ２㊀参数设置
为保证比较结果的公平性，所有算法的各项参数设置如下：种规模Ｎ为９０，为增加寻优难度，将维度ｄ设置为３０㊁５０和１００，最大迭代次数Ｍｉｔｅｒ设置为５０００，根据文献［２０］将ＡＷＧＷＯ算法中贝塔分布的参数设置为ｂ１＝１，ｂ２＝２㊂
３ ３㊀自适应调整策略
在基本ＧＷＯ算法中，种初始化的值对最终的寻优结果有重要作用，但基本算法中初始化种采用随机数生成的方法，这种方法并不能对搜索空间进行全面搜索㊂与随机搜索相比，混沌理论可以对搜索空间进行全面彻底搜索㊂因此，本文提出了一种基于Ｋｅｎｔ映射的混沌初始化种方法，并对采用Ｋｅｎｔ映射初始化的ＧＷＯ＿ｋｅｎｔ算法与随机初始化的ＧＷＯ算法在３０维进行实验对比以验证该部分改进的有效性，加粗的部分表示同一函数上的最优解，如表２所示㊂
表２㊀初始化种实验对比
函数ＧＷＯ＿ｋｅｎｔＧＷＯ函数ＧＷＯ＿ｋｅｎｔＧＷＯｆ１１．１２Ｅ＋０９９．７３Ｅ＋０８ｆ４１．４７Ｅ＋０３１．５６Ｅ＋０３ｆ２１．５８Ｅ＋３０１．４６Ｅ＋３１ｆ５４．８１Ｅ＋
０７６．２７Ｅ＋０７ｆ３５．５９Ｅ＋０２５．７１Ｅ＋０２ｆ６３．３５Ｅ＋０３３．３８Ｅ＋０３㊀㊀从表２中可以看出，除了在单峰函数ｆ１的求解上初始化方法和随机方法相近外，在相同测试环境下本文提出的初始化方法的求解精度比随机初始化的求解精度要更高㊂
３ ４㊀收敛因子
在基本ＧＷＯ算法中收敛因子ａ影响着整个算法的迭代和最终求解全局最优解㊂因此，本文提出了一种引用三角函数和贝塔分布干扰的收敛因子更新公式，并对采用改进收敛因子的ＧＷＯ＿ａ算法与基本ＧＷＯ算法在３０维进行实验对比以验证该部分改进的有效性，加粗的部分表示同一函数上的最优解，如表３所示㊂
表３㊀收敛因子实验对比
函数ＧＷＯ＿ａＧＷＯ函数ＧＷＯ＿ａＧＷＯ
ｆ１７．０４Ｅ＋０５９．７３Ｅ＋０８ｆ４１．２５Ｅ＋０３１．５６Ｅ＋０３ｆ２１．１６Ｅ＋１９１．４６Ｅ＋３１ｆ５５．３４Ｅ＋０６６．２７Ｅ＋０７ｆ３４．８７Ｅ＋０２５．７１Ｅ＋０２ｆ６３．２５Ｅ＋０３３．３８Ｅ＋０３㊀㊀从表３中可以看出，在相同测试环境下本文提出的收敛因子更新方法比线性更新方法的求解精度要更高㊂
３ ５㊀惯性权重
在基本ＧＷＯ算法中前三等级狼的惯性权重都是一样的㊂因此，本文提出了一种引用三角函数和贝塔分布干扰的惯性权重，并对改进后的ＧＷＯ＿ｗ算法与基本ＧＷＯ算法在３０维进行实验对比以验证该部分改进的有效性，加粗的部分表示同一函数上的最优解，如表４所示㊂
表４㊀惯性权重实验对比
函数ＧＷＯ＿ｗＧＷＯ函数ＧＷＯ＿ｗＧＷＯ
ｆ１７．５３Ｅ＋０７９．７３Ｅ＋０８ｆ４１．２２Ｅ＋０３１．５６Ｅ＋０３ｆ２１．０６Ｅ＋２４１．４６Ｅ＋３１ｆ５９．０５Ｅ＋０６６．２７Ｅ＋０７ｆ３５．１７Ｅ＋０２５．７１Ｅ＋０２ｆ６３．２５Ｅ＋０３３．３８Ｅ＋０３㊀㊀从表４中可以看出，在相同测试环境下本文提出的权重更新策略的求解精度比固定惯性权重的求解精度要更高㊂
３ ６㊀实验结果与分析
为避免随机性和偶然性对实验结果造成影响，此次实验对两种算法在低高维３０㊁５０和中高维１００上分别独立运行３０次，不同维度的选择是为了增加寻优难度，以便于验证ＡＷＧＷＯ算法在处理各种复杂问题时的能力，尤其是在１００维情况下的求解结果有利于判断算法的稳定性和鲁棒性㊂统
计各函数的适应度平均值和方差，实验结果如表５ ７和图１ ３所示㊂其中，表５ ７给出了ＡＷＧＷＯ算法与其他基本智能优化算法和改进的灰狼优化算法在维度为３０㊁５０和１００上的函数寻优结果，在表中加粗的部分表示同一函数上的最优解㊂图１ ３是各种算法寻优过程的收敛曲线，表示算法在各函数中的收敛情况㊂所有测试均在ＩｎｔｅｌＣｏｒｅｉ７⁃４７１０ＭＱ２．５０ＧＨｚＣＰＵ㊁８ＧＢ内存的计算机上进行，编写程序在ＭＡＴＬＡＢＲ２０１８ｂ上实现㊂
３ ６ １㊀求解精度
从表５㊁６中的实验数据可以看出，当维度为３０㊁５０维时，ＡＷＧＷＯ算法在单峰函数ｆ１㊁ｆ２上的求解效果相比于其他算法取得
了较高的准确度，从实验结果可以看到其准确度至少提高了１０００倍㊂从多峰函数ｆ３上的求解效果可知，ＡＷＧＷＯ在ｆ３函数上的求解精度优于其他算法，比较接近该函数的全局最小值，同基本ＧＷＯ算法相比，准确度提高了２５％㊂针对混合函数ｆ４㊁ｆ５，改进算法的求解精度明显更高，ｆ４的求解精度较其他五个算法中最好的ＰＳＯ算法提高了２％㊂方差大小也反映出ＡＷＧＷＯ算法的求解稳定性更高；在复合函数ｆ６上，ＡＷＧＷＯ算法的求解精度更高㊂从六个常用函数的求解结果可以看出，同其他智能优化算法相比，改进算法ＡＷＧＷＯ在求解函数最优解时精度较高，且随着维数的增加，从方差大小可以得出该算法的求解稳定性也相对更好㊂
从表７中的实验数据可以看出，当维度为１００维时，改进算法的求解精度同３０㊁５０维的求解结果相比差异较其他算法更小，由此说明随着维数的增加，如增加到中高维１００维时，ＡＷＧＷＯ算法的求解稳定性更好，且在其他算法受到维数灾难进而最优值精度受到干扰的情况下，ＡＷＧＷＯ算法的求解精度依然稳定且鲁棒性更好，凸显出其在求解高维函数上求解准确度稳定性和鲁棒性更好，求解优势更大㊂
表５㊀ＡＷＧＷＯ算法和其他智能优化算法在３０维对六个函数的寻优结果比较
函数
ＰＳＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＥＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＥＥＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＩＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＡＷＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ｆ１７．３８Ｅ＋０９２．８７Ｅ＋１９９．７３Ｅ＋０８６．０３Ｅ＋１７４．２５Ｅ＋０８３．７０Ｅ＋１５３．７２Ｅ＋０９８．１９Ｅ＋１９３．４５Ｅ＋０８１．２０Ｅ＋１７１．６２Ｅ＋０５２．１７Ｅ＋０９ｆ２１．０５Ｅ＋３５１．４３Ｅ＋７１１．４６Ｅ＋３１６．４２Ｅ＋６３５．５０Ｅ＋２７９．０９Ｅ＋５６２．１４Ｅ＋３３３．０１Ｅ＋６７５．１５Ｅ＋２５２．０３Ｅ＋７１３．１６Ｅ＋１５１．３１Ｅ＋３２ｆ３１．６６Ｅ＋０３９．０９Ｅ＋０５５．７１Ｅ＋０２１．１４Ｅ＋０３５．６５Ｅ＋０２２．６５Ｅ＋０２３．５２Ｅ＋０３４．９６Ｅ＋０６５．２９Ｅ＋０２８．５９Ｅ＋０２４．９１Ｅ＋０２３．１９Ｅ＋０２ｆ４１．２６Ｅ＋０３２．０４Ｅ＋０３１．５６Ｅ＋０３２．６３Ｅ＋０５１．３０Ｅ＋０３６．９７Ｅ＋０３１．７３Ｅ＋０３
３．３９Ｅ＋０５１．３０Ｅ＋０３７．４７Ｅ＋０３１．２４Ｅ＋０３１．５１Ｅ＋０３ｆ５４．７６Ｅ＋０８２．５９Ｅ＋１７６．２７Ｅ＋０７１．２８Ｅ＋１５５．２７Ｅ＋０７３．９３Ｅ＋１４７．４４Ｅ＋０７１．４７Ｅ＋１５１．７６Ｅ＋０７３．３６Ｅ＋１４２．９４Ｅ＋０６２．２９Ｅ＋１２ｆ６３．８８Ｅ＋０３４．０９Ｅ＋０４３．３８Ｅ＋０３３．４６Ｅ＋０３３．３２Ｅ＋０３４．３２Ｅ＋０２３．５１Ｅ＋０３１．９３Ｅ＋０４３．３１Ｅ＋０３１．５３Ｅ＋０３３．１９Ｅ＋０３１．７３Ｅ＋０３表６㊀ＡＷＧＷＯ算法和其他智能优化算法在５０维对六个函数的寻优结果比较
函数
ＰＳＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＥＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＥＥＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＩＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＡＷＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ｆ１２．７７Ｅ＋１０９．８９Ｅ＋１９５．２２Ｅ＋０９６．９３Ｅ＋１８３．９１Ｅ＋０９２．９０Ｅ＋１７５．０８Ｅ＋１０２．３０Ｅ＋２０１．６９Ｅ＋０９２．５７Ｅ＋１８８．６４Ｅ＋０５３．４６Ｅ＋１０ｆ２１．６１Ｅ＋６６７．８Ｅ＋１３３２．９４Ｅ＋４８６．１８Ｅ＋９７１．４０Ｅ＋５５５．８４Ｅ＋１１１１．２８Ｅ＋５２８．５Ｅ＋１０４４．２７Ｅ＋４６３．２４Ｅ＋９４３．７８Ｅ＋４２１．４４Ｅ＋８６ｆ３６．８６Ｅ＋０３６．９７Ｅ＋０６８．８４Ｅ＋０２４．９０Ｅ＋０４１．２５Ｅ＋０３３．６０Ｅ＋０４４．８９Ｅ＋０３１．３８Ｅ＋０７６．９６Ｅ＋０２５．９４Ｅ＋０３５．４７Ｅ＋０２３．１８Ｅ＋０３ｆ４１．６７Ｅ＋０３１．３８Ｅ＋０５２．９４Ｅ＋０３１．２３Ｅ＋０６４．７７Ｅ＋０３３．８２Ｅ＋０６６．３５Ｅ＋什么是两脚离合器
０３６．９７Ｅ＋０６１．７９Ｅ＋０３１．４０Ｅ＋０５１．３５Ｅ＋０３２．７０Ｅ＋０３ｆ５９．６９Ｅ＋０９５．０７Ｅ＋１９６．０２Ｅ＋０８７．６９Ｅ＋１７３．１７Ｅ＋０９６．１４Ｅ＋１８１．７９Ｅ＋１０６．００Ｅ＋１９２．７６Ｅ＋０８２．０９Ｅ＋１７２．４３Ｅ＋０７１．４４Ｅ＋１４ｆ６６．３０Ｅ＋０３７．４１Ｅ＋０５３．９５Ｅ＋０３１．０７Ｅ＋０５４．２９Ｅ＋０３１．１２Ｅ＋０５６．０２Ｅ＋０３１．３７Ｅ＋０６３．７１Ｅ＋０３６．１０Ｅ＋０４３．３３Ｅ＋０３１．４３Ｅ＋０３表７㊀ＡＷＧＷＯ算法和其他智能优化算法在１００维对六个函数的寻优结果比较
函数
ＰＳＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＥＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＥＥＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＩＧＷＯ
ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ＡＷＧＷＯ
农业劳动生产率ｍｅａｎｖａｒｉａｎｃｅ
ｆ１１．１９Ｅ＋１１４．４７Ｅ＋２０３．１２Ｅ＋１０３．８２Ｅ＋１９５．０４Ｅ＋１０２．５０Ｅ＋２０１．３９Ｅ＋１１５．６１Ｅ＋２０１．３１Ｅ＋１０３．４１Ｅ＋１９７．７８Ｅ＋０６１．７２Ｅ＋１２ｆ２１０Ｅ＋１５０３．０Ｅ＋３０３５．１Ｅ＋１２３７．６Ｅ＋２４８７．０Ｅ＋１３９１．２Ｅ＋２８１２．６Ｅ＋１５０１．５Ｅ＋３０２９．０２Ｅ＋１１５２．４Ｅ＋２３３６．６Ｅ＋１１０１．３Ｅ＋２２３ｆ３２．５６Ｅ＋０４８．４５Ｅ＋０７２．９９Ｅ＋０３２．６５Ｅ＋０５８．０２Ｅ＋０３８．９７Ｅ＋０６２．０８Ｅ＋０４５．０９Ｅ＋０７１．７０Ｅ＋０３７．０６Ｅ＋０４７．４４Ｅ＋０２１．３７Ｅ＋０３ｆ４４．１１Ｅ＋０３２．９５Ｅ＋０６４．２４Ｅ＋０４１．６２Ｅ＋０８７．０２Ｅ＋０４２．１４Ｅ＋０８５．９３Ｅ＋
０４１．２７Ｅ＋０８２．５０Ｅ＋０４４．７２Ｅ＋０７３．４８Ｅ＋０３１．７３Ｅ＋０５ｆ５５．６０Ｅ＋１０３．３３Ｅ＋２０４．９１Ｅ＋０９７．２１Ｅ＋１８１．３８Ｅ＋１０１．３８Ｅ＋２０６．５７Ｅ＋１０６．８６Ｅ＋２０２．０４Ｅ＋１０６．０９Ｅ＋１７１．４５Ｅ＋０８１．８４Ｅ＋１５ｆ６１．８６Ｅ＋０４６．７８Ｅ＋０６６．９３Ｅ＋０３９．９９Ｅ＋０５９．２１Ｅ＋０３９．８７Ｅ＋０６１．４６Ｅ＋０４２．５５Ｅ＋０７５．５０Ｅ＋０３４．９３Ｅ＋０５３．５８Ｅ＋０３１．８１Ｅ＋０３３ ６ ２㊀收敛过程
图１（ａ） （ｆ）㊁２（ａ） （ｆ）展示的是六种不同的智能优化算
法ＰＳＯ㊁ＧＷＯ㊁ＥＧＷＯ㊁ＥＥＧＷＯ㊁ＩＧＷＯ㊁ＡＷＧＷＯ在３０㊁５０维情况
下对函数求解的收敛过程㊂其中，函数ｆ１㊁ｆ２是单峰函数㊂从迭
代收敛图可以看出，ＡＷＧＷＯ算法比其他五种算法的收敛性更
好，而且在后期搜索性能更优，因而最终寻优结果更好；ｆ３是多峰
函数，从图中可以看出其收敛效果较其他类型的智能算法更好，
没有陷入局部最优㊁跳出早熟情况；函数ｆ４㊁ｆ５是混合函数，从图
中可以看出改进算法在该函数寻优过程中后期收敛速度快，跳出
了局部最优且寻优精度更高；函数ｆ６是复合函数，从图中可以看
出改进算法在该函数中寻优精度更高，收敛速度更快㊂综合来
看，在低高维（３０㊁５０维）情况下，相比于其他智能优化算法，
ＡＷＧＷＯ算法在四种不同的函数求解过程中具有较好的收敛情
况和更高的求解精度，且基本ＧＷＯ算法后期收敛速度慢的情况
也得到了明显改善
㊂
图１㊀六种智能优化算法在３０
维对六个函数的收敛性能比较
图２㊀六种智能优化算法在５０维对六个函数的收敛性能比较
图３（ａ） （ｆ）展示的是六种不同的智能优化算法在１００维情
况下对函数求解的收敛过程㊂相比于其他智能优化算法，可以明
显地看到ＡＷＧＷＯ算法在高维情况下的收敛速度和后期收敛效果
更突出，比３０维和５０维的收敛速度和收敛效果都更优于其他五种
算法，由此可得在更高维的函数求解中，ＡＷＧＷＯ算法的收敛速度
和跳出局部最小的能力更加明显，后期收敛速度慢的情况也得到
了明显改善㊂从收敛图中可以观察到，ＡＷＧＷＯ算法的收敛效果
好，且随着维数的增加其收敛情况和后期收敛速度更有优势㊂
４㊀结束语
本文针对基本ＧＷＯ存在的易陷入局部最优㊁易早熟收敛㊁求
解精度较低等问题，提出一种基于Ｋｅｎｔ映射和自适应权重的灰狼
优化算法㊂种初始化阶段，引入混沌学中的Ｋｅｎｔ映射，与随机搜
索相比，Ｋｅｎｔ映射的引入可以使算法对搜索空间进行全面彻底的
搜索㊂通过修改位置更新方程和收敛因子，提高了算法的收敛速
度，平衡了算法的搜索和开发能力㊂仿真实验表明，本文改进的ＡＷＧＷＯ算法在单峰函数㊁多峰函数㊁复合函数和混合函数这四大类标准函数的寻优结果中具有较高的精度和较快的收敛速度，与其他基本类型的智能优化算法和改进的ＧＷＯ算法相比有较好的收敛性能和较高的求解精度和稳定性，且该算法在高维函数求解中求解的稳定性和鲁棒性更好，求解能力优于其他算法㊂下一步将进一步对算法性能进行提升，并将其应用于实际优化问题
㊂
图３㊀六种智能优化算法在１００维对六个函数的收敛性能比较
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ｃ）动态攻击策略下，考虑局部信息（节点度㊁节点强度）和全局信息（加权介数中心性和加权接近
中心性）的节点重要度排序方法，对应的蓄意攻击都会严重影响城市公交网络的行程时间可靠性，导致网络的准时性严重下降㊂因此，在动态观测下，需全面考虑不同角度的关键节点，保证观测的全面性㊂
ｄ）动态攻击策略下，城市公交网络的行程时间可靠性在蓄意攻击早期大幅度下降㊂因此，在早期加大对关键节点的防护力度，能大大减少蓄意攻击对网络准时性的影响㊂
ｅ）单独攻击策略表明对网络行程时间可靠性影响大的节点往往处于多条公交线路的汇集处，对网络行程时间可靠性影响大的边往往与网络中重要节点具有连接关系㊂因此，运营者需加强对这些节点和边的保护，以此保证城市公交网络运营的准时性㊂
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