ACM数论逆元的总结

逆元的应⽤

求解（ a/b ）%m 时⼀般想法是转化为(a%(b*m))/b，转化过程如下

令k = (a/b)/m(向下取整), x = (a/b)%m;

a/b = k*m + x (x < m);

a = k*b*m + b*x;

a%(b*m) = b*x;

a%(b*m)/b = x;

得证: a/b%m = a%(b*m)/b;(公式适⽤于很多情况：m不必是素数，b和m也不必互质)

wcg2010世界总决赛上⾯的公式适⽤于b较⼩，a需要在线求且较⼤的时候;

⽐如：求a/b的值，且另a = x^k, 求a的过程随时会爆精度所以需要对a进⾏取模，但是求的过程中如果是

直接对a进⾏%mod，之后再进⾏a/b，会出现错误的。正确的做法是根据上述公式，在求a过程中对(b*m)取模，之后再除以⼀次b即可。[ a/b%m = (a%(b*m))/b%m ]

所有的除法取模问题都可以⽤这种⽅法，但是当b很⼤的时候，则会出现爆精度问题，所以引出乘法逆元，将除法取模转换为乘法取模。

b存在乘法逆元的充要条件是b与模数m互质。

设令c为b的逆元，即b*c ≡ 1(mod m);

解释：满⾜同余⽅程，b*c和1对m的模数相同，即b*c对m取余为1(m > 1);

xscale那么 a/b = (a/b)*1 = (a/b)* （ (b*c)(mod m) ） = a*c(mod m);品

kugoo2013下载即，除以⼀个数对m取模等于乘以这个数的逆元对m取模;

三种求逆元的⽅法&：

1.逆元求解利⽤扩欧。

2.当m为质数的时候直接使⽤费马⼩定理，m⾮质数时使⽤欧拉函数。

3.当m为质数的时候，使⽤神奇的线性⽅法。

扩展&：

1.利⽤乘法逆元求解组合数及组合数的其它求法。

基础教育参考2.线性时间求阶乘的逆元。

碱含量有兴趣的的话就去搜搜博客⾃学吧，博主以后再⼀⼀补上。

本文发布于:2024-09-21 11:14:21，感谢您对本站的认可！

标签：逆元取模乘法质数精度组合

留言与评论（共有 0 条评论）