极值理论
上海财经大学 陈瑞明
摘要：合理国债期货涨跌停板应该依据极端价格波动来制定。本文首先考察了模拟国债的收益序列，发现其具备尖峰厚尾性质。然后通过超限样本均值图选定阈值，对处于尾部的超限样本做广义帕累托分布估计。经过分布检验后，利用估计分布计算国债期货的涨跌停板。 关键词：极值理论；阈值；广义GPD ；Pickands 定理；涨跌停板 1、引言
一般认为，合理的涨停板能抑制价格的短期过度波动，具有阻止市场过度反应，防止过度投机，增加价格发现效率的功能；而不合理的涨停板将损害市场流动性。
在期货涨跌停板制度设计中，合理的涨跌停板应该依据期货合约的极端价格波动来制定，它应满足：
()1Pr t F F L c −∆>≤（百分比涨跌停板） (1)
其中1t F −为1t −时刻期货收盘价，1t t F F F −∆=−，表示t 时刻与1t −时刻收盘价之差，1t F F −∆即为期货日收益，它代表了价格波动，L 为涨跌停板，c 称为价格的异常波动比率，它是价格落在涨跌停板以外的发生概率，这部分的极端价格被视为过度波动。
由于价格的异常波动比率c 一般都非常小，因此我们可以知道涨跌停板L 主要由期货合约价格变动（期货收益）分布的尾部决定。
自20世纪70年代以来，金融资产收益序列的尖峰、厚尾现象使得传统的正态分布假定受到严重的质疑。因此如何有效地刻画金融资产收益序列的尾部特征，给出其渐近分布形式，成为了金融机构改进风险度量方法、制定风控政策的首要基础工作。
目前，对金融资产收益序列的估计方法主要包括历史模拟法、参数方法和非参数方法
[1]。历史模拟是一种最简单的方法，它利用收益序列的历史经验分布来近似真实分布，但
是该方法不能对过去观察不到的数据进行外推，在应用中受到限制。参数方法假设收益率符合某种特定的分布如：正态分布、学生t分布、GED分布等，通过假定的分布与样本均值、方差的匹配对参数进行估计，或者是假设收益率序列符合某种特定的过程如：RW、ARMA、GARCH等，它可以在一定程度上解释收益序列的尖峰厚尾和波动率聚类现象，具有比较好的整体拟合效果。不过参数方法只能对 已经到来的灾难信息给出准确的估计，对于即将到来的灾难信息无法进行准确的预测。非参数方法则主要包括极值理论（EVT），它与前面的两种方法有着明显的区别，它并不研究收益序列的整体分布情况，只关心收益序列的尾部特征，利用广义帕累托分布来逼近收益序列的尾部分布。它可以在总体分布未知的情况下，依靠样本数据，得到总体中极端值的变化性质，具有一定的稳健性。
针对上面介绍的三种方法，Danielsson and de Vries（1997）[5]以美国7支股票构成的组合为样本比较各种模型的表现情况，发现EVT模型的表现明显优于参数方法和历史模拟方法。Longin（2000）[6]认为极值理论的优点在于它没有假设特定的模型，而是让数据自己去选择，对突发事件具有较强的预见性。
基于极值理论在描述尾部分布以及对极值事件预测的优势，本文利用极值理论研究国债期货合理涨跌停板的设计。本文结构安排如下：第二部分介绍极值理论，广义帕累托分布GPD及参数估计；第三部分介绍利用GPD设计涨跌停板的算法；第四部分利用模拟国债数据做实证研究；第五部分结论。
2、极值理论（EVT）
极值理论主要包括两类模型：BMM模型和POT模型。BMM模型是所谓的区组最大值法(Block Maximum Method)，其做法是将观测数据按时间顺序等分为一些时段区间，在每个区间上选取观测的最大值，然后用这些最大值拟合极值分布。由于金融时间序列往往具有波动聚集特征，在使用区组最
大值法可能会漏掉一些有用数据。因此人们更倾向于使用另一种模型――POT，即超越阈值方法（peak over threshold）。POT模型把所有达到或超过某一固定较大阈值的各个观测均作为分析样本去拟合极值分布，对数据要求的数量比较少。
相对而言，BMM模型是一种传统的极值分析方法，主要用于处理具有明显季节性数据的极值问题，而POT模型是一种新型的模型，是目前金融领域经常使用的一类极值模型。本文将采用POT模型进行估计。
2.1 POT 模型的理论基础
假设序列{}t z 的分布函数为()F z ，定义()u F y 为条件超限分布（conditional excess distribution function, cedf），它是随机变量Z 超过阈值u 的条件分布函数，可表示为：
()(|)u F y P Z u y Z u =−≤> 0y ≥ 根据条件概率公式我们可以得到：
()()()()()()()(1())(),1()1()u u F u y F u F z F u F y F z F y F u F u z u F u F u +−−==⇒=−+≥−− (2)
Pickands (1975)[7]定理证明了，对于一大类分布F （几乎包括所有的常用分布）2012高中数学联赛
，当u 足够大时，条件超限分布函数()u F y ，存在一个广义帕累托分布,()G y ξ
σ′使得： 1/,/1(1)0()()10u y y F y G y u e ξξσσξξσξ−−⎧⎪⎨⎪⎩−+≠≈=→∞′−= (3)
Pickands 定理的好处在于原分布下的条件超限分布()u F y 可以转化用广义帕累托绝对分布GPD 表示。
在GPD 中，σ是规模参数，（u 是位置参数），1ξ
是尾部指数，ξ是形状参数。当0ξ≥时，样本取值范围[0,)y ∈∞，当0ξ<；时，[0,]y σ∈−。如果形状参数0ξ=时GPD 是Gumbel 分布，0ξ>时是Fréchet 分布，0ξ<；时是Weibull 分布。当ξ（由负值到正值）由小变大时，尾部逐渐增厚。正是由于ξ能刻画尾部特性，使得GPD 与金融分布密切相关。
下图对比了标准GPD(阈值0u =，1σ=)在0.4ξ=−，0ξ=，0.4ξ=的分布图。
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从图形可见ξ的不同取值取决了尾部的厚度， ξ越小尾部越薄，ξ越大尾部越厚。另
外从,()G y ξ
σ′函数可见当0.40ξ=−<；时，y 的最大取值为1 2.50.4−=−，有上界。
2.2 POT 模型的参数估计 根据公式(3)我们可以得到，对于给定的一个符合广义的帕累托分布的样本1{,,}n y y L 我们可以根据极大似然法估计GPD 中的参数,ξσ。对数似然函数(,|)L y ξσ为： 111ln (1)ln(1)0(,|)1ln 0n i i n i i n y L y n y ξσξξσξσσξσ==⎧−−++≠⎪⎪=⎨⎪−−=⎪⎩
∑∑ （4）
2.3 POT 模型的阈值选择 在POT 模型中另一个重要的问题，是如何得到定理中的阈值u ，它是确定超限样本y ，是准确估计参数ξ和σ的前提。如果阈值u 选取的过高，会导致超限数据量太少，估计出来的参数方差很大；如果阈值u 选取的过低，则不能保证超限分布的收敛性，使估计产生大的偏差。Danielsson, J., C.G.de Vries（1997）[5]和Dupuis（1998）[8]给出了对阈值u 的估计方法，一般有两种：Hill 图法、根据样本的超限期望（mean excess function MEF）图法。
本文采用MEF 图法确定阈值u ，令(1)(2)()n X X X >>>L ，MEF 定义为： ()
()1n
i i k X u e u n k =−=−+∑ min{|}i k i X u => （5）
超限期望图为点(,())u e u 构成的曲线，选取充分大的u 作为阈值，使得当x u ≥时()e x 为近似线性函数。另外，如果超限期望图当x u ≥时是向上倾斜的，说明数据来源于参数ξ为正的GPD 分布；如果超限期望图当x u ≥时是向下倾斜的，说明数据来源于尾部较短的分布；如果超限期望图当x u ≥时是水平的，则说明该数据来源于指数分布。
当u 确定以后，取出原序列{}t z 中大于u 的样本i z ，利用i i z u y −=，得到超限样本i
y 最后根据公式（4）进行最大似然估计得到ˆξ
和ˆσ。
3.涨跌停板算法
由于收益的极大值和极小值都是价格的异常波动，都在涨跌停板考虑范围内，因此我们将原序列取绝对值，重新记作{}t z 。并记{}t z 样本个数为N ，记{}t z 中比阈值u 大的样本个数为u N ，形成超限样本y z u =−。
利用频率代替()F u 的值，有()1u N F u N =−
，将其与估计出的GPD 代入(2)式可以得
到()F z 的表达式： 1/()/1/()/(1(1()))(1()()(1())()(1)(1)1(1())010u u u z u u u u z u u N N z u N N F z F y F u F u N N e N
N N z u N N e N ξσξσξσξξσξ−−−−−−⎧−+−+−⎪⎪=−+=⎨⎪−+−⎪⎩⎧−+−≠⎪⎪=⎨⎪−=⎪⎩
信息技术的负面影响（6）
对于给定某个价格异常波动比率c ，根据涨跌停板的设计公式（1）()Pr z L c >≤，利用{}t z 的分布函数（公式（6））的反函数可以求出：
[()1]u cN
L u N ξσξ
−=−+ (7) L 就是涨跌停板。
4．利用模拟国债数据做实证研究
4.1数据说明
在债券期货品种的开发阶段，没有期货合约的交易数据，无法根据期货合约的历史价格数据设定涨跌
停板。我们只有债券现货价格的历史数据，因此我们首先将债券现货价格数据作为期货价格数据计算相应涨跌停板，然后再加以调整作为期货价格的涨跌停板。
目前，我国现货市场上不一定有票面利率为4%且剩余期限为5年的国债存在，同时，由于银行间市场流动性差，部分债券价格不合理。因此，现货市场债券的价格不能用来近似虚拟国债的价格。我们采用的虚拟国债价格的确定方式是：给定虚拟国债的到期日（5年）和票面利率（4%），每年付息一次，然后通过交易所国债收益率曲线计算出虚拟国债的合理
价格。
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数据来源：红顶债券系统提供的上海证券交易所5年期国债的到期收益率；
起讫时间：2002/01/04——2006/07/19，样本量1123；
采用Matlab6.5计算1123个虚拟国债价格，从而得到1122个日收益数据。
4.2虚拟国债价格波动的统计特征
计算了虚拟国债收益的峰度、偏度发现是尖峰厚尾分布，进一步考察JB统计值和QQ 图发现国债收益是非正态的。
国债收益分布特征
偏度 峰度 JB统计值正态性检验
-5.2045102.3948 4.65E+05拒绝
虚拟国债日收益的正态概率纸图
4.3阈值的确定
利用Matlab6.5得到样本的超限期望图，通过观察，选定阈值u=0.0028。统计超过阈值的样本个数为83，占总样本数的7.4%
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