河北科技大学学报
Journal of Hcbci University of Science and Technology
蒲安臣第4 2卷第2期
2021年4月
VoH ’No.
Apr. 2021
文章编号：1008-1542(2021 )02-0127-08
开放科学（资源服务）标识码（OSID ）：
秦海燕，侯强
（中北大学理学院，山西太原 030051）
摘要：为了减少因诺如病毒感染引起的感染性腹泻对人们身体健康造成的危害，在明确诺如病毒
传播特征的基础上，研究了诺如病毒的传播动力学行为，考虑感染诺如病毒的潜伏者也传染疾病的 特性，建立具有非线性发生率的诺如病毒传播动力学模型，在计算模型的基本再生数R 0的基础 上，利用Lyapunov 函数和几何方法证明了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性，并进行了数值模 拟。结果表明，当R 0<1时，无病平衡点全局渐近稳定，疾病消失；当R 0>1时，在一定条件下，地
方病平衡点全局渐近稳定。数值模拟验证了理论结果的正确性。研究结果丰富了感染性病毒传播 理论，对进一步研究病毒的传播机理具有借鉴意义。
关键词：稳定性理论；诺如病毒；传染病模型；非线性发生率；基本再生数
中图分类号：O175. 1 文献标识码:A doi ：10.7535/hbkd.2（）21yx （）2005
Dynamic model analysis of Norovirus transmission
with nonlinear incidence
QIN Haiyan,HOU Qiang
(School of Science,Nerth University of China ,Taiyuan,Shanxi 030051 ,China)
Abstract : In order to reduce the great harm of infectious diarrhoeal disease caused by Norovirus infection to human
health , based on the transmission characteristics of Norovirus , the transmission dynamics behavior of Norovirus was
studied.'Taking into account the characteristics that the latent infected with Norovirus can also transmit the disease, dynamic model of Norovirus transmission with nonlinear incidence was established..'he basic reproduction number R 0 of the model was calculated and then the stability of the disease-free equilibrium point and the endemic equilibrium point were proved by using the
Lyapunov function and the geometric method..'he results show that when R n W 1 ,thc disease-free equilibrium point is globally asymptotically stable and the disease disappears ； when R n > 1 , under certain conditions , the endemic equilibrium point is global
asymptotica l ystable.Thetheoretcalresultsareverfedbynumericalsimulaton.Theresearchresultshaveenrichedthetheory
萧振高中跳楼事件ofinfectousvirustransmissionandprovideareferenceforthestudyofvirustransmission mechanism.
收稿日期：20200428；修回日期：20200828；责任编辑：张 军
基金项目：国家自然科学基金（11501528）
第一作者简介：秦海燕（1993 — ）女，山西朔州人，硕士研究生，主要从事动力系统及其应用方面的研究.通讯作者：侯 强副教授.E-mail : houqiang200207@ 163
秦海燕，侯强.具有非线性发生率的诺如病毒传播动力学模型分析[）.河北科技大学学报,02142（2）:127134.
QIN Haiyan,HOU Qiang.Dynamic model analysis of Norovirus transmission with nonlinear incidence [[.Journal of Hebei University of Science and Technology ,2021,42（2） : 127-134.
128河北科技大学学报2021年Keywords:stability theory；Norovirus;infectious disease model;nonlinear incidence;basic reproduction number
诺如病毒是全球急性肠胃炎的主要致病原，致人感染发病的主要表现为腹泻和呕吐，其传播途径包括人与人之间的传播和食源性传播.人传人通过粪口途径传播(包括吸入粪便或呕吐物产生的气溶胶)，食源性传播通过食用被诺如病毒污染的食物和水进行传播.诺如病毒变异很快，对环境的抵抗力也很强，感染后潜伏期较短，且在潜伏期便可排出病毒，排毒时间长，免疫保护时间却较短自2013年以来，感染性腹泻病暴发大多以诺如病毒感染为主，尤其是自2014年冬季起，诺如病毒的感染暴发疫情有较大幅度增加，显著高于历年水平［1<-11］.
近年来，许多学者对诺如病毒的传播动力学进行了研究史方等［5］根据诺如病毒的流行病学特点建立模型，利用实测数据估计了模型中的参数，分析了潜伏期内的新发感染者、新发病人和新发无症状感染者之间的关系，研究了不同传染源在疾病传播研究过程中的贡献率，以及外部干预措施对诺如病毒传播的影响；GAYTHORPE等］6根据年龄分层建立时间序列模型，研究发现，接种疫苗是预防疾病的有效策略；黄璜等通过比较各模型评价隔离措施对诺如病毒在医院内传播的影响，为有效防控诺如病毒在医院内的感染暴发提供理论依据；LANE等研究了诺如病毒通过人与人之间的传播和食源性传播导致人产生感染性肠道疾病，并进一步了解食源性如何传播诺如病毒.
目前的研究中，较少人考虑诺如病毒传播与稳定性相关的动力学性态，因此，笔者根据诺如病毒的流行病学特性，提出了发病率形式为f(E)S+Pg(I)S的SEIRS非线性传播动力学模型，并运用微分动力系统理论分析模型的稳定性，最后通过数值模拟验证结果的正确性.
1模型的建立
将人分为4类，即易感者S()、潜伏者E(t)、染病者I(t)和恢复者R()用N表示总人口，N= S+E+I+R，易感者虽然也可通过摄取被诺如病毒污染的食物而被感染，但本文重点研究潜伏者、染病者对诺如病毒传播的影响，所以忽略食源性感染.建立如下模型：
d=A—B\f(E)S—旳g(I)S—#S+R,
t
(-\e
t=B\f(E)S+Bg(I)S—fE—E,
<,(1)
I
〒=E—I 一I,
R
=I—R —R.
、t
式中:A表示人口常数输入率；B表示潜伏者的传染率；B表示染病者的传染率；£表示潜伏者变为染病者的比例；Y表示人的恢复率；S表示恢复者失去免疫力的比率；“表示人的自然死亡率.采用一般非线性发生率Bf(E)S+Bg(i)s表示诺如病毒的传播发生率.为了满足模型(1)的流行病学意义，对于发生率函数，假定f(0)=g(0)=0，且f'(E)>0,g'I)>0,f(E)c0g〃⑴c0，在文献［7］中，这里的发生率为双线性发生率BSE+BSI.
2平衡点的存在性和基本再生数
{(S，对于模型(1)，其可行域为Q=
A E,,R)S上0,E上0，上0,R上0,S+E+I+R C—
模型(1)有唯一的无病平衡点E)=「f'(0)S0Bg'O S)]v=f+e Bg'(0)S)£(S0E0,0R0)=f,0,0,()j，根据下一代矩阵法［20］,F=〃+)则模型的基本再生数为R0="厂)=律+^+
(f+£)(f+Y)=R01+R 02
第2 期
秦海燕，等：具有非线性发生率的诺如病毒传播动力学模型分析
129
为求模型(1)地方病平衡点，令模型(1)的第3个和第4个等式右端为0，则有：
E = (" + Y )J ; R = (
+『
。
令模型(1)的前2个等式右端为0，则有：A — “ + £)E —；S +R =0。可得:
S =A — ((“ + £)(“ + Y )______Y ] J
“ \ “£ “(“ + 5)丿°
令第1个式子右边为(0可得：
GJ ) =A — [Pf [^+Yl '] + 越⑴ +町 j —k J + kJ ，
其中仏=(……心+门
对G(J )求导可得:
GJ ) =k + k 1
+ ”g (J +町—”1 + /?2g z (l)0 j
kJ
则有:
G ' (0) =k + k 1“ 一 ”1
f (0) + 02
g 气 0) j A = (
"++Y
)(1
— R o ),
£
又
G 〃J )=2k 1
+ 0g (J
—…札
kJ
££
,,| 时，G
k 屮〃丿
当I e
时，G f ，J) > 0，所以G ，(J 单增，又当R o >1时，G '(0) < 0，可得GJ )先减后增，且
/ A 、
/ A A
G (0) = 0 , G I I >0，所以一定存在一个J 使得G(J )=0；当J e
丿0，此时不存在一个J 使得G(J =0。
因此有结论：当R o >1时，模型(1)存在唯一正平衡点E * (S * ,E *，厂R * )，即有：
定理1对于模型(1)有以下结论：当R o C1时，模型(1)有一个无病平衡点E o ；当R o >1时，模型(1)存
在唯一正平衡点E *。
3平衡点的稳定性
定理2如果R ()<1，模型(1)的无病平衡点E o 在C 内是全局渐近稳定的；如果R o >1，无病平衡点是不杭州15岁初中生确诊来源查清
稳定的。
证明 矩阵在E o 处的特征方程为(A + [J.) (A + “+$) (A 2 + a 1A + a 2 ) =0。其中：a 1 = “ + Y + (“ + £)(1—R 01) , a ? = (“ + £ (“ +Y )(1—R ())。
当R o C1时a 】>0a >0，又A 】 =—“<0,2 = —“一$<()，所以模型(1)的无病平衡点是局部渐近 稳定的。当R o >1时，有a 2<0，这里存在正根，无病平衡点不稳定，构造Lypunov 函数证明无病平衡点的
全局渐近稳定性：因为fX )在区间上恒有fX )三0，则对任意的x , e 满足X <y 都有
f X ) > f (y )，又由于 f (0) = 0，则对 V e e f o,-] , £1 e (o ,e )，都有 = f (E )— f (0)=
f £ 1)，且 f £ 1)上 f (E ).则对 v e e ，都有 f E 上 f (E )。因此，f (E ),=
,(E )—f (E )
f (E )E — f (E ) J ( ) E ”
)E 2 ( ) = E I 。
同理可得:
g J
g'DJ — gJ )
J
—r —— W o 。所以，广舉 和牡^为减函数。
J E
J
130河北科技大学学报2021年
因此：B1f(E)S<f(E)S°
(+e')E W e>0(+e')E
f E(0)S0「Bg(I)S/r0g(I)S0
.b\,lim,、
“+e—(“+?)I I m(+y)I
Bg(0S0八’
:b
“+Y—
(10)
碳酸钠溶解度
定义J=—],(C]，2)=(b1,b2)J1.因此C=R(W1，根据(1,2)的正性可得(1C)的G+£0工业品外观设计
正性，构造Tyapunov函数L=R0E+cI.
对L关于模型(1)求导:
d L小(B1f(E)S B i g(I)S
d=R(J(g+「)E气#+y)J(("+J E,"+Y)I)—(R0,2)J(("+£)E,,"+Y)I)W
D(B1f E(0)S0p2g I(0)S{))、八T/D匸,、八T_
R01----工-----，--------------—|((“+e)E,(“+y I)—R),2)J((“+e)E,(“+y)J)=〃十£G+Y丿
R)—1)(b1.2)((G+£)E,(“+Y)I)T.
因此，当R°W1时，L‘W0，而L'=0的最大不变集包含唯一的点E(J=］△,,,［.由Lasalle不变集原理［⑷可知，当R°W1时，无病平衡点在。内是全局渐近稳定的.
由定理2知，如果R0>1，无病平衡点是不稳定的.根据文献［0)易证模型(1)的一致持续等价于无病平衡点的不稳定性，故当R0>1时，模型(1)是一致持续的，因此存在一个紧吸引子集K.
K={(S,E,I,R)a s W S W M s,e W E W M e,i W I W M1,r W R W M r}U Q,
其中：a>0M>0,=SE,R，应用文献［21］的几何方法证明地方病平衡点的全局稳定性.
定理3如果R(J>1，并且满足条件()模型(1)的地方病平衡点E*在。内是全局渐近稳定的.
2〃>max{B1f7(e)M s—m—£+B2g f(/)M s+max{/Bg'(i)M s,},—m+£+B1f(e)M s+ Bg'(i)M s+5,m—£+B i f(E)M s+Bg'(a)M s,—Y—5}.(2)证明系统(1)的Jacobian矩阵为
(—m—〃
m
、0
矩阵J的第二加性复合矩阵为
—Bf(E)S
B1f'(E)S—G—£
—B2g(I)S
B2g(I)S
—(“+Y)
Y
5、
(“+5)0
J=
£
J[(M1B2g(I)S0B2g(I)S—50)£M
22
0—B1f'(E)S0—5
0Y M330—B1f'(E)S—Bg'I)S 0m0M4400
00m Y M
55
BgIS 、0000£M660
其中:m=B1f(E)+BgI),M h=B1f'(E)S—m—2〃一£,M?2=—m—2〃一Y M33=—m—2〃一5,M44=B1f'(E)S—2〃一£—Y M55=B1f'(E)S—2〃一£—5,M66=—2〃一Y—5.
令P(SE,R)=dag(mm)，则PP1=diag(—I,—I,-I,-I,—I,—I)
令：Q(SE,R)=PP1+PJ m P1=
(
M u-；Bg'I
)S0£M22—I0
0Y M33—I
0m0
00m
000
Bg'IS—50
-B/(E)S0-5
0-B1f(E)S—Bg‘I)s
—i
M44—~i00
Y M55-I Bg‘IS
—i 0£m66——
I 0
第2期秦海燕，等：具有非线性发生率的诺如病毒传播动力学模型分析131
矩阵Q(S,E,,R)可写成分块矩阵:
Q1Q12Q13Q J
Q=Q21Q22Q23Q24 Q31Q32Q33Q34 Q41Q42Q43Q44/
其中：
Q1=—I,Q l2=(Bg'(I)S,0),Q13=(g'(I)S,—&),Q u=0,
(
M22
Q21=(,)T Q22,Q23
M33——
I丿—Bf(E)S0
0—Bf(E)S
米国内库
Y
I0 Q2.i=(—5,—Bg'(I)S),
Q31=0?Q32m0)
,Q33
0m丿
M”—I
M55——
I丿
,Q34=(0,B g(I)S)T,
Y
Q41=0,Q，2=0,Q，13=(0,),Q44=M66
I
令z=(1,z,z,z,z,z)在R6=R(4)中代表一个向量，在R6中定义一个向量范数：II(z,z,3,4,5,z)II=max{z I，z+|z丨，z+|z I，z}。
在R6中，n(Q)为相应于范数的Lozinskil测度，通过定义：n(Q)=lim1I+Q1一1，有以下结论：
h>0+h
n(Q)C sup g i,g2,g3，g，l}，其中：
g l=n(Q ll)+Q12+Q13+Q14I，g2=n1(Q?2)+Q21+Q23+Q24I,
g3=n1Q33)+1Q311+q2+I Q341,g4=n1(Q41)+1Q411+1Q421+I Q431.
这里丨Q i l(zH j i,=1,,,)是相应于L向量范数的矩阵范数,n是相应于L向量范数的Lozinskil 测度，因此有：
n1(Q11)=B1f Z(E)S—m ——e—I,
n1(Q22)=—m—2f—；,
n](Q33)=B】f'(E)S—f—e—I,
n1(Q44)=——y—5—；,
且
Q12=B^g'OS,Q13=max{0g‘(I)S,},Q14=0,
Q1=e,Q23丨=B/(E)S,Q4=Bg'()S+5,
Q31=0,Q32=m,Q34=Bg'(I)S,
Q41|=0,Q42|=0,Q43=e.
将其代入g1g2g3,g，l表达式中，得：
g1=一I+Bf(E)S—m—2f—e+B?g'IS+meix Bg'O S,}C
一t+B f(e M s—m—2f—e+02g'(i)M s+max{0g'(a i)M s,},
豫公网安备41160202000603
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