2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（理）
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数的1 i 1
z =
-模为 ( ) A.
1
2
B.2
C.2
D.2
【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模. 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】
111112
i,i i 122222
z z =
=--∴=--=
-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （ ）
A ．()01，
B ．(]02，
C ．()1,2
D ．(]12， 【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】
{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，
{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.
3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为 （ ）
A.3
455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，
D.4355⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
【测量目标】向量的基本概念.
【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A
【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55AB
AB
==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：
1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；
3p ：数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
伊通进修网站是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；
其中的真命题为 （ ）
A.12,p p
B.34,p p
澳洲唐人街C.23,p p
D.14,p p
【测量目标】等差数列的性质.
【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D
【试题解析】根据等差数列的性质判定.
0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题， （步骤1）
1n n +>，但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）
同理3p 是假命题.
13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）
5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，
若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ） A.45 B.50 C.55 D.60
第5题图
【测量目标】频率分布直方图.
【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是
<+⨯=（），所以该班的学生人数是
15
500.3
=. 6．在ABC △上，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1
sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=
且,a b >则B ∠= ( ) A ．
π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6
【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.
【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A
【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得
sin sin cos A B C +1
sin sin cos sin 2
C B A B =, （步骤1）
又
sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1
sin sin 2
(A C )B +==.（步骤2）
a b >,∴π
6
B ∠=. （步骤3）
7．使得()3n
x n x x +⎛
+∈ ⎪⎝
⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【测量目标】二项式定理.
【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B
【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()
5
2
1=C 3C 3r
n r n r
r r n r r n
n T x x x x ---+= ⎪
⎝⎭
，当1r T +是 常数项时，5
02
n r -
=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）
A ．511
B ．1011
C ．3655
D ．7255
第8题图
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】13S =
，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，2
3147819S ∴=+=-，1010i ==，2415
910111
S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）
9．已知点()()()
3
0,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有 （ ）
A ．3b a =
B ．3
1
b a a
=+ C ．(
)3
3
10b a
b a a ⎛⎫---= ⎪⎝
⎭ D ．331
0b a b a a
嘉荫一中-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.
【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.
【难易程度】中等 【参考答案】C
【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此 时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=
，则3
0b a =≠，若π2
B ∠=，根据斜率关系可知 32
1a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即31
0b a a
--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.
（步骤2）
10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，
112AA =，则球O 的半径为 （
）
A
B ．
C ．13
2
D ． 【测量目标】立体几何的综合问题.
【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C
【试题解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,
∴5BC =，且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面
11BCC B 内，矩形
11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =，即13
2
水务局电大
R =.
11．已知函数()()2
2
22f x x a x a =-++，()()2
2
228g x x a x a =-+--+.设
1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，
{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，
则A B -=( ) A.2216a a -- B.2
216a a +- C.16- D.16 【测量目标】二次函数的图象与性质.
【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难
845主板【参考答案】C
【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2
()4x a -= ， （步骤1）
∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下
的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则
1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x a g x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪
=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）
∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+， ∴16.A B -=-（步骤3）
12．设函数()f x 满足()()2
e 2x x
f x xf x x '+=，()2
e 28
f =，则0x >时，()f x （ ）
A.有极大值，无极小值
B.有极小值，无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
【测量目标】利用导数求函数的极值.
【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活应用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D
【试题解析】由题意知2'
33
e 2()e 2()
()x x f x x f x f x x x x
-=-=.（步骤1） 令2
()e 2()x g x x f x =-，则
()2
2
2e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x x
x
x
x g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫
'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭
.
（步骤2）
由()0g x '=得2x =，当2x =时，2
2
劳动1号2
min
e ()e 2208
g x =-⨯⨯=，即()
0g x ，则当0x >时，
3
()
()0g x f x x
'=
，（步骤3） 故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
第13题图
【测量目标】由三视图求几何体的体积.
【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-
【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.
已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2
540x x -+=的两个根，
则6S = .
【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.
【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数
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