2013年数学建模竞赛试题A
主讲胡志兴
车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象.由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞.如处理不当，甚至出现区域性拥堵. 车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据.
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴视频1(附件1)和视频2(附件2)中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面, 且完全占用两条车道. 请研究以下问题：
1. 根据视频1(附件1), 描述视频中交通事故发生至撤离期间, 事故所处横断面实际通行能力的变化过程.
2. 根据问题1所得结论, 结合视频2(附件2), 分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异.
3. 构建数学模型, 分析视频1(附件1)中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系.
3车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
4.假如视频1(附件1)中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h，事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离.请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口.
附件1：视频1附件2：视频2
附件3：视频1中交通事故位置示意图附件4：上游路口交通组织方案图附件5：上游路口信号配时方案图
注：只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数.
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
视频１中交通事故位置示意图
附件３
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴附件4四川的眼泪
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴附件5
上游路口信号配时方案
7车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
1. 问题重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象.一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力.附件中视频1和视频2的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道.
问题1：根据视频1(附件1)，描述视频中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程.
问题2：根据问题1所得结论，结合视频2(附件2)，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异.
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴问题3：构建数学模型, 分析视频1(附件1)中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系. 问题4：假如视频1(附件1)中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米, 路段下游方向需求不变, 路段上游车流量为1500pcu/h, 事故发生时车辆初始排队长度为零, 且事故持续不撤离. 请估算, 从事故发生开始, 经过多长时间, 车辆排队长度将到达上游路口.
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9车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴2. 模型假设
(2) 排队所占车道车辆数与对应车道行驶方向车辆数成正比, 即：车道一车辆数: 车道二车辆数：车道三车辆数= 0.21: 0.44: 0.35.
(3) 除事故车辆外的其它车辆严格遵守交通规则, 红灯停, 绿灯行.
(4) 车辆到达率与正在排队车辆数量无关, 无论有多少车在排队, 车辆到达率不变. (5) 车辆来源是无限的.
(6) 堵车期间该路段没有其它交通事故发生.
(7) 在堵车状况下相邻两辆车车头之间间距为7米.
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
3. 问题一的解答
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3.1 问题一的分析
为分析事故所处横断面实际通行能力的变化，首先对视频1中交通事故发生至撤离期间的录像进行处理，数出以30s 为时间间隔，红绿灯交替1min 为一个周期时单位时间内横断面通过的车量个数，计算实际通行能力.为了得到完整的数据，我们选用Gibbs 抽样仿真方法，对缺失的数据进行填补，以保证补充后的数据保留原有数据的概率分布等统计性质.用填补后的数据绘制折线图，描述交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程.并利用ARMA 模型拟合曲线，描述实际通行能力的变化趋势.
问题1
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴3.2 数据的处理与分析
①对视频1中事故所处横断面通过车辆进行计数：对经过事故所处横断面的车辆进行计数，按照规定，只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数，根据《公路工程技术标准》(JTG B01-2003)规定的换算标准[1]，对视频中符合要求的车辆数据进行换算.具体换算规则如下：
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
C 0=3600/t 0=1000v /l 0(辆/小时), 其中l 0为车头最小间距, 单位米, v 为车速.表1四轮以上车辆折算规则车型载荷及功率折算系数
小客车额定座位≤19座 1.0大客车额定座位>19座 1.5小型货车载质量≤2吨 1.0大型货车载质量>2吨 1.5
实际通行能力[2]计算公式为
其中C 表示实际通行能力, C 0表示理想通行能力, 表示第i 个修正项.
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴14从视频可知: 事故发生时间为16:42:32附近, 所以我们以30s 为时间间隔, 以16:42:30为时间起点, 开始计数. 数据结果如下：
车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
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表2：视频1车辆计数及当量转换
注：粗体部分数据为Gibbs 抽样仿真方法预测数据.
车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴用Gibbs 抽样仿真方法进行处理：理论依据[3]
Gibbs 抽样表现为一个Markov 链形式的Monte Carlo 方法，其良好的性质可用于许多随机系统的分析、多元分布的随机数产生.Gibbs 抽样的基本原理：假设X ,Y 等大写字母表示随机变量或随机向量;[X ],[Y ]代表其相应的概率分布;[X |Y ],[Y |X ]则表示条件分布.
在二元的情况下，如果[X |Y ]和[Y |X ]]已知，不论[X ,Y ]知道与否，都可以通过以下步骤产生服从[X ,Y ]的随机点列
重庆李庄案16
车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴该点列的“边缘数列”
分别服从[ X , Y ] 的边缘分布[X ]、[Y ], 且具良好的性质:
相位调制器Step 1 任意选取X 的一个可能取值点x 1, 根据[Y |X = x 1] 产生随机数y 1 , 随机数对(x 1, y 1)成为随机点列{(x , y )n }中第一个点;
Step 2 根据[X |Y = y 1 ]产生随机数x 2 , 根据[Y |X = x 2 ]产生随机数y 2 , 随机数对(x 2, y 2)成为随机点列{(x , y )n }中第二个点;
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
Step 3 重复以上过程n 次, 我们即能得到所需要的随机点列{(x , y )n }.
上游路是红灯还是绿灯对交通事故横断面实际通行能力会造成一定的影响，所以红灯和绿灯作为两种情况分开考虑，计算不同情况下通行能力出现的条件概率.对视频中缺失片段数据进行补全，将已知片段按周期分开得到表3：
表3：事故发生至撤离期间红绿灯交替对应车辆当量
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴根据表2统计的数据(通行能力已知部分)可得，横断面可能出现的车辆数集合为(7,8,8.5,9,9.5,10,10.5,11)，对应用数字(1,2,3,4,5,6,7,8)分别表示这8个数.运用Gibbs 抽样填充缺失数据，只要掌握缺失数据的属性与其它属性之间的条件分布，就能够利用这些分布产生数据，因此我们对数据进行整理得出条件概率分布表如下：
19车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴表4：[车辆当量|红绿灯]条件概率分布表
标号
1
23
4
567878
8.59
9.5
10
10.5
11
合计
红灯绿灯
交通灯
车辆当量20车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴使用Excel 来实现Gibbs 抽样仿真.首先使用rand()命令产生随机数数列.在Excel 中,rand()产生的是0到1之间均匀分布的随机数，因而所产生的随机数小于0.6的概率就是0.6.
填补未知数据结果如下：
21表5：Gibbs 抽样仿真填补数据结果
车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴将补全后的数据, 运用Excel 画出折线图如下：
3.3 问题一的解答
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴由于数据呈现不平稳波动，因此考虑用Eviews 并采用普通最小二乘法进行拟合，这里选用ARMA 模型的依据是：如果t 时刻的现值与现期和前期的随机误差以及前期的值具有相关关系，就可以选用ARMA 模型.
在实际堵车情况下, 上一个时刻的车流量大小必然会影响下一个时刻, 因此比较符合相关性的条件. 选择拟合程度最好的模型ARMA(0, 2), 拟合R 2为0.411, 拟合曲线为
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表示t 时刻视频1实际通行能力.
ARMA 模型车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴该曲线表明:t 时刻的拟合与前两个时期的随机误差项成负相关的关系，随机误差是实际值与拟合值的差值.随机误差项越小，说明拟合值越大，即上一个时刻拟合的车流量越大，说明通过的车辆越多，那么堵在路口的车辆越少，下一个时刻拟合的车流量受到堵车的影响越小，车流量也会越大.
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴结合视频对图像进行分析，横断面的实际通行能力呈现上下波动的不稳定状态，但整体都在一条直线上下波动．在第二个时间点下降是因为车祸发生的时间刚好是上一次绿灯通过大量车到达车祸截面，由于人们原本还在自己选择的车道上，但是当发现车祸后，均会转移到右转车道，因此右转车道在开始短时间内可以顺利通行，当其它车道挤过来时，会产生排队效应，降低该车道的实际通行能力，因此第二个时间点的实际通行能力会比第一个时间点低．加上上游路口红绿灯是以６０ｓ为周期，所以整个截面通行能力呈现上下波动的情况．而随着时间的推移，实际通行能力逐渐趋于平稳．
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
4. 问题二的解答
4.1 问题二的分析
采用与视频1同样的处理方法统计出视频2中的各项数据，然后分别从60s 周期、上游路口为红灯和上游路口为绿灯三种情况的通行能力分别将两种不同横断面的情况进行对比，利用非参数检验中两独立样本的曼-惠特尼U 检验[4]对两组通行能力差异进行对比，并定义一个变化率，其公式为
根据结果进行相应的分析．
实际通行能力变化率＝
视频２实际通行能力－视频１实际通行能力
视频１实际通行能力
问题2
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
4.2 问题二的解答
4.2.1 理论准备
曼-惠特尼U 检验[4]通过对两个样本的平均秩的研究实现推断, 其零假设是样本来自的两总体的分布无显著差异. 基本步骤是：
①首先将两样本数据和
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混合并按升序排序， 得到每个数据各自的秩
②分别对样本
和
的秩求平均， 得到两个平均秩和
其中W x 、W y 成为秩和统计量
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
③计算样本每个秩先于样本
每个秩的个数U 1, 以及样本每个秩先于样本
每个秩的个数U 2, 即
且
④计算Wilcoxon W 统计量. Wilcoxon W 为上述U 1和U 2中较小者对应的秩和.
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴
⑤计算曼-惠特尼U 统计量, 即
在大样本下, U 统计量近似服从正态分布, 计算方法是
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车道被占用对城市通行能力的影响主讲胡志兴4.2.2数据收集
我们视频2的数据收集是在17:34:30开始收集的，并以30s 为周期统计一次，因此我们记17:34:30为t =0，并以此类推，获取实际通行能力如下：
表6：视频2车辆计数及当量转换
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豫公网安备41160202000603
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