曲线拟合有多种方式,下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合,最后给出拟合的多项式系数。 §1 线性拟合 一、数学模型 y=Xβ+ε β是p⨯1的参数向量;ε是服从标准正态分布的随机干扰的n⨯1的向量;y为n⨯1的向量;X为n⨯p矩阵。 二、求解线性拟合函数regress 调用格式:b=regress(y,X) [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X) [b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha) 说明:b=regress(y,X)返回X处y的最小二乘拟合值。bint返回β的95%的置信区间。r中为形状残差,rint光亮淬火中返回每一个残差的95%置信区间。Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。 三、举例 例1:设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。即y=10x+ε ;求线性拟合方程系数。 程序: 编写M文件mainG.m如下: x=[ones(10,1) (1:10) '] %ones(m,n)产生一个m行n列的元素全为1的矩阵 %(1:10)产生一个10行1列的元素值从1~10的矩阵 % [A B] 将矩阵A和B拼接成新矩阵或者写成[A;B] y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1) % R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) 依据参数MU、SIGMA生成一个随机数,m和n是R的行数和列数. [b,bint]=regress(y,x,0.05) 结果: x = 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 y = 10.9567 11.8334 13.0125 14.0288 14.8854 16.1191 17.1189 17.9962 19.0327 20.0175 b = 9.9213 1.0143 bint = 9.7889 10.0537 0.9930 1.0357 即回归方程为:y=9.9213+1.0143x §2 多项式曲线拟合 二、求解多项式曲线拟合函数ployfit 调用格式: p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) 三、举例 例2:由离散数据拟合出多项式。
程序: x=0:.1:1; y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]; n=3; p=polyfit(x,y,n) xi=linspace(0,1,100); z=polyval(p,xi); %多项式求值 青岛海尔药业 plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b') legend('原始数据','3阶曲线') 结果:p = 16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035 多项式为:16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035 曲线拟合图形: 例3:x=1:20,y=x+3*sin(x) 程序: x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,6) xi=1inspace(1,20,100); z=poyval(p,xi); %多项式求值函数 批批吉 plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’) legend(‘原始数据’,’6阶曲线’) 结果: p =0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304 图 6阶曲线 图10阶曲线 例4:再用10阶多项式拟合 程序:x=1:20; y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,10) xi=linspace(1,20,100); z=polyval(p,xi); plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b') legend('原始数据','10阶多项式') 结果:p = Columns 1 through 7 0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360 Columns 8 through 11 -42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671 说明:可用不同阶的多项式来拟合数据,但也不是阶数越高拟合的越好。 §3 多项式曲线求值函数polyval( ) 调用格式: y=polyval(p,x) [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 说明:y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。 [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。则YDELTA将至少包含50%的预测值。 §4 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数polyconf( ) 调用格式: [Y,DELTA]=polyconf(p,x,s) [Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha) 说明:[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s张廷登给出Y的95%置信区间YDELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。1-alpha为置信度。 例5:给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。 程序: x=0:.1:1; y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2] n=3; [p,s]=polyfit(x,y,n) alpha=0.05; [Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha) 结果: p = 16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035 s = R: [4x4 double] df: 7 normr: 1.1406 Y = Columns 1 through 7 -0.0035 0.8538 1.2970 1.4266 1.3434 1.1480 0.9413 Columns 8 through 11 0.8238 0.8963 1.2594 2.0140 DELTA = Columns 1 through 7 1.3639 1.1563 1.1563 1.1589 1.1352 1.1202 1.1352 Columns 8 through 11 1.1589 1.1563 1.1563 1.3639 §5 稳健回归函数:robust( ) 稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言,受异常值的影响较小。 调用格式: b=robustfit(x,y) [b,stats]=robustfit(x,y) [b,stats]=robustfit(x,y,’wfun’,tune,’const’) 说明:b返回系数估计向量;stats返回各种参数估计;’wfun’指定一个加权函数;tune为调协常数;’const’的值为’on’(默认值)时添加一个常数项;为’off ’时忽略常数项。 例6:演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集,然后改变一个y的值形成异常值。调用不同的拟合函数,通过图形观查影响程度。 程序: x=(1:10)’; y=10-2*x+randn(10,1); y(10)=0; bls=regress(y,[ones(10,1) x]) %线性拟合 brob=robustfit(x,y) %稳健拟合 scatter(x,y) hold on plot(x,bls(1)+bls(2)*x,’:’) plot(x,brob(1)+brob(2)*x,’r‘) 结果 : bls = 8.4452 -1.4784 brob = 10.2934 -2.0006 分析:稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些,忽略了异常值。最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响,向异常值偏移。 §6 向自定义函数拟合 对于给定的数据,根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。 二、向自定义函数拟合所用函数:nlinfit( ) 调用格式: [beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,betao) 说明:beta返回函数’fun’中的待定常数;r表示残差;J表示雅可比矩阵。X,y为数据;‘fun’自定义函数;beta0待定常数初值。 例7:保罗科埃略在化工生产中获得的的级分y随生产时间x下降,假定在x≥8时,y与x之间有如下形式的非线性模型: 现收集了44组数据,利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。 x y x y x y 8 0.49 16 0.43 28 0.41 8 0.49 18 0.46 28 0.40 10 0.48 18 0.45 30 0.40 10 0.47 20 0.42 30 0.40 10 0.48 20 0.42 30 0.38 10 0.47 20 0.43 32 0.41 12 0.46 20 0.41 32 0.40 12 0.46 22 0.41 34 0.40 12 0.45 22 0.40 36 0.41 12 0.43 24 0.42 36 0.36 14 0.45 24 0.40 38 0.40 14 0.43 24 0.40 38 0.40 镁合金熔炉14 0.43 26 0.41 40 0.36 16 0.44 26 0.40 42 0.39 16 0.43 26 0.41 首先定义非线性函数的m文件:fff6.m function yy=model(beta0,x) a=beta0(1); b=beta0(2); yy=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8)); 程序: x=[8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00 14.00 16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00 22.00 24.00 24.00 26.00 26.00 26.00 28.00 28.00 30.00 30.00 30.00 32.00 34.00 36.00 36.00 38.00 38.00 40.00 42.00]'; y=[0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43 0.43 0.44 0.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 0.40 0.40 0.41 0.40 0.41 0.40 0.40 0.40 0.38 0.41 0.40 0.40 0.41 0.38 0.40 0.40 0.39 0.39]'; beta0=[0.30 0.02]; betafit = nlinfit(x,y,'sta67_1m',beta0) 结果:betafit =0.3896 0.1011 即:a=0.3896 ,b=0.1011 拟合函数为: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
本文发布于:2024-09-21 17:46:25,感谢您对本站的认可!
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