第34卷第1期
2021年2月
PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE
Vol.34 No.1Feb.2021
文章编号：1007-2934(2021 )01-0011-04
品质因数Q 的关系
骆金锋，谢志寒，吴莎，李雪梅
(浙江海洋大学，浙江舟山316022)
摘 要：通过将RLC 串联谐振电路的谐振曲线方程无量纲化得到一个普适的谐振曲线，并根据它 证明了曲线的对称性只取决于品质因数Q 的值，而非谐振频率的大小。在实验上用控制变量法也验证 了此结论。
关键词：RLC 电路；品质因数；谐振频率；谐振曲线中图分类号：O 551.3
文献标志码：A DOI ：10.14139/jki22-1228.2021.01.003
RLC 谐振电路是大学物理实验的组成部分，它 虽然电路结构简单，但却在信号选频、滤波等方面发
挥着重要的作用。而信号选频性能的好坏可由如图
1I-f 关系曲线中谐振曲线的对称性和尖锐性来反映,
首先，利用普适函数推导了谐振曲线对称性
和尖锐性与品质系数Q 的关系，然后根据张超 军［1］，郑桂容等［2］，刘睿等［3］提出的利用测量LC 两端的电压替代测量电阻R 两端电压以便于更 加快速精确地到谐振点、减小实验误差的方法,
结合控制变量法进行分组实验，最后对得到的实 验结果进行分析，发现品质因数Q 的大小实际由 谐振曲线的对称程度决定。
山西农业大学学报1实验原理
如图2所示，假定交流信号发生器的输出信
号的圆频率为M ，回路中电流为I 且信号源电压 为U 。则电路中的阻抗值为：
|Z (jco )丨二 J r 2+卜L-丄］
(1)
当电路产生谐振时,C^L - 1 =0，即e 二1。
此时电路中的电流为最大值，电流为：
U U
Z
2
ec
(2)
在实际操作过程中，通过理论计算出理论上
的谐振频率，尔后通过示波器测量电阻R 两端的
电压，到电阻R 两端最大的电压值所对应的频
率即为谐振频率。根据实验结果，谐振频率的理
品质因数Q 为谐振时电感L 两端的电压或
电容两端的电压与信号源输出电压的比值，它标 志着谐振电路性能的好坏，也是实验中重点关注
收稿日期：2020-10-26
基金项目：浙江省自然科学基金(
LQ16A050001)
12大学物理实验2021年
的数值。
(3)时，首先保证了品质因数Q值的大小。
根据式(3)可得,QR=L；根据％=1及
JC TLC
2公式论证30=2吋0得，齐
1_=TLC
2n LC2nLC。
联立两式可
事实上，通过适当标度可以将谐振曲线I-CO 写成普适的形式。由公式(2)可得：
IR1
U aL1、2
1+(R-aRC)
(4)
定义无量纲量1三ir,1=?则上式可写为:
UR
1=
1
三G(1,Q)
1+(1-Q?
1
(5)
其中q2=二是另一个无量纲量，即品质因R2C
数Q的平方。
(5)式中变量/,w,Q全是无量纲量，函数G 是普适的函数。从此普适函数的形状中讨论共振峰的对称性和尖锐程度是更方便的。
此普适曲线G(1,Q)是作为1的函数，其形状只受Q影响，因此共振峰的对称性完全由Q决定:Q越大，对称性越好。王安忆天香
谐振峰的宽度也可以很方便的求解出来。取i=1处对应的两个无量纲频率之差，表征谐2
振峰的宽度，则△3=1。谐振峰的尖锐程度可由
宽度与谐振频率况=Q表征，则A w=Q可见，Q
Q
30
越大，峰越尖锐，表明电路选频性能越好。
3控制变量论证
周尚万［4］在文中提出只有在品质因数Q较大时，才可以把串联谐振称为电压谐振；竺江峰等［5］也在大学物理实验一书中提出在实验中要尽量保障Q»1。因此，在实验中设定仪器参数得,QR=2n/0Lo对于此式：
(1)控制电容C为变量，则品质因数Q与谐振频率f0成正比，办越大，则Q也越大。
第一组控制变量实验为在保证电感L为10mH，电阻R为10O，电源电压为3V的情况下，改变电容的大小，分别令电容C为0.022^F、1^F、4.7r F，得到品质因数Q为67.4、10、4.6时的三条谐振曲线。由该组谐振曲线可看到，随着电容C的增大，谐振频率减小，品质因数Q也随之减小，谐振曲线也逐渐变得不对称。
在该组控制变量实验中，似乎可以验证权建军［5］和陆申龙同所得出的谐振频率越高谐振曲线越对称的观点，但事实并非如此，在控制变量的另外两组实验中便可以得到验证。
(2)控制电感L为变量，则品质因数Q随电感L的增大而增大，而谐振频率办随之减小。
第二组控制变量实验为在保证电容C为1r F，电阻R为10n，电源电压为3V的情况下，改变电感的大小，分别令电感L为100r H、1mH、100mH，得到品质因数Q为1、3.16,31.6时的三条谐振曲线。由该
组谐振曲线可知，随着电感L 的增大，谐振频率人减小，而品质因数Q随之增大，谐振曲线也变得更加对称。
在该组控制变量实验中，随着谐振频率J~0的减小，谐振曲线反而变得更加对称。权建军［6］和陆申龙⑺所得出的谐振频率越高谐振曲线越对称的观点便可以轻松得到反驳。
(3)控制电阻R为变量，则品质因数Q随电阻R的增大而减小，而谐振频率办与电阻阻值大小无关，因此保持不变。
第三组控制变量实验为在保证电容C为0.022r F，电感L为50mH，电源电压为3V的情况下，改变电阻的大小，分别令电阻R为10O、1000、10000，得到品质因数Q为150.75、15、1.5时的三条谐振曲线。由该组谐振曲线可得，
随着
第1期骆金锋，等:RLC串联谐振曲线对称性与品质因数Q的关系13
电阻R的增大，谐振频率九不变，而品质因数Q值R的变化，谐振频率f0并没有发生变化，亦可随之减小，谐振曲线变得更加不对称。以证明权建军［6］和陆申龙⑺所得出的谐振频率在该组控制电阻R为变量的实验中，随着阻越高谐振曲线越对称的观点是错误的。
表1控制变量法得到的三组谐振曲线
控制电容
C 为变量
Q=67.4；L=10mH;C=0.022|±F；
齐=10730.2Hz；R=10Q；U=3V
Q=10；L=10mH；C=1|±F；
齐=1591.5Hz；R=10Q；U=3V
Q=4.6；L=10mH；C=4.7|±F；
齐=734.1Hz；R=10Q；U=3V
控制电感厶为变量
Q=1；L=100|±H；C=1|±F；
邮政专营办=15915.5Hz；R=10Q；U=3V
Q=3.16；L=1mH；C=1|±F；
办=5032.9Hz；R=10Q；U=3V
Q=31.6；L=100mH；C=1|±F；
办=503.3Hz；R=10Q；U=3V
控制电阻人为变量
Q=150.75；L=50mH；C=0.022^F；
办=4799Hz；R=10Q；U=3V
胡银波
Q=15；L=50mH；C=0.022|±F；
f0=4799Hz；R=100Q；U=3V
熊事件Q=1.5；L=50mH；C=0.022|±F；
办=4799Hz；R=1000Q；U=3V 由上述谐振曲线可知：若仅改变电容C，随电
容C的增大，谐振频率九减小，品质因数Q也随之减小，谐振曲线也逐渐变得不对称。根据这组实验数据似乎可以验证权建军［6］和陆申龙⑺所得出的谐振频率越高谐振曲线越对称的观点，但根据后两组实验得到结果便可以推翻这个结论。若仅改变电感L，随电感L的增大，谐振频率f0减小，而品质因数Q随之增大，谐振曲线也变得更加对称。若仅改变电阻R，随电阻R的增大，谐振频率九不变，而品质因数Q随之减小，谐振曲线变得更加不对称。在后两组实验中，一组实验得到了完全相反的结果，而另一组则直接表明谐振曲线的对称性与谐振频率无关。
4结语
根据以上三组控制变量实验结果可以得出, RLC串联谐振曲线的对称性并不受谐振频率九的影响，而是由品质因数Q的大小决定的。因此，通过理论和实验分别证明：当品质因数Q越大时，谐振曲线的对称性越好，谐振峰也越尖锐，电路的选频性能也越强。
参考文献：
承德七中
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Relation between the Symmetry of the RLC Series
Resonance Curve and the Q-factor
LUO Jinfeng,XIE Zhihan,WU Sha,LI Xuemei
(Zhejiang Ocean University,Zhoushan316022,China)
Abstract:We derive a universal resonance curve by transforming the resonance equation of the RLC series resonance circuit into dimensionless form,and apply it to show that the symmetry of the curve depends on the Q-factor rather than the resonance frequency.This result is verified experimentally by the method of control variate.
Key words：RLC circuit;quality factor;resonance frequency;resonance curve
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