第⼆章习题答案
2.1
（1）⾮平稳
（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376
（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本⾃相关图
2.2
（1）⾮平稳，时序图如下
（2）-（3）样本⾃相关系数及⾃相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本⾃相关图
2.3
（1）⾃相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118
（2）平稳序列
（3）⽩噪声序列
2.4
，序列LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。显著性⽔平=0.05
不能视为纯随机序列。
2.5
（1）时序图与样本⾃相关图如下
（2）⾮平稳（3）⾮纯随机 2.6
（1）平稳，⾮纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)）（2）差分序列平稳，⾮纯随机 第三章习题答案
3.1 解：1()0.7()()t t t E x E x E ε-=?+
0)()7.01(=-t x E 0)(=t x E t t x ε=-）B 7.01(
t t t B B B x εε)7.07.01()7.01(221 +++=-=- 229608.149
.011
)(εεσσ=-=
t x Var
49.00212==ρφρ 022=φ
3.2 解：对于AR （2）模型：
=+=+==+=+=-3.05
.021102112
12112011φρφρφρφρρφφρφρφρ解得：==15
/115/721φφ
3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：0)(=t x E
原模型可变为：t t t t x x x ε+-=--2115.08.0
2212122
)
1)(1)(1(1)(σφφφφφφ-+--+-=
t x Var
2)
15.08.01)(15.08.01)(15.01()
15.01(σ+++--+=
=1.98232σ
=+==+==-=2209.04066.06957.0)1/(1221302112211ρφρφρρφρφρφφρ ??
=-====015.06957.033222111φφφρφ 3.4 解：原模型可变形为：
t t x cB B ε=--)1(2
由其平稳域判别条件知：当1||2<φ，112<+φφ且112<-φφ时，模型平稳。由此可知c 应满⾜：1||
3.5证明：已知原模型可变形为：
t t x cB cB B ε=+--)1(3
2
其特征⽅程为：0))(1(223=-+-=+--c c c λλλλλλ不论c 取何值，都会有⼀特征根等于1，因此模型⾮平稳。
3.6 解：（1）错，)1/()(220
1θσγε-==t x Var 。
厦门px项目事件（2）错，)1/()])([(2
12
10111θσθγργµµε-===---t t x x E 。
（3）错，T l
T x l x
1)(?θ=。（4）错，112211)(+--+-++++++=T l l T l T l T T G G G l e εεεε =11122111+--+-++++++T l l T l T l T εθεθεθε（5）错，2
21221
21111]1[1lim )]([lim )](?[lim εεσθσθθ-=--==-∞→∞→+∞
→l l T l T l
T l l e Var l x x Var 。 3.7解：12411112112
1
1
1-=-+-=?+-=ρρθθθρ MA(1)模型的表达式为：1-+=t t t x εε。
3.8解法1：由1122=+t t t t x µεθεθε----，得111223=+t t t t x µεθεθε------，则
111212230.5=0.5+(0.5)(0.5)+0.5t t t t t t x x µεθεθθεθε------+--，与123=10+0.5+0.8+t t t t t x x C εεε----对照系数得12120.510,0.500.50.80.5C
µθθθθ=??+=??-=??=?，故1
2
20,0.5,0.55,0.275C µθθ=??=-??=??=?。
解法2：将123100.50.8t t t t t x x C εεε---=++-+等价表达为
()23
23223310.82010.510.8(10.50.50.5)t t
t
B CB x B B CB B B B εε-+-=-=-+++++ 展开等号右边的多项式，整理为
2233
4423243
4
10.50.50.50.50.80.80.50.80.50.5B B B B B B B CB CB +++++--?-?-+++
合并同类项，原模型等价表达为
2
330
20[10.50.550.5(0.50.4)]k k t t k x B B C B ε∞
+=-=+-+-+∑
当3
0.50.40C -+=时，该模型为(2)MA 模型，解出0.275C =。
3.9解：：0)(=t x E
222
22
165.1)1()(εεσσθθ=++=t x Var
竹粉5939.065.198.012
2212111-=-=+++-=
θθθθθρ 2424.065
.14.01222122==++-=
θθθρ 30≥=k k ，ρ。
3.10解法1：（1）)(21 +++=--t t t t C x εεε
)(3211 +++=----t t t t C x εεε
11111)1(------++=??
+-+=t t t t t t t t C x C x C x εεεεε
即 t t B C x B ε])1(1[)1(--=-
显然模型的AR 部分的特征根是1，模型⾮平稳。（2） 11)1(---+=-=t t t t t C x x y εε为MA(1)模型，平稳。 2
21
12
2111+--=+-=
C C C θθρ解法2：（1）因为22()lim(1)t k Var x kC εσ→∞
=+=∞，所以该序列为⾮平稳序列。
（2）11(1)t t t t t y x x C εε--=-=+-，该序列均值、⽅差为常数，
()0t E y =,22()1(1)t Var y C εσ??=+-??
⾃相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间⽆关
12
1
,0,2
1(1)k C k C ρρ-=
=≥+-
所以该差分序列为平稳序列。
3.11解：（1）12.1||2>=φ，模型⾮平稳；
=1λ 1.3738 =2λ-0.8736
（2）13.0||2<=φ，18.012<=+φφ，14.112<-=-φφ，模型平稳。 =1λ0.6 =2λ0.5
（3）13.0||2<=θ，16.012<=+θθ，12.112<-=-θθ，模型可逆。 =1λ0.45＋0.2693i =2λ0.45－0.2693i
（4）14.0||2<=θ，19.012<-=+θθ，17.112>=-θθ，模型不可逆。 =1λ0.2569 =2λ-1.5569 （5）17.0||1<=φ，模型平稳；=1λ0.7 16.0||1<=θ，模型可逆；=1λ0.6
（6）15.0||2<=φ，13.012<-=+φφ，13.112>=-φφ，模型⾮平稳。 =1λ0.4124 =2λ-1.2124
11.1||1>=θ，模型不可逆；=1λ 1.1。
3.12 解法1： 01G =，11010.60.30.3G G φθ=-=-=，
1111110.30.6,2k k k k G G G k φφ---===?≥
所以该模型可以等价表⽰为：10
0.30.6k
t t t k k x εε
∞
叶国兵事件
--==+
∑。
解法2：t t B x B ε)3.01()6.01(-=-
t t B B B x ε)6.06.01)(3.01(22 +++-= t B B B ε)6.0*3.06.0*3.03.01(322 ++++= j t j j t -∞=-∑+=εε116.0*3.0
10=G ，16.0*3.0-=j j Gyangzhenning
3.13解：3)()5.01(])(3[])([2=-?Θ+=Φt t t x E B E x B E ε
河南省信息管理学校12)(=t x E 。
3.14 证明：已知112
φ=
，11
4θ=，根据(1,1)ARMA 模型Green 函数的递推公式得：
01G =，2110110.50.25G G φθφ=-=-=，1111111,2k k k k G G G k φφφ-+-===≥
01ρ=
5
2
23211
1
1
1除尘灰
22450
11111142422(1)
11112
01
1170.27126111j j
j j j j j
j j G G
G
φφφ
φφφφφρφφφφφ∞
∞
++==∞
∞
+==++
--+=
=
====-+++
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