数据拟合法

第四章数据拟合法

在科学实验和生产实践中，有许多函数关系仅能用由实验或观测得到的一组数据表来表示，例如某种物质的化学反应，能够测得生成物的浓度与时间关系的一组数据表.而它们的解析表达式是不知道的。但是为了要知道化学反应速度，必须要利用已知数据给出它的近似表达式，有了近似表达式，通过求导数便可知道化学反应速度。可见已知一组数据求它的近似表达式是非常有意义的.如何求它的近似表达式呢？第二章介绍的插值方法是一种有效的方法.但是由于数据是由测量或观测得到的，它本身就有误差，作插值时一定要通过型值点似乎没有必要；其次当很大时，采用插值（特别是多项式插值）很不理想（会出现龙格现象），非多项式插值计算又很复杂。为此，本章介绍一种“整体”近似的方法，即对于给定的数据，选一个线性无关函数系，以它们为基底构成的线性空间为

在此空间内选择函数

其中为待定常数。要求它逼近真实函数的误差尽可能小，这就是数据拟合问题.

§12018年刘伯温全年资料最小二乘法

一、最小二乘法

设有数据，令

并称为残向量，用去拟合的好坏问题变成残量的大小问题。判断残量大小的标准，常用的有下面几种：

(1) 确定参数，使残量绝对值中最大的一个达到最小，即

为最小。

(2) 确定参数，使残量绝对值之和达到最小，即

为最小。

(3) 确定参数，使残量的平方和达到最小，即

最小

(1)和(2)两个标准很直观，但因为有绝对值，所以实际应用很不方便；而标准(3)既直观，使用又很方便。按标准(3)确定待定参数，得到近似函数的方法，通常称为最小二乘法。

在实际问题中如何选择基函数是一个复杂的问题，一般要根据问题本身的性质来决定。如果从问题本身得不到这方面的信息，那么通常可取的基函数有多项式、三角函数、指数函数、样条函数等。下面重点介绍多项式的情况。

设基函数取为. 已知列表函数，且. 用多项式

(1.1)

去近似，问题是应该如何选择使能较好地近似列表函数. 按最小二乘法，应选择使得

(1.2)

滤水管取最小。

注意到是非负的，且是的二次多项式，它必有最小值。求对的偏导数，并令其等于零，得到

雷经天

进一步将上式写成如下方程组

再将方程组写成矩阵形式

. (1.3)

若令

则(1.3)可简单地表示为

定义1 方程组(1.4)称为法方程组（也叫正规方程组或正则方程组），而

（个未知量，个方程式） (1.5)

称为超定方程组（也叫做矛盾方程组）.

可以证明为超定方程组(1.4)中国海军护航11年的最小二乘解的充分必要条件是满足(1.3).

定理1 法方程组(1.4)有唯一一组解。

定理2 设是法方程组(1.4)的解，则多项式是问题的解。

正规方程组方按下表来构造：

表4.1 多项式拟合方程组的构造

东北9省

							…
							…
							…

							…
							…

例1 已知数据为

0.2	0.5	0.7	0.85	1
1.221	1.649	2.014	2. 340	2.718

试按最小二乘法求的二次近似多项式.

解列表


0.2	1.221	0.244	0.04	0.049	0.008	0.002
0.5	1.649	0.824	0.25	0.412	0.125	0.063
0.7	2.014	1.410	0.49	0.997	0.343	0.240
0.85	2.340	1.989	0.723	1.690	0.614	0.522
1	2.718	2.718	1	2.718	1	1
3.250	9.942	7.185	2.503	5.857	2.090	1.826
		信息技术的负面影响