数贝
拾海严格上讲，黎曼猜想与哥德巴赫猜想并没有特别明显的联系（至少现在应该没有什么定理可表明二者是等价的），不过在对哥德巴赫猜想的研究过程中黎曼猜想确实扮演了类似“敲门砖”的角.一、黎曼ζ函数 所谓的黎曼ζ函数，是无穷级数ζ(s )=∑n 1
n
8(Re(s )>1)
在Re(s )<1这大半个复平面上的函数（在Re(s )≤1时
上述级数是不收敛的）.德国数学家伯恩哈德·黎曼
（Bernhard Riemann ）在1859年发表的论文《论小于给定
Γ(1-s )
2πi
∫C (-z )s e z -1d z
z ，
并证明在上述函数中除了在s =1处有一个简单的极点外，在整个复平面上是处处解析的.根据上 述表达式可以证明，黎曼ζ函数满足函数：ζ(s )=2Γ(1-s )(2π)s -1sin æèöø
πs 2ζ(1-s ).首先可以从上述表达式中看出
黎曼ζ函数在s =-2n （n 是正整数）处的值为0，该点被黎曼称为平凡零点.黎曼发现ζ函数除了有上述平
雪花秘扇票房凡零点外，还有无穷多个非平凡零点，这些零点的性质远比平凡零点复杂.经过研究后，黎曼提出了影响数学界的猜想——黎曼猜想：黎曼ζ函数所有非平凡零
点均位都于复平面Re(s )=1
2
的直线上.黎曼称这条直
线为临界线.从上面的函数中可以看出来黎曼ζ函数确实关于临界线有某种对称性，因此黎曼凭借他的直觉猜测：很有可能ζ函数的所有非平凡零点都在临界线上.为了对ζ函数进行进一步研究，黎曼引入了辅助
函数ζ(1)=Γæèöø
s 2(s -1)π-s
2
ζ(s )，于是很容易发现ζ函数
的零点恰好是ζ函数的非平凡零点，也就是说ζ函数像一个细密的筛子将ζ函数的所有非平凡零点从其
零点中筛了出来.黎曼利用复变函数的知识证明了ζ(s )=ζ(1-s )ζ.这样ζ函数的对称性就变得尤为明显
了.若记ρ为ζ函数的零点，则有ζ(s )=ζ(0)∏p æè
çö
ø÷1-s p ，
这里ρ与1-ρ总是配对出现的.需要注意的一点是，
上述连乘积展开式对于有限多项式虽是成立的，但对
这种无穷乘积却不总是成立的.直到1893年阿达马（Hadamard)对以ζ(s )为代表的整函数进行了系统研究之后，才完完全全证明了黎曼的这个表达式.黎曼利用
ζ函数研究了零点分布的情况并且提出以下3个猜想.
猜想一：在0<lm(s )<T 的区域内，ζ(s )的零点数
目约为T 2πln T 2π-T
2π；
猜想二：在0<lm(s )<T 的区域内，ζ(s )在临界线
上的零点数目也约为T 2πln T 2π-T
2π
；
猜想三：
ζ(s )的所有零点均在临界线上.最后一个便是大名鼎鼎的黎曼猜想.需要指出的是，黎曼承认自己证不出猜想三，且认为猜想一、二都是比较简单的，但他并没有给出完整证明过程.猜想一直到黎曼的论文发表46年后才被证明；猜想二直到现在也没被证明.
黎曼
二、黎曼ζ函数与素数分布
熟悉初等数论的人都知道，欧拉（L.Euler ）在
1737年发表的论文中提到过一个著名公式ζ(s )=∑n 1马克隆
n
s
=∏p 11-p -s ，其中ρ为素数.利用这个乘积关系式可以很简单地证明素数有无限个，由这个公式，我们便能将黎曼ζ函数与素数紧密地结合在一起.利用欧拉的这个公式做引子，黎曼证明了如下结果：
ln ζ(s )=∫
0∞
x -s d J (x )，这里J (x )=∑n
π(x 1
n
)n ，其中π(s )为不大于x 的
素数个数.通过求其积分，黎曼得到ln ζ(s )=s ∫0∞
J (x )-s -1
d x .该式的左边是ζ函数，右边是与素数分布直接相关的J (x )，那么接下来要做的便是解出J (x )=12πi
∫a -∞a ∞ln ζ(z )
z x z d z .61
例外管理
数贝
拾海利用莫比乌斯反演可以得到π(x )=∑n
μ(n )n J æèçöø÷x 1
n ，这样素数分布函数π(x )与黎曼ζ函数就有了直接的联系.
三、素数定理
素数的规律一直是数论领域的核心问题.对于π(x )，高斯（Gauss ）有如下猜想：
π(x )≈∫2∞
d t ln t =Li(x ).勒让德（Legendr
e ）也有如下猜测：π(x )≈x ln x -1.08366
.容易看出，这两者是等价的，共同被称为素数理.1896年，阿达马（de la Valee ）与普桑（Poussin ）分别独立证明了黎曼ζ函数在Re =1上没有零点，进而证明了素数定理.这当然是一个辉煌的成就，素数定理被证明之后，人们普遍希望能得到一个有精密误差项的估计，可以证明高斯的公式比勒让德的公式要精密得多.在假设黎曼猜想成立的情况下，人们证明了π(x )=Li(x )O (x ln x )，
反之，从这个公式也可以推出黎曼假设是对的，也就是说两者是等价的.值得说明的是，黎曼假设
还有一个等价命题：对所有的n ≥1，
∑d |n
d ≤H n exp(H n )ln H n ，其中H n =∑k =1n
1
k
.
四、广义黎曼假设（GRH ）
广义黎曼猜想：黎曼ζ函数ζ(x )=∑n 1
n
s (Re(s )>1)
的非平凡零点都在Re(s)=1/2的直线上.不过其研究对象由黎曼ζ函数变成了更具广泛性的狄利克雷
（Dirchlet ）L 函数.所谓狄利克雷L 函数是指级数
L (s ,x )=∑n =1∞
x (n )
n
s (Re(s )>1)在Re(s )<1上的函数，其中
x (n )mod p 是狄利克雷特征，此函数被称为模ρ的狄利克雷L 函数.数学家们由这个猜想证明：所有的非平凡零点都位于L (s ,x )临界线上.显然，这个比黎曼猜想难证多了.现代数论研究中，多在GRH 成立的情况下进行讨论，与黎曼假设类似由，GRH 可以推出：当(l ,k )=1，令算术序列lkn (n =1,2,3⋯)中不超过x 的素数个数为π(x ,k ,l )，则有π(x ,k ,l )=1φ(k )Li(x )O (x ln x ).同
样的，这个公式反过来也能推出GRH.
五、哥德巴赫猜想（Goldbach Problem)
在1742年给欧拉的一封信中，哥德巴赫提出了两个猜想，欧拉用稍微简练的语言修改后表述如下，（1）哥德巴赫猜想：每一个偶数n (n ≥6)都能用两奇素数之和，即n =p 1p 2数n (n ≥9)都能用三个奇素数之和，即n =p 1p 2p 3表示.中华人民共和国监察部
哥德巴赫
很明显，哥德巴赫猜想可以推出弱哥德巴赫猜想.在1900年的第二届国际数学家大会上，大卫·希尔伯特（D.Hilbert ）向全世界的数学家们提出23个问题，其中哥德巴赫猜想便是第8个问题的一部分.12年后，在第五届国际数学家大会上，兰道（Landau ）又将其作为素数论中未解决的4个难题加以推荐.从这个意义上来讲，哥德巴赫猜想可谓是素数论中的核心问题.
六、弱哥德巴赫猜想与GRH
19世纪20年代，哈代(Hardy ）和李特尔伍德（Lit⁃
tlewood ）在其“算术分拆”的系列文章中创立并发展了
“圆法”，即把方程n =p 1p 2p 3的解用积分表示，并将积分区间[0,1)分为两段：一段“优弧”对应的区间和一段
“劣弧”对应的区间.然而此积分的上下界估计均需要根据广义黎曼假设（GRH ）来得到.在GRH 成立的前提下，哈代和李特尔伍德证明了：每个充分大的奇数都是3个奇素数之和，以及几乎所有的偶数都是2个素
数之和，即令E (x )为不超过x 的不能表示成两素数之和的偶数的个数，则有lim x →∞
E (x )
x
=0.这一方面表明在GRH 成立的情况下，哥德巴赫猜想基本成立；另一方
面暗示广义黎曼假设与公理体系中的很多定理是相容的，这就增强了GRH 的可信度.
在哈代和李特尔伍德的证明中用到了GRH 导
出的有关π(x ,k ,l )的估计式：对任意的ε>0，|π(x ,k ,l )-1φ(k )∫2x d t ln t
|≤C ε
哈贝马斯交往理论x 1
2ε
.这明显是GRH 的算术形式，用素数定理的方法来处理优弧上的积分当然也可以，但是不足以推出弱哥德巴赫猜想.
折现率直到1936年，事情出现了转机，帕奇（A.Page ）与
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拾海西格尔（C.L.Siegel ）分别先后独立证明有π(x ,k ,l )的估计式，他们的结果已经比当时已取得的结果要强不少，也足以导出优弧上的积分估计.数学家们意识到哈代和李特尔伍德证明中的GRH 是有可能被取消的，之后维诺格拉多夫（Vinogradov ）和埃斯特曼（Sterman ）证明了：每一个充分大的奇数n 皆可以表示成2个素数乘积n =p 1p 2p 3p 4，以及每一个充分大的整数n 都是
2个素数与1个数的平方之积n =p 1p 2m 2
.大多数人认为在不依赖于GRH 的传统圆法证明中，这已经是很好的结果了，很难被超越了.
1937年，维诺格拉多夫改造了传统圆法，将劣弧
上的积分化为估计三角和S (a )=∑p ≤x
e (px )，其中e (x )=e 2πix ，他给出了S (a )的一个非同寻常的估计，并证
明了：每个充分大的奇数n 都是3个奇素数之和.但是这个“充分大”到底要多大才行呢？维诺格拉多夫的学生波罗斯特金（Borozdin ）计算出来3315，这个数已经足够大了，但这个下界太大，难以用计算机验证.紧接着波罗斯特金又将下界改进成了e e 16.035
，但是依然太大
……直到2002年，香港大学的廖明哲和王天泽将下限降到了e 3100，但这还是不够！2012年，加州大学洛杉矶分校的陶哲轩（T.Tao ）首次不借助用GRH 证明了：奇数都可以表示成最多5个素数之和.2012、2013年，巴黎的哈洛德·贺欧夫各特（Harold Hofgate ）连发两篇论文将下界降到了史无前例的1030
，其同事大卫·帕拉特（D.Platt ）利用计算机验证了小于该下界的所有奇数均符合要求，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明.
七、哥德巴赫猜想与GRH
对哥德巴赫猜想的研究主要是围绕圆法进行的，以华罗庚为代表的中国解析数论学派在其中发挥着举足轻重的作用.筛法源于公元前250年的埃拉托尼（Eralosthenes ）筛法，埃拉托尼用该方法制作出了世上第一张素数表.1919年，布伦（Brenda ）对传统筛法进行了大幅度的改进，并首先将其应用于哥德巴赫猜想的研究，他证明了：每一个充分大的偶数都是两个素因子个数不超过9的整数之和，简记为“9+9”.我们可以类似定义ab ，布伦的这个结果开辟了一条证明哥德巴赫猜想的新思路，即不断降低a ,b 的值，直到降到11，也就证明了哥德巴赫猜想.有了布伦的方法作为基础，有关哥德巴赫猜想的结果成井喷式增长：1924年，拉代马海（H.Rademacher ）证明了“7+7”；1932年，埃斯特曼证明了“6+6”；1937年，里奇（Ricci ）证明了“5+7”“4+9”“3+15”“2+366”；1938年，布赫施塔布
（Buchstab ）改进布伦筛法，证明了“5+5”；1940年，布赫施塔布证明了“4+4”.随后，塞尔伯格（A.Selberg ）发表了著名的Λ2-方法.起初Λ2-方法是被塞尔伯格用于研究孪生素数问题，华罗庚首开先河将其应用于哥德巴赫猜想的研究，其想法便是利用Λ2-方法改进布伦筛法的上界估计，同时利用布赫施塔布筛法得到更好的下界估计，在华罗庚的帮助下王元于1955年证
明了“3+4”，这标志着中国解析数论学派开始在该问题的研究领域占据领导地位.几乎同时维诺格拉多夫证明了“3+3”.王元发现维诺格拉多夫的结果可以直接由Λ2-方法得到，他指出维诺格拉多夫证明中的不足，并加入了一些新的想法，维诺格拉多夫对他的“3+3”证明作了更正.同年，孔恩（P.Kuhn ）发表了关于x 21序列中素数问题的几篇文章，里面包含了不少的新想法.结合孔恩的方法，王元证明了“3+3”
和ab (ab ≤5).在王元之前，其同事潘承洞证明了“1+5”和“1+4”.1957年春天，王元在假定GRH 成立的情况下证明了“1+3”，在此之前的最好结果是埃斯特曼的在假定GRH 成立的情况下“1+6”和王元、维诺格拉多夫在假
定GRH 成立的情况下的“1+4”.后来，陈景润发表了论文《大偶数可表示为一个素数及一个不超过2个素数之和》，该成果远超此前取得的所有结果.在陈景润证明“1+2”后，人们普遍认为：由于筛法自身的局限性，很有可能“1+2”便是最好的结果，因此如果想在陈氏定理的基础上更进一步证明甚至证明哥德巴赫猜想，就需要引进更加新颖而且强有力的“工具”.
笔者觉得，哥德巴赫猜想是无法与黎曼猜想匹敌的.因为哥德巴赫猜想只是一个数论问题，而且从目前来看它也并未对除堆垒数论以外的数论分支产生过重大影响.而黎曼猜想则不同，其证明不但对数论领域有深远的影响，而且可以对复变函数论的发展起积极的推动作用.迄今为止，数学家对哥德巴赫猜想的证明中并未用到黎曼猜想，用的是广义黎曼猜想.另外，单从证明上讲，很有可能黎曼猜想就要比哥德巴赫猜想难得多，更别提广义黎曼猜想.
哥德巴赫猜想跟孪生素数猜想有着极为深刻的联系，哥德巴赫猜想的相关结果一般而言是可以转换
成孪生素数猜想的相关结果的，比如陈景润也曾证明
过这样一个定理：存在无穷对素数p 1和殆素数p 1p 2，
使得其为相邻的奇数.这跟他的“1+2”很像，也跟孪生素数猜想很接近.
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