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7利克雷01；证明01连？性方B-C单应用◎张永康胡鑫洋和昊张琪(山东农业大学信息科学与工程学院，山东泰安271018) 【摘要】狄利克雷函数有着十分特殊的性质，在分析数学中常被用作构造函数.同时，狄利克雷函数常被用作反例，解决一些似是而非的问题，比如，判断函数的连续性等. 【关键词】狄利克雷函数；狄利克雷拓展函数；函数连续性
一、狄利克雷函数介绍
(一)狄利克雷函数的定义
定义在实数域上的狄利克雷函数:tau蛋白
*1%R,E(1)={%是有理*
0,1是无理数.
或D(1)=lim(lim(cos(!!'1))2y)(!,j%+且1%R).
!—F j—F助产学
定义在域上的狄利克雷拓展函数：
博洛尼亚进程
*R B、J1,1是有理数；
*1%R,B(1)={-1,1是无理数.
(二)狄利克雷函数和狄利克雷拓展函数的性质
1・D(1),B(1)为偶函数.
试用目录
2.D(1),B(1)处处不连续，对*1%R,limD(1)及limB(1)都不存在.
3.D(1),B(1)处处不可导.
4.D(1),B(1)在1任何区间黎曼不可积⑵.
5.D(1),B(1)在"0,1］上勒贝格可积⑵.
6•D(1),B(1)以任何正整数为周期，但无最小正周期.
7.D(1),B(1)都是有界函数.
二、具体应用分析
(一)基本的函数连续性问题
配对比较法设/,g都不连续，则/+g,/•g连续.
证：令/(1)=B1),g(1)=-B(1)，显然/,g在R上处处不连续•令H1)=/+g，则H1)三0,0是自然数，自然数都是连续函数，则假设/+g连续成立⑴.同理，令11)= /2g，则I1)三-1,-1也是自然数，即假设/连续成立. (二)上述情况的推广
唐山师范学院
学报有限个不连续的函数的和不一定连续•
令J(1)=D(1),*=0%J%+02+■++J!,!#F-
其中，当+=0%=02二…=0!时,
+,1是有理数；
*(%)二{
0,1是无理.
当0不两两相等时，
0,1是有理数；
*(1)={10,1是无理数.
!
此时，+与'0都是实数，所以*(1)不连续.
1
令*(1)='/+'g，且'#F J#F.
若'=，此时*(1)三0，所以函数连续•若'#/，此时*(1)=丿丿、八=('--)B1)，所以函数1(/-'(-B(1)J〉'
不.
结合以上分析可得，有限个不连续的函数的和可能连续也可能不连续.同理，证明有限个不连续的函数的乘积可能连续也可能不连续•令*1)=1，广,g，当_=时，*1)=(-1)!，当！无论取奇数还是偶数，函数总是连续的•当'#j时，*1)=(-1)Min(')(-1)"-B(1)= (-1)Min('+1'-B1)，此时函数不连续，所以有限个不连续的函数的乘积可能连续也可能不连续•同理，可令，(1)=十(g#0)，证明商的类似的结论. 【参考文8】
$1］林艺，李军•狄利克雷函数的应用研究［J］•青岛职业技术学院学报，2005(1)：56-58.
$2］何越•狄利克雷函数与黎曼函数的性质$ J］•河南教育学院学报(自然科学版)，2013(4)：25-27.
数学学习与研究
2020.5
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