第12卷 第2期
2010年3月天津职业院校联合学报Jou rnal of Tianjin Vocational Institutes NO.2Vol.12Mar.2010
曹 媛
(天津海运职业学院，天津市 300457)
2011江苏数学摘 要: 函数的连续性和可微性是微积分的基本概念，维尔施特拉斯用E 、D 这种静态的有限量刻划了动态的无限量，给出了函数连续性的现代定义，并用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子。典型函数如狄里克雷函数在实数域上每一点都不连续，而黎曼函数在每一无理数点上连续，在每一有理数点上不连续。基本初等函数与初等函数的连续性有定义域和定义区间的区别，一些初等函数的定义域是一些离散的点，因此，初等函数只能在其定义区间内连续。 关键词: 函数；连续性；可微性；典型函数；定义域；定义区间
中图分类号:O 174 文献标识码:A 文章编号:1673-582X (2010)02-0078-03
收稿日期:2009-10-26
作者简介：曹媛(1983-)，女，天津市人，天津海运职业学院助教，主要从事数学教学
。
图1
一、函数的连续性和可微性
函数的连续性和可微性是微积分的基本概念。/连续函数0在直观上是函数曲线没有间断，连在一起，而/函数在一点可导0直观上是函数曲线在该点有切线，所以在直观上连续与可导有密切的联系。认为连续函数一定可微，对于学过数学分析的学生来说是常识性的错误。然而，在微积分建立之初，几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。最早明确区别函数连续性和可微性的例子，出现在德国大数学家黎曼1854年的论文中。
1817年波尔察诺为了发表他的论文，需要一个精确的连续函数的定义，于是波尔察诺开始对函数性质仔细研究，并用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义:
如果在某区间内任一x 处，只要|w |充分小，就能使|f (x +w)-f (x )|任意小，则称f (x )在该区间上连续，这与定义函数连续性的现代方法)E -D 非常类似。
维尔施特拉斯给出了函数连续性的现代定义:
如果对任意给定E >0的，总存在D >0，使当|x -x 0|<D 时，恒有|f (x )-f (x 0)|<E 成立，则称f (x )在x =x 0处连续。
魏尔施特拉斯用E 、D 这种静态的有限量刻划了动态的无限量，既排除了无穷小这个有争议的概念，又消除了波尔察诺定义中的小于任意给定的量的说法的含糊性。
波尔察诺1824年觉察到了连续函数和可微性的区别，明确地以几何形式(1830年)给出了区别连续性和可微性的例子，但没有发表。1872年魏尔施特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，通过一致收敛级数，用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子。
f (x )=r ]n =0b n cos (A n P x )其中A 为奇整数,b I (0,1),ab >1+32
P 魏尔施特拉斯的这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分
说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。
连续性与可微性差异的重大发现，标志着人类对函数认识的进一步
深化。#
78#
二、典型函数的连续性
1.狄利克雷函数
D(x )=1 x I Q
0 x |Q,x I R
由函数极限的定义很容易看出狄里克雷函数在实数域上每一点左右极限都不存在，即处处无极限。所以狄里克雷函数在实数域上每一点都不连续，不可微，每一点都属于第二类间断点。
2.黎曼函数定义在区间[0,1]上的函数
R(x )=1q x =p q (p ,q I N +,q p 为既约真分数)0 x =0,1或x I (0,1),x |Q
称作黎曼函数。常德水表厂
由定义可知，黎曼函数值域M =
0,12,13,14,,,1q ,,,(q >1,q I N +)，所以黎曼函数是有界函数，其下界为0，上界为12。对任何正整数q >1，满足p q I (0,1)的有理数只有1q ,2q ,3q ,,q -1q 由于p q 为既约真分数，则p q
最多有q -1个，且R i
q =
1q (i =1,2,3,,,q -1)因为i q 与q -1q 关于x =12直线对称，所以黎曼函数在有理点的图像关于直线x =12
对称，如图2所示。
厦门舒洁图2
根据函数极限定义可证明黎曼函数在[0,1]上0,1，及无理数点处连续，在(0,1)内有理数点处不连续，而且都是可去间断点。
上述/病态函数0破坏了古典数学的优美，但法国数学家勒贝格提出点集测度和可测函数的概念，在此基础上建立了勒贝格积分，发展了牛顿)莱布尼兹公式。
三、初等函数的连续性
在高等数学的各类教材中，对于一元函数的连续性有如下结论：基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。为什么基本初等函数与初等函数的连续性有定义域和定义区间的区别，很多细心的学生都注意到了这个问题。教材对此并未做出进一步的说明，教师在解答时往往语焉不详地解释为一些初等函数的定义域是一些离散的点，没有给出直观的例子，事实上这样的例子不胜枚举。
例1函数f (x )=sin x -1
由于|sin x |F 1，所以只有x =2k P +二次革命论
P 2,(k =0,?1,?2,)时函数才有定义，显然，函数不可能在这些离散的点集上连续。
例2函数f (x )=(1-x )cos 2x
其定义域为区间(-],1)及离散点集,x =k P +P 2
,(k =0,1,2,)函数在其定义区间(-],1)内连续，而在离散点集x =k P +P 2
,(k =0,1,2,)，任一点处，函数虽然有定义，但都是不连续的。#79#
类似的例子还可举出很多，如函数y=sin x+-sin x,y=co s x-1定义域均为{x|x=k P,k=0,?1,?2, ,}，函数在这些孤立可数点的空心邻域都没有定义，这些孤立点必为不连续点，函数在其定义域上处处不连续。
由此可见初等函数的连续性只能定义为在其定义区间内连续。湖南警察学院学报
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社.2001.
[1]莫里斯#克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社.1982.
[2]金友良.关于一元函数连续性的几个问题[J].成都大学学报,2007,(6).
Several Problems about Function Continuity
C A O yuan
激光陀螺(T ianj in M ar itime Vocational I nstitute,T ianj in300457China)
Ab s tr a c t:The co ntinuity and differentiability of function are the fundamental concepts o f Differ-ential and Integral C alculus.Weierstrass uses such static finite quantity like E,D to describe the dynamic infinite quantity.He puts forward the modern definition of function continuity and gives the first class-i cal example in history which is continuous but non differentiable everywhere.The typical function like Dirichlet Function is discontinuous on every point of the real number field while another function like R-i emann Function is co ntinuous on every irrational point but disco ntinuous on every rational point.There are differences from the do main and the interval between the continuity of basic elementary functions and elementary functions.The domains of some elementary functions are some discrete point,therefore, elementary functions is continuous only in its defined intervals.
Ke y w o rd s:function;continuity;differentiability;typical functio n;domain;defined interval (上接第77页)
Deduction of Bernoulli Equation at Co nstant V elo cit y Rotation System
TIA N Bao-zho ng
(T ianj in Sino-Ger many Vocational T echnical College,T ianj in300191China) Ab s tr a c t:For a constant velocity rotation system,when an ideal fluid flows in the steady state,
the Bernoulli Equatio n for an arbitrarily selected section of flow tube is:1
2
Q M2+Q(gy-1
2x
2X2)+p=
C onstant.O ne can use it to solve problems concerning fluid flowing with constant angular velocity eas-i ty.
Ke y w o r ds:Physics;Fluid Mechanics;constant velo city rotation;Bernoulli Equation
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