摘要：文章从实变函数教学的实际需要出发，结合笔者从事实变函数的教学经验，论述了在实变函数教学中渗透数学思想史对于培养学生创新思维的教育价值。 关键词：实变函数教学；数学思想发展史；创新思维
实变函数的核心内容是勒贝格测度和积分，是经典的黎曼积分的一次深刻变革和发展。这门课程一向被看成数学系本科生最难的一门专业课，学生普遍觉得它晦涩难懂，对它望而生畏。那么如何激发学生学习实变函数的兴趣，深入地理解数学概念和证明推理过程，从而取得更好的教学效果呢?许多高校数学教育工作者都尝试以各种方式来改善实变函数的教学。在多年的实变函数教学中，我们发现课堂教学时结合教学内容向学生介绍一些重要数学成果产生的社会历史背景和数学思想渊源，不仅可以开阔学生的视野，活跃课堂气氛，极大地激发学生的学习兴趣，还可以引导学生树立对新生事物和新思潮的正确态度，进而激发学生的创新意识，提高学生的数学素养。
一、数学史在数学教育中的地位与作用
数学史也是一部数学思想史，它是学习数学、认识数学的工具。数学史可以培养学生对数学的全面认识，对数学给出一个整体框架，能认识到各分支之间的相互关系，并且对数学问题、概念、理论和方法的来龙去脉有一定认识，对引入它们的动机与产生的后果有所了解，从而深入地理解数学概念和证明推理过程。数学史更重要的作用是可以提高学生的数学素养。米山国藏指出：“无论对于科学的工作者、技术人员、还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，数学知识只是第二位的。”渗透数学史可以使学生发现和认识到：在一个问题从产生到解决的过程中，只有正确的、革命性的思想方法才是取得实质性进步的原动力。了解数学创造的过程可以使学生体会到数学思维过程是一个充满活力和激情的动态过程，这有利于学生对这些数学问题形成更深刻的认识，从而在这种不断学习、不断探索、不断研究的过程中逐步形成正确的数学思维方式，进而培养学生去客观地看待新现象、新事物、形成探索与研究的习惯，培养学生独立思考和独立研究能力。此外，穿插数学史还可以起到开阔学生的视野，活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣，促进专业课程教学的作用。
二、将数学思想史渗透到实变函数的教学中
张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究(或学习)的导向，以便掌握其精神实质。只有把数学思想掌握了，计算才能发挥作用，形式演绎体系才有灵魂。”基于这种认识，我们在实变函数的教学中注意了数学史，特别是数学思想史的渗透。我们发现这样做是有助于培养学生的创新思维的。
高钰环科技创新是社会生产力发展的源泉。科技创新指科学技术领域的创新，涵盖两个方面：自然科学知识的新发现、技术工艺的创新。要创新，就必须有创新思维。而创新思维的火花，则处处闪耀在实变函数的产生过程中。
1.培养学生客观地看待新现象、新事物
朱熹在《观书有感》一诗中写道“半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。问渠那得清如许，为有源头活水来”。作者设问：这“半亩方塘”为什么这么清澈呢?并自答：“因为有这源头活水不断地补充进来，才使得它这么清澈。”朱熹这首诗用描绘一幅清新明快的自然风光图卷的手法来说明生活是写作的源头活水，用心观察才能发现并汲取源头活水，写出滋养人心灵的隽秀文章。同样的道理，人类取得的所有重大科技成就也都不是无源之水，凡是能在重大科学发现作出非凡贡献的科学家都能够以敏锐的眼光捕捉到新现象和新事物，并能客观
看待理解它们，最终取得突破性发现。
实变函数论的产生也是由于新现象和新事物的刺激以及数学家勒贝格能够客观正确地认识这些新现象和新事物的结果。微积分是一门研究自变量与函数值皆实数的函数理论，由于康托的集合论和戴德金的实数理论的出现，人们在微积分中发现了很多奇异的数学现象，比如狄利克雷给出的著名的狄利克雷函数。该函数不是黎曼可积的；以及连续但处处不可微函数的存在。1890蘑菇石施工年，皮亚诺构造了一条填满整个正方形的若当曲线。种种奇特的现象促使数学家必须深入探讨实变量函数的性质。 1881驻波年，德国数学家哈纳克等人提出“容量”的概念，这是对通常的长度、面积和体积等概念的推广。在此之后，皮亚诺提出区域或区间的内外容度的概念，皮亚诺还指出函数构成的曲边梯形之内外容度分别由上下积分确定。1893年，若当完善了所有关于容度的工作。1898年，波莱尔出版了名著《函数论讲义》，在这部名著中波莱尔建立了测度理论和可测集合的概念。但在波莱尔的测度思想中，却存在着不是波莱尔集的约当可测集，特别是存在零测度的稠密集。
波莱尔的学生勒贝格却洞察这一思想的深刻意义并接受了它。勒贝格突破了约当测度有限
覆盖的限制，发展和完善了波莱尔测度，并且敏锐地感觉到利用新生的测度论来改造黎曼积分是可行的，它采取了对被积函数的值域进行分划的方式，克服了黎曼积分的局限性。他于1902年在其博士论文《积分、长度与面积》中，对于测度论和积分理论进行了深入的研究，提出了可测函数与勒贝格积分的理论。在新的积分理论中，勒贝格获得了一个十分重要的结果：关于极限号与积分号可交换的控制收敛定理和极限号与求和号可交换的逐项积分定理。在勒贝格积分的基础上，重建了微积分基本定理，至此新兴学科实变函数论初步成型，而勒贝格积分则是实变函数的核心内容。
同样值得注意的是，一些黎曼不可积的病态函数有了勒贝格积分值，这也受到了很多数学家的反对。这是因为那些不连续函数和不可微函数被认为是违反了所谓的完美性法则，是数学中的“变态和不健康的部分”。比如，庞加莱的老师埃米尔特在信中说道：“我怀着惊恐的心情对不可导函数的令人痛惜的祸害感到厌恶。”勒贝格本人也因此受到了一些数学家的排挤。但勒贝格充满信心地指出：“使自己在这种研究中变得迟钝了的那些人，是在浪费他们的时间，而不是在从事有用的工作。”时至今日，勒贝格积分已经彻底被人们承认是有意义的，工程师和物理学家也普遍运用抽象积分来处理无法回避的病态函数。
在课堂上向学生阐述这段历史有助于学生正确认识新事物和新理论，对待这些新事物不能采取回避的或无原则否定的态度，而是要辩证地分析它与旧事物的区别与联系，适当取舍，才有可能从中获益。
徐利治指出了获得数学直觉和数学审美的四条指导性原则：简单性原则、统一性原则、对称性原则和奇异性原则。他同时强调，在数学史上，只有不断发现数学对象的奇异性，才能有所突破，深入到既定理论框架所无法接触到的未知世界。注意探讨数学中的奇异性曾产生许多重要成果，年轻的数学工作者需要通过工作实践和文化生活区培育审美意识，使自己具有鉴赏奇异对象及奇异美的能力，这样才能够自觉地将具有奇异性的数学对象的理论研究推进到新的领域中，开辟出“别有洞天”的新天地。
勒贝格创建勒贝格积分的这一过程，明确地展现了他对奇异数学现象的直觉和审美能力，是支持徐利治先生这一观点的有力论据。我们同时通过这一史实，向学生强调培养数学直觉和审美能力的重要性，帮助有志于数学研究的学生养成良好的自我培养这两种能力的自觉习惯。
2.剖析数学抽象法则，培养学生独立思考和独立研究能力
徐利治论述了数学研究中的创造性思维规律，并提出了数学抽象的五个基本原则：特征概括法则、强化结构的法则、新元添加完备化法则、结构关联对偶化法则、利用更换基本公设或公理以排除悖论的重要法则。
关于新元添加完备化法则，徐利治先生是这样描述的：“由于数学的结构往往和运算相联系，因而必然会产生新运算能否在原结构上畅行无阻的问题。例如，在有理数系统上引入极限运算后。马上就会出现极限是否存在的问题，必须把无理数作为新元素补充到原结构中去，才能使之成为具有完备性的实数系统。把这种思想提升为一般的法则，就称之为新元添加完备化法则。”从徐先生论述的字里行间，我们可以体会到所谓的“新元”不仅指像实无理数那样的新元素，而且也包含新的运算法则等其他一切能使我们进行“完备化”的工具。
邓东皋和常心怡论述了学习勒贝格积分的重要性，他们指出勒贝格积分是数学史上三次重大的“完备化”之一。勒贝格积分的出现就是新元添加完备化法则在数学史中一次卓越的应用。
在微积分中，黎曼积分的概念与理论是十分重要的一部分。黎曼积分在数学分析的后续课
程——常微分方程、复变函数论、概率论以及力学课程中，表现出了强大的威力。但是黎曼积分有一个很大的缺点，就是黎曼可积函数列的极限并不一定是可积的，或者说黎曼可积函数类对极限运算是不封闭的。
为克服黎曼积分的不足，人们试图推广积分的定义。黎曼积分是对被积函数的定义域进行分划，使得底边是规整的线段，从而求出规整的小长方形面积。勒贝格反其道而行之，他首先将被积函数的值域进行分划，然后引入集合。再利用推广了的长度的概念给出底边的“长度”，求出“不规整的长方形”的“面积”，然后求和取极限。勒贝格对这一思想作了生动的比喻。假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是勒贝格积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是黎曼(Riemann)积分思想。相对于黎曼积分的思想，勒贝格积分思想是一个全新的“新元”寻李丽珍，而且闪耀着逆向思维的光芒。实变函数中的空间理论也可以视为一种钱莹微博“新元”。
在实变函数课堂上向学生介绍这一数学思想，不但可以使学生体会到“新元添加完备化法则”的有力与神奇，更可以提醒学生要从不同角度思考问题，培养他们的逆向思维能力。同
时我们还可以鼓励学生从已经学过的数学知识中，探寻数学家们思考问题的思路都符合哪些抽象法则，这样学生就会进行深入的思考，从而培养他们独立思考和独立科研的能力。
3.正确认识数学内在矛盾，合理地解释这些矛盾，可能极大地促进数学学科的发展，甚至孕育一个新数学学科的诞生
集合论的中心难题是“无限集合”这个概念。人类在远古时期已经认识到有限集合之间的对应关系：如果两个集合的元素能够一一对应，那么这两个集合的元素一样多。然而将这种一一对应的一原则推广到无穷集合后，得到的结论却是出乎人们意料的。伽利略曾发现正整数的全体可以和它们的平方数一一对应起来，但前者明显包含后者，破坏了整体大于局部的观念。伽利略坚信这是不可能，因为所有的无穷大都是一样大。康托认为一个无穷集合能与它的一部分构成一一对应不是一件坏事，它恰恰反映了无穷集合的一个本质特征。因此，一一对应法则仍然可以在无限集合中使用，而且可以通过它揭示无穷集合的基数，甚至比较无穷集合的大小。应用一一对应法则康托很快认识到有理数集和自然数集是对等的，并且利用“对角线法”证明了实数集“大于”自然数集。后来，康托又证明了直线上的点集合与n维空间上的点集合也是对等的。人们对待无限有两种截然不同的理解方式：一种是把
无限看成是永远在延伸着的进程，这种进程是不断在创造的但是永远也完成不了的，这种认识是动态的，称为“潜无限”；另一种是把无穷对象视为可以自我完成的过程或无穷整体，这种认识是“静态的”，称为“实无限”。比如将全体自然数视为一个数列，它就是一个潜无限的过程；但将它视为一个集合，它就是无限的一个个体。康托抛弃了一切经验和直观，用彻底的理性来论证，揭示了无穷集合之间的大小差异。
奔腾电磁炉电路图通过介绍康托的集合论思想及其在数学发展所起到的巨大的推动作用，可以使学生意识到人类对数学和其他自然和社会现象的认识必然会受到历史阶段的限制，这些限制可以是物质上的，也可以是意识上的，但无论如何，人类对于自然和人类社会自身的认识总是在不断深化的。使学生意识到能为人类各种认识的深化作出一些贡献是自我价值实现的一条重要路径。
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