16个数论难题，你能看懂多少？解决多少？
大家好，我是科技袁人袁岚峰。
你想成为数学大佬吗？我有些朋友非常热心数学科普，组织了一个“哆嗒数学网”。最近，哆嗒数学网发了一篇简短的文章《15个数论难题，解决任意一个都能让你称为顶级大佬》。下面我来结合自己的理解，更详细地介绍一下。让我们来看看，这15个问题你能解决多少，或者能看懂多少。对我来说很明确：全都能看懂，一个都解决不了。 第一个问题是鼎鼎大名的哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）：每个大于等于4的偶数都可以表示成两个质数之和。这也就是陈景润一心想证明的1 + 1——请注意是1 + 1，不是1 + 1 = 2！1 + 1 = 2是个小学知识，完全不需要证明。经常有些人纳闷，陈景润为什么要证明1 + 1 = 2，难道数学家吃饱了撑得没事干吗？难道1 + 1 = 2很高深吗？其实这完全是误解。 吕贝卡哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想中的1 + 1是个简称，这里的1是表示只有一个质因数的整数即质数。1 + 1的意思就是任何一个足够大的偶数都可以分解成两个质数之和，即哥德巴赫猜想。由于这个猜想 太难啃，人们先尝试去攻克它的较弱版本，如9 + 9、1 + 3等等，陈景润证明的是1 + 2。这里的2表示质因数数目不超过2的数，即它或者是质数，或者是两个质数的乘积。类似的，3表示质因数数目不超过3的数，9表示质因数数目不超过9的数，如此等等。
了解了这些记法，你才能明白陈景润的1 + 2是什么意思。它说的是，任何一个足够大的偶数都可以分解为一个质数加上一个质因数数目不超过2的数。在陈景润之前，人们先是证明了9 + 9，然后是7 + 7、6 + 6、3 + 4、1 + 5、1 + 4、1 + 3等等。陈景润取得了这个方向上迄今为止最强的结果1 + 2，这是一个伟大的成就。这看起来离哥德巴赫猜想只有一步之遥，但这一步极其困难，到现在人们还没跨过去。
陈景润
第二个问题是考拉兹猜想（Collatz conjecture），或者称为角谷猜想、冰雹猜想、421猜想、3x + 1猜想等等。最后这个名字，3x + 1猜想，会让人很快明白它说的是什么。取一个正整数x，如果它是偶数，就把它除以2，如果它是奇数，就把它乘以3再加上1，即变成3x + 1。然后按照同样的规则，把这个操作无限进行下去。这个猜想说的是：无论你最初取的x等于多少，最终都会进入4-2-1-4-2-1的循环。稍微想一下就会明白，进入这个循环就出不
来了，因为4的下一步是2，2的下一步是1，1的下一步又回到了4。但问题在于，是否一定会进入这个循环呢？
从100出发的3x + 1猜想序列
你可以拿几个数试验一下，你会发现都是如此。有些很快就进入循环，有些要很久才进入循环，但或早或晚都会变成4-2-1-4-2-1。数学家已经用计算机验证到了2^68 ≈ 2.95 × 10^20，都满足这个规律。然而计算机只能验证有限，不能证明无限。这是不是对所有的自然数都成立？目前还完全不清楚！霍尔式角度传感器
第三个问题是勒让德猜想（Legendre’s conjecture）：对任意一个自然数n，在n^2和(n + 1)^2之间都至少存在一个质数p。按照我对这个领域的一点点了解，在这个方向上最重要的结果是伯特兰-切比雪夫定理：对任何大于3的自然数n，都至少存在一个质数p满足n < p < 2n - 2。勒让德猜想看起来只是伯特兰-切比雪夫定理的一个改进，但这个改进到现在都没得到证明。
勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）
第四个问题是鼎鼎大名的孪生质数猜想（twin prime conjecture）：存在无穷多对质数，它们之间只相差2。这样的一对质数，叫做孪生质数。我以前介绍过，中国数学家张益唐在这个问题上取得了突破性进展。他证明了，存在无穷多对质数，它们之间的差距不超过7千万。假如把7千万缩小到2，就证明了孪生质数猜想，但现在还没有做到。
张益唐
如果你没有理解这为什么是个突破，我们来稍微解释一下。7千万虽然看起来是个很大的数，但以前是完全不能肯定有这样的上限存在。所以张益唐是从无限进步到了7千万，这是质的区别，而从7千万到2只是有限到有限，这是量的区别。目前的最好结果，是把这个差距缩小到了246。但再往下就十分困难了，还需要新的思想。
第五个问题是梅森质数猜想。梅森（Marin Mersenne, 1588－1648）是十七世纪的法国数学家，他研究了2^p - 1类型的数，其中p是一个质数。现在我们把这样的数叫做梅森数，记为Mp。假如对于某个p，Mp是个质数，就把它称为梅森质数。梅森质数猜想说的就是：存在无穷多个梅森质数。
梅森
是不是真的这样呢？没人知道。我们知道的是，寻梅森质数是目前寻大质数最好的办法。近几十年来到的最大的质数，都是通过对梅森质数的搜索到的。例如2018年发现了目前最大的梅森质数也就是目前最大的质数2^82589933 - 1，它是个24862048位数。
第六个问题是n^2 + 1猜想：存在无穷多个自然数n，使得n^2+1是质数。这个猜想的表述出奇的简单，证明却完全无从下手。
彭清泉
第七个问题是费马数猜想。这个猜想的风格跟前面的正好相反，前面那些都是要证明有无穷多个什么什么，这个却是要证明某个东西只有有限多。是什么东西呢？是说费马数中的质数只有有限多。什么叫费马数？就是那些形如2^(2^n) + 1的数，其中n = 0，1，2，3，4……我们把它记为F(n)。
张炜你在高原
费马（Pierre de Fermat，1601 - 1665）发现，当n从0到4时，F(n)都是质数。大家可以来检验一下，这五个数分别是3、5、17、257和65537，确实都是质数。下一个F(5)太大了，费马没有去检验，他就兴致勃勃地猜想费马数全都是质数。结果将近一百年后，欧拉发现F(5)是个合数，它等于641 × 6700417，这就推翻了费马的猜想。更令人大跌眼镜的是，后来人们算出的费马数全都是合数，再也没见到一个质数！所以现在我们的猜想反过来了，
变成了费马数中只有有限个质数。更进一步，说不定费马数中的质数只有最初的那五个呢，谁知道？
费马
第八个问题是奇完全数猜想。所谓完全数（perfect number）或者完满数、完美数就是这样的自然数，它的所有真因数之和等于它自己。请注意这里说的是真因数而不是质因数，真因数就是那些小于它自己的因数。例如6是一个完全数，因为6的真因数只有1、2、3，而1 + 2 + 3刚好等于6。又如28的所有真因数是1、2、4、7、14，这些数加起来等于28，所以28也是完全数。
完全数
截止2018年，已经到了51个完全数。它们全都是偶数，而且全都可以表示成Mp (Mp + 1)，这里的Mp是前面刚刚介绍过的梅森质数。所以奇完全数猜想就是问：是否存在奇的完全数？目前完全不清楚。目前我们知道的是，假如存在奇的完全数，那么它必须要大于10^1500。
电子杂志制作软件哪个好第九个问题是完美长方体猜想。所谓完美长方体（perfect cuboid）就是这样的长方体，它的长、宽、高和所有的对角线（包括面对角线和体对角线）的长度都是整数。也就是说，它的长宽高a、b、c是三个自然数，而且a^2 + b^2、a^2 + c^2、b^2 + c^2以及a^2 + b^2 + c^2都是平方数。完美长方体猜想就是问，是否存在这样的一组自然数？
完美长方体
我看到这个问题时大为吃惊，因为我知道两个平方数相加在什么情况下是平方数是个早已解决的问题，也就是所谓勾股数：a = p^2 - q^2，b = 2pq，c = p^2 + q^2，其中p和q是两个任意的自然数。但三个平方数相加在什么情况下是平方数，居然直到现在都没有解决！由此导致，完美长方体是否存在，现在没人能证明或证伪。数值验证的结果是，假如完美长方体存在，那么它最小的奇数棱长不小于2.5 × 10^13。
第十个问题是鼎鼎大名的黎曼猜想（Riemann hypothesis）。我丝毫不打算用简单的语言来解释这个问题，因为——完全不可能。我以前做过一系列节目，来完整地介绍黎曼猜想。在这里只能告诉大家，这个猜想说的是：黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部都等于1/2。
化学键能
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议