湖北民族学院理学院
2014年春季学期
上课教师：汪海玲
Matlab中复变函数命令集
定义符号变量 Syms
虚单位 z=Sqrt(-1)
指数表示 z=r*exp(i*a)
求实部 Real(z)
求虚部 Imag(z)
求共轭 Conj(z)
求模 Abs(z)
求幅角 Angle(z)
三角函数 z=sin(z)
z=cos(z)
指数函数 z=exp(z)
对数函数 z=log(z)
幂函数 z=z^a
解方程 expr=‘方程式’;
薄层谱
Solve(expr)
泰劳展开 Taylor(e,z)
傅立叶变换 Fourier(e,z,w)
逆傅立叶变换 Ifourier(e,w,z)
苏格兰风情拉普拉斯变换 Laplace(e,w,t)
逆拉普拉斯变换 Ilaplace(e,t,x)
一 复数的运算
1．复数的实部和虚部
复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式
返回复数的虚部
2．共轭复数
复数的共轭可由函数conj实现。
调用形式
返回复数的共轭复数
3．复数的模和辐角
复数的模和辐角的求解由功能函数abs和核酸分子杂交angle实现。
调用形式
复数的模
复数的辐角
上机操作：课本例题1.2、 例题1.4、 课后习题（一）1.
4．复数的乘除法
复数的乘除法运算由“/”和“”实现。
5．复数的平方根
复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。
调用形式
返回复数的平方根值
6．复数的幂运算
复数的幂运算的形式为，结果返回复数的次幂。
上机操作：课本例题1.8
7．复数的指数和对数运算
复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式
返回复数x的以e为底的指数值
返回复数x的以e为底的对数值
上机操作：课本例题2.17、 2.18
8．复数的三角函数运算
复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数
复数三角函数表
函数名 | 函 数 功 能 | 函数名 | 函 数 功 能 |
| 药用辅料手册返回复数的正弦函数值 | | 返回复数的反正弦值 |
| 返回复数的余弦函数值 | | 返回复数的反余弦值 |
| 返回复数的正切函数值 | | 返回复数的反正切值 |
| 返回复数的余切函数值 | | 返回复数的反余切值 |
| 返回复数的正割函数值 | | 返回复数的反正割值 |
| 返回复数的余割函数值 | | 返回复数的反余割值 |
| 返回复数的双曲正弦值 | | 返回复数的双曲余切值 |
| 返回复数的双曲余弦值 | | 返回复数的双曲正割值 |
| 返回复数的双曲正切值 | | 返回复数的双曲余割值 |
| | | |
上机操作：课本例题2.12
9． 复数方程求根
复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
上机操作：课本例题1.8
比较6和9 所对应计算结果
二 复变函数的积分
1 非闭合路径的积分
非闭合路径的积分，用函数int求解，方法同微积分部分的积分。
例1 计算，，，（沿1到i的值线段）。
解：在Matlab编辑器中编辑M文件LX0908.m：
z1=int('exp(2*z)','z',-pi*i,3*pi*i)
syms z
z2=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)清贫思想
z3=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)
z4=int((1+tan(z))/cos(z)^2,z,1,i)
运行结果为：
z1 =
0
z2 =
-1/3*i
z3 =
-i*exp(-i)
z4 =
1/2*(2*i*cos(1)^2*sinh(1)*cosh(1)+cos(1)^2-2*cosh(1)^2*sin(1)*cos(1)
-cosh(1)^2)/cosh(1)^2/cos(1)^2
说明：在z1中定义表达式为符号；在z2、z3、z4中，先定义符号变量，再进行积分。两种方法都可行，且结果一样。
上机操作：课后第三章习题（一）1题、6题
2 沿闭合路径积分
对沿闭合路径的积分，先计算闭区域内各孤立奇点的留数，再利用留数定理可得积分值。
2.1 留数计算
留数定义：设a为f (z)的孤立奇点，C为a的充分小的邻域内一条包含a点的闭路，积分称为f (z)在a点的留数或残数，记作Res[f (z), a]。在Matlab中，可由函数residue实现。
函数：residue %留数函数（部分分式展开）
格式：[R, P, K] = residue (B, A)
说明：
向量B为f (z)的分子系数；（以s降幂排列）
向量A为f (z)的分母系数；（以s降幂排列）
向量R为留数；
向量P为极点；极点的数目n = length (A)-1=length (R) = length (P)。
向量K为直接项，如果length (B)<length (A)，则K = [ ]，即直接项系数为为空；否则leng
th (K) = length (B) - length (A) +1。如果存在m重极点，即有P (j) = P (j+1) = … = P (j+m-1)，则展开项包括以下形式
注意：Matlab函数只能解决有理分式的留数问题。
格式：[B, A] = residue (R, P, K)
说明：R、P、K含义同上。当输入R、P、K后，可得f (z)的分子、分母系数向量。
例2 求下列函数在奇点处的留数：
（1） （2）
解：在Matlab命令窗口键入：
>> [r1,p1,k1]=residue([1,1],[1,-2,0])
r1 =
1.5000
-0.5000
p1 =
2
0
k1 =
[ ]
>> [r2,p2,k2]=residue([1 0],[1 0 0 0 -1])
r2 =
0.2500
0.2500
-0.2500 + 0.0000i
-0.2500 - 0.0000i
p2 =
-1.0000
1.0000
0.0000 + 1.0000i
0.0000 - 1.0000i
k2 =
[ ]
反之：
>> [B,A]=residue([0.2500 0.2500 -0.2500 -0.2500],[-1 1 i -i],[])
B =
0 0 1 0
A =
1 0 0 0 -1
上机操作：课后第五章习题（一）4题
2.2 闭合路径积分
留数定理：设函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点z1，z2，…，zn外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
。
闭合路径积分利用留数定理来计算。
例3 计算积分
其中C为正向圆周| z | = 2。
解：在Matlab编辑器中建立M文件LX0910.m：
B=[1 0];
A=[1 0 0 0 -1];
[r,p,k]=residue(B,A) %求被积函数的留数
I=2*pi*sum(r) %利用留数定理计算积分值
运行结果为：
r =
0.2500
0.2500
-0.2500 + 0.0000i
-0.2500 - 0.0000i
p =
-1.0000
1.0000
0.0000 + 1.0000i
0.0000 - 1.0000i
k =
[ ]
I =
0
上机操作：课后第三章习题（一）9题、课后第六章习题（一）3题
三记忆之宫 Taylor级数展开
Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。
函数：taylor %Taylor级数展开
格式：taylor (f) %返回f函数的5次幂多项式近似
taylor (f, n) %返回n-1次幂多项式近似
taylor (f, a) %返回a点附近的幂多项式近似
taylor (f, x) %对f中的变量x展开；若不含x，则对变量x = findsym (f)展开。
例 求下列函数在指定点的Taylor级数展开式。
（1）1/z2，z0 = -1； （2）tan (z)，z0 = pi/4； （3）sinz/z，z0 = 0
解：在Matlab中实现为：
>> syms z
>> taylor(1/z^2,-1)
ans =
3+2*z+3*(z+1)^2+4*(z+1)^3+5*(z+1)^4+6*(z+1)^5
>> taylor(tan(z),pi/4)
ans =
1+2*z-1/2*pi+2*(z-1/4*pi)^2+8/3*(z-1/4*pi)^3+10/3*(z-1/4*pi)^4+64/15*(z-1/4*pi)^5
>> taylor(sin(z)/z,10)
ans =
1-1/6*z^2+1/120*z^4-1/5040*z^6+1/362880*z^8
从（3）的展开式可知彼知已z = 0是sinz/z的可去奇点。
注意：taylor展开运算实质上是符号运算，因此在不久的将来Matlab中执行此命令前应先定义符号变量syms z，否则Matlab将给出出错信息！
上机操作：课本例题 例4.6 4.7 例4.13
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