(总分：66.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：6，分数：12.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
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解析：
2.设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α 1 ,α 2 ,α 3 ，若P=(α 1 ，2α 3 ，一α 2 )，则P 一1 AP=( )
（分数：2.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：解析：由Aα 2 =3α 3 ，有A(一α 2 )=3(一α 2 )，即当α 2 是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，一α 2 仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2α 3 仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量。当P 一1 AP=A时，P由A的特征向量构成，A由A的特征值构成，且P与A的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，一2，故对角矩阵A应当由1，3，一2构成，因此排除选项B、C。由于2α 3 是属于λ=一2的特征向量，所以一2在对角矩阵A中应当是第二列，所以应选A。
3.已知 α 1 是矩阵A属于特征值A=1的特征向量，α 2 与α 3 是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
（分数：2.00）
A.(α 1 ，一α 2 ，α 3 )。
B.(α 1 ，α 2 +α 3 ，α 2 一2α 3 )。
C.(α 1 ，α 3 ，α 2 )。
D.(α 1 +α 2 ，α 1 一α 2 ，α 3 )。 √
解析：解析：若 P=(α 1 ,α 2 ,α 3 )，则有AP=PA，即(Aα 1 ,Aα 2 ,Aα 3 )=(λ 1 α 1 ，λ 2 α 2 ，λ 3 α 3 )，可见α i 是矩阵A属于特征值λ i (i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值A的特征向量。本题中，α 2 ，α 3 是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α 2 +α 3 ，α 2 一2α 3 仍是λ=5的特征向量，并且α 2 +α 3 ，α 2 一2α 3 线性无关，故选项B正确。对于选项C，因为α 2 ，α 3 均是λ=5的特征向量，所以α 2 与α 3 谁在前谁在后均正确。故选项C正确。由于α 1 ，α 2 是不同特征值的特征向量，因此α 1 +α 2 ，α 1 一α 2 不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。所以应选D。
4.已知 α 1 是矩阵A的属于特征值λ=2的特征向量，α 2 ，α 3 是矩阵A的属于特征值λ=6的特征向量，则矩阵P不可能是( )
（分数：2.00）
A.(α 1 ，一α 2 ，α 3 )。
B.(α 1 ，α 2 +α 3 ，α 2 一2α 3 )。
C.(α 1 ，α 3 ，α 2 )。
D.(α 1 +α 2 ，α 1 一α 2 ，α 3 )。 √
解析：解析：由题意可得Aα 1 =2α 1 ，Aα 2 =6α 2 ，Aα 3 =6α 3 。因α 2 是属于特征值λ=6的特征向量，所以一α 2 也是属于特征值λ=6的特征向量，故选项A正确。同理，选项B，C也正确。由于α 1 ，α 2 是属于不同特征值的特征向量，所以α 1 +α 2 ，α 1 一α 2 均不是矩阵A的特征向量，故选项D一定错误。
5.已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A 3 一2A 2 ，则r(B)=( )
（分数：2.00）
A.1。 √
B.2。
纪录片讲究 C.3。
D.不能确定。
解析：解析：因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得 于是P 一1 BP=P 一1 (A 3 一2A 2 )P=P 一1 A 3 P一2P 一1 A 2 P=(P 一1 AP) 3 一2(P 一1 AP) 2 则矩阵B的三个特征值分别为0，0，一1，故r(B)=1。所以选A。
6.设A为n阶实对称矩阵，则( )
（分数：2.00）
A.A的n个特征向量两两正交。
B.A的n个特征向量组成单位正交向量组。
C.对于A的k重特征值λ 0 ，有r(λ 0 E一A)=n-k。 √
D.对于A的k重特征值λ 0 ，有r(λ 0 E—A)=k。
解析：解析：实对称矩阵A必可相似对角化，A的属于k重特征值λ 0 的线性无关的特征向量必有k个，故r(λ 0 E一A)=n一k。选项C正确。需要注意的是：实对称矩阵A的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；n个特征向量不一定是单位正交向量组。
二、 填空题(总题数：6，分数：12.00)
7.已知有三个线性无关的特征向量，则x= 1。
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）
解析：解析：由A的特征方程可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E一A)=3—2=1，根据
8.已知矩阵和对角矩阵相似，则a= 1。
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一2）
解析：解析：因为所以矩阵A的特征值分别为2，3，3。因为矩阵A和对角矩阵相似，所以对应于特征值3有两个线性无关的特征向量，即(3E一A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵3E一A的秩为1。可见a=一2。
9.设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α 1 ,α 2 ,α 3 ，令P=(3α 3 ,α 1 ,α 2 )，则P 一1 AP= 1。
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：因为3α 3 ，α 1 ，2α 2 分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以
10.已知Aα i =iα i (i=1，2，3)，其中α 1 =(1，2，2) T ，α 2 =(2，一2，1) T ，α 3 =(一2，一1，2) T ，则A= 1。
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由Aα i =iα i (i=1，2，3)可知A的特征值为1，2，3。令
11.设A是三阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α 1 =(1，2，1) T ，α 2如何上好体育课 =(1，一1，1) T ，则特征值2对应的特征向量是 1。
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(一1，0，1) T ，t≠0）
张王会解析：解析：设所求的特征向量为α=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 所以对应于特征值2的特征向量是t(一1，0，1) T ，t≠0。
12.设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ 1 =1，属于λ 1 的特征向量为(1，一1) T ，若｜A｜=一2，则A= 1。
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：设矩阵A的特征值λ 1 =1和λ 2 对应的特征向量分别为α 1 =(1，一1) T 和α 2 =(x 1 ，x 2 ) T 。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使得 ，而相似矩阵的行列式相等，所以 即λ 2 =一2。又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以α 1 T α 2 =0，即x 1 一x 2 =0.方程组x 1 一x 2 =0的基础解系为α 2 =(1，1) T 。令 则
三、 解答题(总题数：14，分数：42.00)
13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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解析：
某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为x n 和y n ，记成向量 。（分数：6.00） (1).求的关系式并写成矩阵形式：；（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：由题意得化成矩阵形式为可见)
解析：
(2).验证是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：因为行列式 所以η 1 ，η 2 线性无关。 又 故η 1 为 A的特征向量，且相应的特征值λ 1 =1。 ，故η 2 为A的特征向量，且相应的特征值 )
解析：
(3).当（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：)
解析：
14.在某国，每年有比例为P的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1)。 (I)求关系式 中的矩阵A； (Ⅱ)设目前农村人口与城镇人口相等，即 。
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：由题意，人口迁移的规律不变x n+1 =x n +qy n 一px n =(1一p)x n +qy n ，y n+1 =y n +px n 一qy n天津港大火 =px n +(1一q)y n ，用矩阵表示为 得A的特征值为λ 1 =1，λ 2 =r，其中r=1一P—q。 当λ 1 =1时，解方程(A—E)x=0，得特征向量 当λ 2 =r时，解方程(A—rE)x=0，得特征向量 令P=(P 1 ，P 2 )= ，则 于是 )
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