[矩阵的QR分解系列一]施密特（Schmidt）正交规范化

[矩阵的QR 分解系列⼀]施密特（Schmidt ）正交规范化

施密特正交规范化

之前介绍的矩阵的三⾓分解系列介绍了利⽤矩阵初等变换解决了矩阵三⾓化问题以及具体的三⾓分解。但是以初等变换⼯具的三⾓分解⽅法并不能消除病态线性⽅程组不稳定问题，⽽且有时候对于可逆矩阵有可能也不存在三⾓分解。所以后⾯为了解决这⾥问题，发展出来了以正交(⾣)变换的矩阵的QR(正交三⾓)分解，矩阵的正交三⾓分解是⼀种对任何可逆矩阵均存在理想分解。进⾏QR分解需要⽤到施密特(Schmidt)正交规范化，吉⽂斯(Givens)变换和豪斯霍尔德(Householder)变换等。这⾥矩阵的QR分解系列教程主要是针对在学习QR分解时候的涉及到的⼀些细节，包括很多⽅法的来源和证明等，以及其中⽤到的⼀些矩阵操作的基础知识，主要包括：

这个系列后⾯⽂章会⽤到前⾯⽂章的理论和技术，所以建议按照顺序查看。

简介

在矩阵操作中，经常需要从⼀组线性⽆关的向量构造出⼀组同等个数等价的两两正交的向量，并且需要使每个向量的模等于1，也就是每个新向量都是单位向量，这种做法叫做线性⽆关向量组的正交规范化。本⽂主要介绍的施密特（Schmidt）正交化⽅法就是⽐较常⽤的正交规范化⽅法。

上⾯有⼏个概念解释⼀下：

线性⽆关

对于⼀组向量来说，只有全为0时才满⾜

则称向量组线性⽆关，否则就称其线性相关。

向量正交

在解析⼏何概念中，两个⾮零向量正交的充要条件是它们夹⾓的余弦值为零，也就是他们的内积（也就是常说的点积）为零。为欧式空间的两个向量，如果，则与正交。其中

表⽰内积运算。

同时内积具有下⾯的性质：

1. 对称性；

2. 可加性；

3. 齐次性，为任何实数；

分频器设计4. ⾮负性；当且仅当时，；

规范化步骤

假设为⼀组线性⽆关的向量，为施密特正交规范后两两正交的⼀组，具体步骤为：

x ,x ,...,x (n ≥12n 1)k ,k ,...,k (n ≥12n 1)k x +11k x +22…＋k x =n n 0,k ∈i R

x ,x ,...,x 12n x =(x ,x ,…,x ),y =12n (y ,y ,…,y )12n (x ,y )=0x y (x ,y )=x y +12x y +22⋯+x y n n (1)

(x ,y )=(y ,x )(x +z ,y )=(x ,y )+(z ,y )(k z ,y )=k (x ,y )k (x ,x )≥0x =0(x ,x )＝0x ,x ,...,x (n ≥12n 1)z ,z ,...,z (n ≥12n 1)

1. 当做正交向量组的第⼀个向量，为了满⾜正交的条件，后⾯的⽣成的向量都要和正交，也就是满⾜。更⼀般话来说后⾯⽣成的向量都需要保证和前⾯已经⽣成的向量正交，同时这也是⼀步步求解后⾯正交向量的约束和条件。

2. ，由正交条件得到

所以

3. ，由正交条件及得到

所以

同理

4. 按照上⾯的流程⼀直向下求，⼀般公式为

直到，所以就得到了⼀组向量，⾥⾯的向量显然是两两正交的。

5. 上⾯得到⼀组两两正交的向量后，进⾏单位化，也就是

这样就得到了正交规范化的向量组了。我听到了春天的声音

例⼦y =x 11y 1(y ,y )=i 10, i =

2,3,…,n y =x +22k y 211(y ,y )=210(y ,y )=21(x +2k y ,y )=2111(x ,y )+21k (y ,y )=21110

k =21−(y ,y )

11(x ,y )多粘菌素e

21y =x +33k y +322k y 311(y ,y )=320(y ,y )=310(y ,y )32=(x +k y +k y ,y )

33223112=(x ,y )+k (y ,y )+k (y ,y )

3232223112=(x ,y )+k (y ,y )=0

323222k =32−(y ,y )

22(x ,y )

32k =31−(y ,y )

引擎11(x ,y )

31y i {y =x +k y +k y +⋯+k y ,

i i i ,i −1i −1i ,

i −2i −2i ,11k =−i ,k (y ,y )

k k (x ,y )i k (2)

i =n y ,y ,...,y 12n y ,y ,...,y 12n z =i ,i =∣y ∣i y i

1,2,…,n .

利⽤施密特正交化⽅法把下⾯线性⽆关的向量组转化为正交规范化向量组。利⽤公式可得

北极涛动单位化得到

引⽤

【1】矩阵论(第⼆版)⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x =(1,1,0,0),1x =(1,0,1,0),2x =(−1,0,0,1),3x =(1,−1,−1,1).4(2)⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧y =x =(1,1,0,0),11y =x −y =(,−,1,0),22(y ,y )11(x ,y )2112121x =x −y −y =(−,,,1),33(y ,y )22(x ,y )322(y ,y )11(x ,y )311313131x =x −y −y −y =(1,−1,−1,1).44(y ,y )33(x ,y )433(y ,y )22(x ,y )422(y ,y )11(x ,y )411⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧z ==(,,0,0),1∣y ∣1y 12121z ==(,−,,0),2∣y ∣2y 2616162z ==(−,,,),3∣y ∣3y 3121121121123z ==(,−,−,)4∣y ∣4y 421212121

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