; (1)
;……
.
则均非零向量,且两两正交.再令
则为规范正交组.
将(1)重新写成,
其中,
有
令
则上式左端的实方阵是的格兰母矩阵，记为：，上式右端中间的对角阵是的Gram矩阵.即有:
因此
注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram矩阵（或者事先给出定义）.
例1 设欧式空间中向量，则
（1）线性无关;
（2）线性相关.
证明:只证（2）
DASIC设线性相关，则存在一个向量，不妨设为,可由其余向量线性表示:
给阶的行列式的第行乘数加到第行，得
法一：由上页证明推理过程立即得证。
法二：当时，的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数，使
.
即.
故，即有.
即有线性相关.
注：当线性无关时，，且.
推论1 设是欧氏空间中任意向量，则
(ⅰ)是半正定矩阵；
(ⅱ)是正定阵线性无关.
证明(ⅰ北京2008油画)对任意，主子式总大于或等于零.
因此是半正定矩阵.
(ⅱ)（）当线性无关时，对任意，主子式总大于零（因为线性无关）.故是正定阵.
（）由例1，这是显然的.
snake模型推论2 (ⅰ)设欧氏空间中向量线性无关，则
，且上式取等号两两正交红外光通信装置.
(ⅱ)设（欧），则.
(ⅲ)设，，则，故.
当可逆时，上式取等号，有.
例2 设是欧氏空间中的向量，且它们线性无关.
证明.
证明 令，其中.
则是线性无关向量组的矩阵，故正定.
假如的元素中，绝对值最大者不在主对角线，设，.则，.
故.这样的二阶主子式我的电脑我做主.这与是正定阵相矛盾.因此的元素中，绝对值最大者必是主对角元，结论得证.
注：从例2的证明中，可以看出这样一个结论：任意阶（实对称）正定阵的元素中，绝对值最大者必在主对角线上.
设是维欧氏空间的规范正交基，，，，则
1）.
2）.
3）.
4）.
设是欧氏空间的有限维子空间，则.
，表示法唯一.
称为信徒身份在上的正射影.当为的规范正交基时，在上的正射影为.
例3 证明，中向量到平面的距离等于.
证明 ，，在L（）的正射影的长度即为所求：.
例4 设是欧氏空间的一个规范正交组.证明，对于任意，以下不等式成立：
.
证明：令L，则，，.简单的计算表明.故.
而在上的正射影.因此由知.
注：设与均是的规范正交基，且
L= L，则.
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