球体表面温度周期变化时的非傅里叶导热
求解与分析
赵伟涛，吴九汇
5 10 15 20 25 30 35
（西安交通大学机械学院，西安710049）
摘要：本文基于具有热流延迟相的双曲型非Fouier 热传导方程，研究了球体表面在一周期 温度变化下的温度响应。采用分离变量法和Duhamel 积分原理得到了该问题的解析解。使
用获得的解析表达式，分析了球内温度响应在不同位置处以及随不同热松弛时间的变化趋
势，并与经典的Fouier 热传导方程所得到结果进行了比较。结果表明，非Fouier 热传导模
型所给的温度响应与经典的Fouier 热传导模型具有显著的差别。
关键词：热传导；非Fouier；球体；温度响应；周期变化
中图分类号：TG113.2
Analytical Study of the Non-Fourier Heat Conduction in a Solid Sphere with Periodic Surface Temperature
ZHAO Weitao, WU Jiuhui
(School of Mechanical Engineering, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049)
Abstract: Based on hyperbolic heat conduction equation accounting for the phase lag between the heat flux and the temperature, the temperature responses of solid sphere subjected to a periodic surface temperature disturbance are analytically studied. The solution is based on the separation of variables method and Duhamel‟s principle. Using the obtained analytical expression, the temperature response depending on the different position and the thermal relaxation time are examined quantitatively. A comparison of the present results with those obtained by using Fourier
heat conduction equation is given. It shows that there exists a big difference between the temperature response obtained by using non-Fouier model and Fourier model.
Key words: heat conduction; non-fouier; sphere; temperature responses; periodic variation
0引言
自从17 实际Fourier 建立了导热的数学模型，Fourier 定律广泛应用于导热问题分析的
各个领域。但是，Fourier 定律不涉及传热时间项，换句话说，一旦物体表面的温度在某个
瞬间发生变化，则物体内部任意位置上都能立即感受到其变化，Fourier 定律隐含了热扰动
传播速度为无限大的假设。对于热作用时间较长的稳态传热过程以及热传播速度较快的非稳
态常规传热过程，采用Fourier 定律来描述热流密度与温度梯度之间的关系是可以满足精度
要求的。随着科学技术的进步，超短激光脉冲的出现和制冷水平的提高，存在着极高（低）
温条件下的传热问题和超急速传热问题，使得Fourier 定律中的准平衡条件假设不再成立[1]。
为了克服Fourier 定律的局限性，Cattaneo[2]和Vernotte[3]独立的提出了具有热流延迟相
的非Fourier 模型，计及热流变化率对热传导的影响，其修正的Fourier 热传导方程为
q = -k∇T - τ 0
∂q
∂t
(1)
基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20090201120047)
作者简介：赵伟涛（1986-），男，在读博士，主要研究方向：工程热物理
通信联系人：吴九汇（1970-），男，教授、博士生导师，主要研究方向：纳米力学、光子晶体. E-mail:
***************.edu
-1-
+ = a 2T T 2T 2a T r r ， t = 2 ， τ 0 = 20
2T T 2T 2T r r
40
其中， q 是热流矢量， T 为温度， k 为热传导率， t 是时间， τ 0 为热松弛时间。方程(1)结合 能量守恒方程得到以温度 T 描述的双曲线型热传导方程
a ∇ 2T =
∂T
+τ0
∂ 2T ∂t 2
(2)
其中， a = k ( ρc ) 为热扩散系数， ρ 为密度， c 为常应变比热。
为了描述热以有限速度传播这一超常规热传导现象，研究者们在不同的初始和边界条件 45 50
55
60
下对方程(2)进行了求解。Ozisik [4]给出了在表面绝热，有内部热源条件下有限平板内的双曲 型热传导方程的解析解。Frankel [5]研究了有限平板在矩形脉冲边界条件下的双曲型热传导方 程。Tang [6,7]求解了表面周期性加热条件下有限介质的非 Fourier 热传导问题。Moosaie [8,9]在 Tang 的工作基础上，运用 Fourier 积分表达式，求解了在周期[8]或者非周期[9]表面热扰动条 件下有限介质的非 Fourier 热传导问题。Barletta [10]分析了无限圆柱体存在内热源以及与外界 流体有热对流的情况下的双曲型热传导。Sadd [11]使用 Laplace 变换法求解了圆筒内外区域一 维轴对称非 Fourier 热传导问题。Atefi [12]使用分离变量法求解了边界条件不随时间变化的无 限长圆筒的非 Fourie 温度场。Jiang [13]运用 Laplace 变换法研究了空心球体在内外两个表面温 度突然变化时的双曲型热传导问题。Moosaie [14]求解了在不随时间变化的线性边界条件下空 心球体的三维非 Fourier 温度场。Shirmohammadi [15]采用分离变量法得到空心球体在周期表 面热流条件下的解析解。
本文运用 Duhamel 积分得到了球体表面温度任意变化时双曲型热传导方程的解析解。 首先分析了温度突变边界条件和周期边界条件这两类特殊的情况下解的形式，之后应用 Fourier 级数展开法研究了一般边界条件下解的形式。按照这些表达式，不同边界条件下球 体的双曲线热传导行为得到分析和研究。这为工程应用和数值计算的验证提供了便利。
1 数学模型
考虑一半径为 r 0 ，热物性为常数的球体，假设其初始温度 T (r ,0) = 0 ，从时间 t = 0时起， 球体外表面 r = r 0 处遭受一温度为 f 0 ⋅ f (t ) 的作用。在不考虑内热源和忽略热传导与热辐射的
情况下，一维球体的双曲线热传导方程为
65
其边界条件为
τ 0
2
2
+
(3)
∂T ( r , t ) ∂r
r =0
= 0 ， T ( r 0 , t ) = f 0 ⋅ f (t )
(4)
初始条件为
T ( r ,0) = 0 ，
∂T ( r , t ) ∂r
=0
= 0
(5)
其中， f 0 ⋅ f (t ) 为任意给定的函数。
70 为了获得控制方程(3)、(4)、(5)的无量纲形式，特引入以下无量纲量
T =
T f 0
， r =
r r 0
r 0 r 0
at a τ
为了简便，省掉无量纲符号上方的… ‟，则方程(3)、(4)、(5)无量纲化之后为
τ 0
+ = +
2 2
-2-
(7)
2ωω2ω2ωr r r 2θθ2θ 2θr r r d X
2 dX
d Y dY
1 ( λn r ) = A n Q ( λn r )
∂T ( r , t )
∂r r =0
= 0 ， T (1, t ) = f (t ) (8) 75
T ( r ,0) = 0 ， ∂T ( r , t )
∂r
=0
= 0
(9)
2 问题求解
由于边界条件(8)中的 f ( t ) 是任意函数，这就使得直接求解方程(7)变得不可能。因此，
首先假定 f ( t ) 为一时间无关量 f ，求解此条件下的温度场；其次运用 Duhamel 积分，求解 在任意边界条件 f ( t ) 下的温度场。现在，采用“边界条件齐次化”的方法求解在边界条件 f
80
下方程(7)的定解。
设解
且
T ( r , t ) =θ ( r , t ) + ω ( r , t )
(10)
τ 0
+ = + 2 2
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(11)
85
∂ω ( r , t ) ∂r
r =0
= 0 ， ω (1, t ) = f
(12)
ω ( r , t ) 要满足方程(11)和边界条件(12)， 不妨设 ω ( r , t ) = Ar 2 + Br + C ( A ， B ， C 是三个待定系
数)，代入上式，求出 A ， B ， C ，可得 ω ( r , t ) = f 。
θ ( r , t ) 的定解问题为
τ 0
+ = +
暴强回复2 2
(13)
90
∂θ ( r , t ) ∂r
=0 = 0 ， θ (1, t ) = 0
(14) θ (1,0) = - f (15a)
∂θ ( r , t ) ∂t
=0
= 0
(15b)
采用分离变量法求解偏微分方程(13)，令
θ ( r , t ) = X ( r )Y (t )
(16)
95 将式(13)代入方程(10)，得到以下两个常微分方程
2
2 + + λ 2 X = 0 dr r dr
(17)
0 2
2 + + λ 2Y = 0 dt d t
(18)
其中 λ 为分离常数。球贝塞尔方程(17)在边界条件(14)下的本征值及相应的本征函数分别为
λn = n π
(19)
100
X n ( r ) =
2
(20)
式中， J 1 (λn r ) 为半奇数阶贝塞尔函数。
2
方程(18)在边界条件(15b)下的解为
-3-
式中
⎪B n ⎨sinh ⎪ + β n cosh ⎪⎬ e ⎪ ⎪ ⎭
t
⎪B n ⎨sin ⎪ + β1n cos ⎪⎬ e 2τ 0
⎩ ⎪
t
β n = 实数
β n = β1n
(21)
105
β n = 1-4τ 0λn 2
古金水(22)
把式(20)和(21)代入方程(16)得
t t
n =1
⎪ ⎝ 2τ 0 ⎭ ⎝ 2τ 0 ⎭⎪ n = N +1 ⎪ ⎝ 2τ 0 ⎭ ⎝ 2τ 0 ⎭⎪
(23)
式中，当 n < N 时， β n 为实数。
110
式(23)满足边界条件(15a)，再利用特征函数(20)的正交性可得
C n = -
1
1
2 2
n
f =
λn βn ⋅
f = ξ n f
(24)
因此 T ( r , t ) 可以用下式表示
式中
T ( r , t ) =R ( r , t ) f
(25)
115
∞
n =1
(26)
⎪⎨sinh ⎪ + β n cosh ⎪⎬ e ⎪⎪⎩ ⎭⎪
⎪⎨sin ⎝ 2τ 0 ⎭ + β1n cos ⎝ 2τ 0 ⎭⎬ e
t
t
β n = 实数
β n = β1n
(27)
方程(25)表示在边界条件不随时间变化时的温度场，当边界条件为任意随时间变化的量
f ( t ) 时，运用 Duh am el 积分求解此条件下的温度场。
t 0
∂R ( r , t ')
城市管理执法办法
∂t '
f (t - t ')dt '
(28)
120
把式(24)代入(26)得到表面温度任意变化时，球体内部的温度场分布
式中
∞
n =1
(29)
⎪ 2
τ
⎝ 2
τ
⎭ 2
汤姆逊效应
-
⎩ ⎝ 2τ 0 ⎭
t '
β n = 实数
β n = β1n
⎧⎪
⎛ β n t ⎫ ⎛ β n t ⎫⎫⎪ - 2τ
⎧
⎝ 2τ 0 ⎭ ⎝ 2τ 0 ⎭ Y n (t ) = ⎨
β1n β1n -⎪
⎝ 2τ 0 ⎭ ⎝ 2τ 0 ⎭⎪⎭
⎩ ⎪ ⎩
βn βn 20β1n 1n -
20
∞
- N
⎭ ⎭⎩ ⎩
⎰ ⎰ r Q ( λ r ) dr 2
( λn )
R ( r , t ) = 1 + ∑ ξ n G n (t ) Q ( λn r )
βn βn -20
⎝ 2τ 0 ⎭ ⎝ 2τ 0 ⎭
G n (t ) = ⎨
β1n β1n -20
⎩⎪⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎭
T ( r , t ) = ⎰
T ( r , t ) = ∑ξ n M n (t ) Q ( λn r )
⎧ β n 2 - 1 t ⎛ β n t ' ⎫ -
⎪ ⎰0 sinh ⎪ e 2τ0
f (t - t ') dt '
代号x7M n (t ) = ⎨ ⎛ β1n t ' ⎫ - 2τ 0
⎪ β1n + 1 t
t '
sin ⎪ e f (t - t ') dt '
2τ 0 ⎰0 ⎪ M n (t ) = lim
⎛ β t ' ⎫ - 2τ
⎰0 sinh ⎝ 2τn 0 ⎪⎭ e f (t - t ') dt '
M n (t ) = -λn 2 ⎰ e f (t - t ') dt '
-λ t '
(30)
当 τ 0 → 0时，方程(7)对应傅里叶导热的情形。此时 β n 为实数，式(30)变为
125
τ0 →0
2τ 0
t '
(31)
把式(22)代入式(31)进行整理得 t
-4-
(32)
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