作者：WTT整理
傅⾥叶级数（傅⾥叶变换）⼏乎在所有科学和⼯程领域发挥着重要作⽤。黎曼积分和勒贝格积分均起源于对傅⾥叶级数的研究，傅⾥叶级数（傅⾥叶变换）在齿轮箱故障诊断分析上也有⼴泛应⽤，是⽬前齿轮箱技术研究的热点之⼀，特别是分数阶傅⾥叶变换（FRFT，fractional Fourier transform），在齿轮箱早期故障的诊断上，具有良好的发展潜⼒。
1. 历史回顾
三⾓函数展开起源于18世纪。1808年，傅⾥叶在他著名的热⼒学论⽂集“热的分析理论”中详细的研究了三⾓级数，并⽤三⾓级数成功的解决了许多热传导问题的偏微分⽅程。由于当时傅⾥叶的结论并⽆确凿证据及数学家对傅⾥叶的观点还很陌⽣，所以傅⾥叶的研究当时饱受争议，并且⼈们还认为他夸⼤了结论的适⽤范围。事实上，⽬前数学家已经证明了傅⾥叶级数⾜以表⽰绝⼤多数曲线。
将傅⾥叶级数的定义域拓展到整个实轴上，就得到了傅⾥叶变换。傅⾥叶变换是分析和处理平稳信号的⼀种标准和有⼒的⼯具，但随着研究范围的扩⼤逐渐也显⽰出了它的局限性：主要是傅⾥叶变换是全局变换，得到的是信号的整体频谱，因⽽⽆法表述时频的局部特征，因此⼈们进⼀步提出了分数阶傅⾥叶变换，短时傅⾥叶变换。 分数阶傅⾥叶变换最早是纳⽶亚（Namias）于1980年提出，其⽬的是⽤于求解量⼦⼒学中出现的线性时变偏微分⽅程。随后麦克布莱德（McBride）等对FRFT理论从数学上以积分形式给出了严格定义。1993年洛曼（Lohmann）阐述了FRFT的物理意义，即可理解为时频平⾯的旋转，洛曼（Lohmann）开创性的⼯作使得FRFT⾸先在光学中得到应⽤。
FRFT实际上是⼀种统⼀的时频变换，同时反映了信号在时域和频域上的信息，与传统的傅⾥叶变换相⽐，它适⽤于处理⾮平稳信号，尤其是线性调频信号，这使得FRFT在齿轮箱故障诊断上也得到越来越多的应⽤。
以下我们通过定义来了解它们之间的关系。
2. 傅⾥叶级数定义：
傅⾥叶级数就是将某⼀函数改写成正弦（sin）函数和余弦（cos）函数的和的形式。
2.1 傅⾥叶级数在[-π,л]区间上的形式为：
2.2 傅⾥叶级数拓展到任意周期区间[-a,a]上的形式为：
2.3 将以上形式改写成复数形式为
技嘉h67
如果我们将[-a.a]区间拓展到整个实轴上，就引出以下傅⾥叶变换定义。
cat计算机辅助3. 傅⾥叶变换定义：
我们⽤F表⽰傅⾥叶算⼦，如果对信号f（t）连续进⾏傅⾥叶变换，则有:
FF[f(t)]=F2[f(t)]=f(-t)；
F3[f(t)]=f(-λ)；
F4[f(t)]=f(t)；
如果我们将t轴（时间轴）与λ（频率轴）轴构成⼀个直⾓坐标系，将每次的傅⾥叶变换看作坐标轴的90度旋转，在每次旋转的同时改变f（t）的表达形式，则这种坐标系定义的t-λ平⾯（可理解为时间-频率平⾯）满⾜以上傅⾥叶变换的性质。
沙扬娜拉赏析
图1傅⾥叶变换t-λ平⾯（时-频平⾯）表⽰
显然，时频平⾯的90度旋转对应⼀次傅⾥叶变换，那么时频平⾯的任意⾓度α旋转的数学定义和物理意义是什么呢?这就引出了以下的分数阶傅⾥叶变换的定义。商业街设计理念
全球原油储存空间将三个月内用尽4. 分数阶傅⾥叶变换定义：
j为复数符号，p为傅⾥叶阶数。当p=1时，f1（u）就是f（t）的普通的傅⾥叶变换；当p=-1时，f-1（u）就是f（t）的普通的傅⾥叶逆变换；同时，FRFT满⾜阶数可加性（指数可加性，或旋转可加性），即FP1FP2=FP1+P2。所以可以认为分数阶傅⾥叶变换是⼀种⼴义的傅⾥叶变换。
5. 矩形波的FRFT展开:
张海钦通过下⾯矩形波不同阶次的展开图，能形象的理解信号从时域逐渐过渡到频域的过程。
f（t）=1，-4≤t＜4；f（t）=0，t是其它值时。
以下图2到图6中，实线表⽰FRFT的实部，虚线表⽰FRFT的虚部。当p很⼩时，FRFT的实部⾮常接近时域的矩形⽅波(见图2)；当p值接近于1时，FRFT的结果就接近矩形波的傅⾥叶变换，即sinc函数（见图6）。
图2 p=0.005时的FRFT
图3 p=0.1时的FRFT
图4 p=0.4时的FRFT
图5 p=0.6时的FRFT
图6 p=0.995时的FRFT
参考⽂献：
1.梅检民，肖云魁，齿轮箱早期故障精细诊断技术—分数阶傅⽴叶变换原理和应⽤[M]，⾼等教育出版社，2016
2.申永军，杨绍谱，齿轮系统的⾮线性动⼒学与故障诊断[M]，科学出版社，2014
3.Albert Boggess，Francis J.Narcowich，⼩波与傅⾥叶分析基础（第⼆板）[M]，芮国胜，等译，电⼦⼯业出版
社，2017
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