方差分析有很多类型，无论简单与否，其基本原理与步骤是相同的。本节结合单因素试验结果的方差分析介绍其原理与步骤。 一、线性模型与基本假定 假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重复，共有金属钝化剂nk个观测值。这类试验资料的数据模式如表6-1所示。 表6-1加拿大铝业k个处理每个处理有n个观测值的数据模式
处理
| 观测值 | 合计 | 平均 |
A1 | x11 | x12 | … | x1j | … | x1n | | |
A2 | x21 | x22 | … | x2j | … | x2n | | |
| | | … | | … | | | |
Ai | xi1 | xi2 | … | xij | … | xin | | |
| | | … | | … | | | |
Ak | xk1 | xk2 | … | xkj | … | xkn | xk.旋转薄膜蒸发器 | |
合计 | | | | | | | | |
| | | | | | | | |
表中表示第i个处理的第j个观测值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；表示第i个处理n个观测值的和；表示全部观测值的总和；表示第i个处理的平均数；表示全部观测值的总平均数；可以分解为
(6-1)
表示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的影响大小，将再进行分解，令
(6-2)
(6-3)
则
(6-4)
其中μ表示全试验观测值总体的平均数，是第i个处理的效应（treatmenteffects）表示处理i对试验结果产生的影响。显然有
(6-5)
εij是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
（6-4）式叫做单因素试验的线性模型（linearmodel）亦称数学模型。在这个模型中表
示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij之和。由εij相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k)所属总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi,σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相等，σ2则必须是相等的。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性（additivity）、分布的正态性（normality）、方差的同质性（homogeneity）。这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。若将表（6-1）中的观测值xij（i=1,2,…,k;j=1,2,…,n）的数据结构（模型）用样本符号来表示，则(6-6)与（6-4）式比较可知，、、分别是μ、（μi-μ）=、（xij-）=的估计值。（6-4）、（6-6）两式告诉我们：每个观测值都包含处理效应（μi-μ或），与误差(或)，故kn个观测值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。 二、平方和与自由度的剖分 我们知道，方差与标准差都可以用来度量样本的变异程度。因为方差在统计分析上有许多优点，而且不用开方，所以在方差分析中是用样本方差即均方（meansquares）来度量资 料的变异程度的。表6-1中全部观测值的总变异可以用总均方来度量。将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总均方分解为处理间均方和处理内均方。但这种分解是通过将总均方的分子──称为总离均差平方和，简称为总平方和，剖分成处理间平方和与处理内平方和两部分；将总均方的分母──称为总自由度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分来实现的。
（一）总平方和的剖分在表6-1中，反映全部观测值总变异的总平方和是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记为SST。即
因为
其中
所以（6-7）
（6-7）式中，为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数n的乘积，反映了重复n次的处理间变异，称为处理间平方和，记为SSt，即
(6-7)式中，为各处理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和或误差平方和，记为SSe，即
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于是有
SST=SSt+SSe（6-8）
(6-7)，（6-8）两式是单因素试验结果总平方和、处理间平方和、处理内平方和的关系式。这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：
(6-9)
其中，C=x2··/kn称为矫正数。
（二）总自由度的剖分在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减一，即kn-1。总自由度记为dfT，即dfT=kn-1。
在计算处理间平方和时，各处理均数要受这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减一，即k-1。处理间自由度记为dft，即dft=k-1。
在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束，即（i=1,2,…,k）。故处理内自由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k。处理内自由度记为dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。
因为
所以
(6-10)
综合以上各式得：
(6-11)
各部分平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方，分别记为（MST或）、MSt（或）和MSe（或）。即
（6-12）
总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。
【例6.1】某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。
表6-2饲喂不同饲料的鱼的增重（单位：10g）
饲料
| 鱼的增重（xij） | 合计 | 平均 |
A1 | 31.9 | 27.9 | 31.8 | 28.4 | 35.9 | 155.9 | 31.18 |
A2 | 24.8 | 25.7 | 26.8 | 27.9 | 26.2 | 131.4 | 26.28 |
A3 | 22.1 | 23.6 | 27.3 | 24.9 | 25.8 | 123.7 | 24.74 |
A4 | 27.0 | 30.8 | 29.0 | 24.5 | 28.5 | 139.8 | 27.96 |
合计 | | | | | | =550.8 | |
| | | | | | | |
这是一个单因素试验，处理数k=4，重复数n=5。各项平方和及自由度计算如下：japanese from voice
矫正数
总平方和
处理间平方和
处理内平方和
总自由度
处理间自由度
处理内自由度
用SSt、SSe分别除以dft和dfe便得到处理间均方MSt及处理内均方MSe。
因为方差分析中不涉及总均方的数值，所以不必计算之。
三、期望均方
如前所述，方差分析的一个基本假定是要求各处理观测值总体的方差相等，即（i=1,2,…,k）表示第i个处理观测值总体的方差。如果所分析的资料满足这个方差同质性的要求，那么各处理的样本方差S21，S22，…，S2k都是σ2的无偏估计（unbiasedestimate）量。(i=1,2,…,k)是由试验资料中第i个处理的n个观测值算得的方差。
显然，各的合并方差（以各处理内的自由度n-1为权的加权平均数）也是σ2的无偏估计量，且估计的精确度更高。很容易推证处理内均方MSe就是各的合并。
其中SSi、dfi（i=1,2,…,k）分别表示由试验资料中第i个处理的n个观测值算得的平方和与自由度。这就是说，处理内均方MSe是误差方差σ2的无偏估计量。
试验中各处理所属总体的本质差异体现在处理效应的差异上。我们把称为效应方差，它也反映了各处理观测值总体平均数的变异程度，记为。
(6-13)
因为各未知，所以无法求得的确切值，只能通过试验结果中各处理均数的差异去估计。然而，并非的无偏估计量。这是因为处理观测值的均数间的差异实际上包含了两方面的内容：一是各处理本质上的差异即αi（或μi）间的差异，二是本身的抽样误差。统计学上已经证明，是+σ2/n的无偏估计量。因而，我们前面所计算的处理间均方MSt实际上是n+σ2的无偏估计量。
因为MSe是σ2的无偏估计量，MSt是n+σ2的无偏估计量，所以σ2为MSe的数学期望（mathematicalexpectation），n+σ2为MSt的数学期望。又因为它们是均方的期望值（expectedvalue），故又称期望均方，简记为EMS（expectedmeansquares）。
当处理效应的方差=0，亦即各处理观测值总体平均数（i=1，2，…,k）相等时，处理间均方偏振模散MSt与处理内均方一样，也是误差方差σ2的估计值，方差分析就是通过MSt与MSe的比较来推断是否为零即是否相等的。
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