最近在图书馆借了本《R和ASReml-R统计分析教程》，林元震和陈晓阳主编的关于R的书籍，当时看上这本书的原因在于⾥⾯以统计学知识为主，作为R语⾔实战的良好补充，虽然R语⾔实战是⼀本相当详实的介绍R语⾔的书，但是其中的统计学原理往往⼀笔带过（虽然本书也不是很详尽），但是作为⼀个数据分析从业⼈员，我感觉对于很多统计理论，达到可以讲明⽩原理和逻辑就可以，具体的计算过程和推导反⽽在其次，⽽最重要的是在什么情况下应⽤什么算法和模型，这才是最关键的。 这篇博客分享下对⽅差分析的理解。
其实在之前的⽂章中，对t检验相关说明⽐较多，⽽⽅差分析和t检验⽅法的功效和作⽤⾮常相近，⽹上对此也不是很详尽，下⾯⾸先说说我的理解。
这⾥说的t检验是双样本t，也就是两组数，看这两组数据对应的总体差异；⽅差检验也是看两组（及以上）的数据见有没有差异，那么其实⼆者是不是⼀样呢？ 昂立口译
其实在某种程度是⼀样的。下⾯的情况分为两个维度：检验的组数和组内⽅差
在这种情况下，t检验和F检验相等
我们看下F检验的原理，F检验是看F分布，⽽F value是SSB/SSW，关于SSB和SSW可以参考可汗学院有⼀节专门讲组间平⽅和（SSB）和组内平⽅和（SSW），如果我们把组间平⽅和理解为两组之间的差异，组内平⽅和理解为两组内部不同数据的差异的话，那么简单点说，两个数据在有差异的前提下，究竟是组间的差异⼤，还是组内的差异⼤呢？如果是组间的差异⼤，那么这两组数据本⾝不⼀致的概率就⾮常⼤了，对应F值⽐较⼤；
那么看看两组的t检验，t检验的前提是两组数据都是从不同样本抽出的数据，⽽样本都符合正态分布，然后⽤这两个样本推断这两个总体存不存在差异；举个例⼦，我有⼀缸⿊⽶，和⼀缸⽩⽶，为了看这两缸⽶的密度有没有差异，⽤⼩勺各盛了⼗次，观察密度，然后⽤⼩勺的⼗次，去判定总体的差异；如果想⽤t检验，前提假设是由于随机误差，两缸⽶在抽取的时候密度会有随机误差，那么每次抽取的密度都呈现正态分布，还有⼀个假设，就是两个勺⼦盛的⽶离散程度是相等的，也就是⽅差相等。所以，在⽅差相等，或者说⽅差齐的前提是t检验的必要前提。⽽F检验不要求⽅差齐，或者说本⾝就是检查⽅差的差异的。
按照之前的定义，如果两组⽅差齐，由于F检验的F值是SSB/SSW，组内⽅差相等，如果两组有变异，那么全部都是由于组间差异造成的，F检验⾃然成了t检验，下⾯附上F检验和t检验的代码和结果（数据参考了《R和ASReml-R统计分析教程》中的数据）： weight<-scan()
16.6820.6718.421817.4415.9518.6823.2221.421918.92 NA
V<-rep(c('LY1','DXY'),rep(6,2))
df<-data.frame(V,weight)
a<-subset(df$weight,V=='LY1')
b<-subset(df$weight,V=='DXY')
t检验的结果是：
Two Sample t-test
data: a and b
t = -2.1808, df = 9, p-value = 0.0571
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-4.865132220.08913222
sample estimates:
在我的开始是我的结束
mean of x mean of y阿托品滴眼液
17.86020.248
2012高中数学联赛F检验：
fit<-aov(weight~V,data=df)
summary(fit)
结果：
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
V 1 15.55 15.55 4.756 0.0571 .
Residuals 9 29.43 3.27
---
模具技术Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
1 observation deleted due to missingness
可以看到p值都是0.0571，相等，因为前提是在t检验中加⼊了st，然后设置参数var.equal=T。下⾯看看⽅差不等的情况：情况2，两组数据，⽅差不齐
在这种情况下，如果忽略了⽅差齐的前提，⽐如我重新做⼀组数据，先检测防擦：
weight<-scan()
16.68 20.67 18.42 18 17.44 30 18.68 23.22 21.42 19 18.92 82
V<-rep(c('LY1','DXY'),rep(6,2))
df<-data.frame(V,weight)
a<-subset(df$weight,V=='LY1')
b<-subset(df$weight,V=='DXY')
看到检测结果：
F test to compare two variances
data: a and b
F = 0.038913, num df = 5, denom df = 5, p-value = 0.002832
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.0054450950.278085194
sample estimates:
ratio of variances
0.03891273
p为0.002832，所以⽅差不齐；
但是然后我们进⾏⽅差齐的t检验：
Two Sample t-test
data: a and b
t = -0.98304, df = 10, p-value = 0.3488
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-33.7709713.09431
sample estimates:
mean of x mean of y
20.2016730.54000
看到两组均值相等的概率好⼤；
⽅差不齐调整后的t检验：
Welch Two Sample t-test
data: a and b
t = -0.98304, df = 5.3885, p-value = 0.3676
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-
36.7964316.11976
sample estimates:文化沙龙
mean of x mean of y
20.2016730.54000
P值是0.3676 稍微⽐之前⼤⼀些；
F检验：
fit<-aov(weight~V,data=df)
summary(fit)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
V 1321320.60.9660.349
Residuals 103318331.8
p是0.349；这和t检验在⽅差齐的前提下是相等的。
我理解是这样的：
t检验的前提是⽅差齐，只有⽅差齐了，t检验的结果才反应两组数据的是否有差异，否则如果⽅差不齐的话，会把组内的差异也考虑进去，所以判定的概率就更宽松；⽽F检验其实就是看组间差异和组内差异的⽐较，所以本质上和t检验⽅差齐的概念相似。但是实际上在⽅差不齐的时候是⽆法进⾏t检验的，结果不具有统计学意义。
情况3&4：多组情况下，⽅差齐&多组⽅差不齐
t检验⼀般适⽤于两组，所以在多维的情况下，不适⽤t检验，⽽F检验可以判定多组、⼀组多变量和多组间有交互（单因素、协⽅差、双因素⽆重复、双因素有重复等），然后在通过两两⽐较进⾏分析，⽤duncan和tukey等⽅法去判定。
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