《最优化方法》题汇总.doc
《最优化方法》复习题
泰坦尼克船长再现一、 简述题
1、怎样判断一个函数是否为凸函数.
（例如: 判断函数212
2
212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 2、写出几种迭代的收敛条件. 3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）. 见书本61页(利用单纯形表求解);
69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点. 简述共轭梯度法的基本思想. 写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。 5、叙述常用优化算法的迭代公式． （1）0.618法的迭代公式：(1)(),
().k k k k k
k k k a b a a b a λτμτ=+--??=+-?
（2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)()
n k k
k k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+?
=+-??
=-?
=+-??
L ． （3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1
1k k k马基雅维利
k x x G g -+=-． （4）推导最速下降法用于问题1min ()2
T
T f x x Gx b x c =
++的迭代公式： 1()T k k
k k k T k k k
g g x x f x g G gx +=-?
（5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-??． （6）共轭方向法用于问题1min ()2
T
T f x x Qx b x c =
++的迭代公式： 1()T k k
k k k T k k
f x d x x d d Qd +?=-．
二、计算题
双折线法练习题 课本135页 例3.9.1 FR 共轭梯度法例题：课本150页 例4.3.5 二次规划有效集：课本213页例6.3.2,
所有留过的课后习题.
三、练习题：
1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2
T
T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．
解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=．
2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+．
3、证明：凸规划min ()x S
弗朗西斯卡f x ∈的任意局部最优解必是全局最优解．
证明 用反证法．设x S ∈为凸规划问题min ()x S
f x ∈的局部最优解，即存在x 的某
个δ邻域()N x δ，使()(),()f x f x x N x S δ≤?∈I ．若x 不是全局最优解，则存在
x S ∈%，使()()f x f x <%．由于()f x 为S 上的凸函数，因此 (0,1)λ?∈，有
((1))()(1)()()f x x f x f x f x λλλλ+-≤+-<%%．
当λ充分接近1时，可使(1)()x x N x S δλλ+-∈%I ，于是()((1))f x f x x λλ≤+-%，
矛盾．从而x 是全局最优解．
4、已知线性规划：123123123123123min ()2;
..360,2210,20,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+??++≤??
-+≤??+-≤??≥? （1）用单纯形法求解该线性规划问题； （2）写出线性规划的对偶问题；
邢台学院魏笑雨解 （1）引进变量456,,x x x ，将给定的线性规划问题化为标准形式：
123123412351236126min ()2;
..360,2210,20,,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+??+++=??
-++=??+-+=??≥?
L
所给问题的最优解为(0,20,0)T x =，最优值为20f =-． （2）所给问题的对偶问题为：
123123123123123max ()601020;..32,21,21,,,0.g y y y y s t y y y y y y y y y y y y =---??---≤??
-+-≤-?
--+≤??≥?
5、用0.618法求解 2min ()(3)t t ?=-，要求缩短后的区间长度不超过0.2，初始区间取[0,10]． 解 第一次迭代： 取11[,][0,10],0.2a b ε==． 确定最初试探点11,λμ分别为
11110.382() 3.82a b a λ=+-=，11110.618() 6.18a b a μ=+-=．
求目标函数值：21()(3.823)0.67?λ=-=，21()(6.183)10.11?μ=-=． 比较目标函数值：11()()?λ?μ<． 比较11 6.1800.2a με-=->=． 第二次迭代：
公开谴责212121210, 6.18, 3.82,()()0.67a a b μμλ?μ?λ========．
进口开关2222220.382()0.382(6.180) 2.36,()(2.363)0.4a b a λ?λ=+-=-==-=．
2222()(), 3.82a ?λ?μμε<-=>． 第三次迭代：
323232320, 3.82, 2.36,()()0.4a a b μμλ?μ?λ========．
2333330.382()0.382(3.820) 1.46,()(1.463) 2.37a b a λ?λ=+-=-==-=．
3333()(), 3.82 1.46b ?λ?μλε>-=->．
第四次迭代：
434343431.46, 3.82, 2.36,()()0.4a b b λλμ?λ?μ========．
444440.618() 1.460.0.618(3.82 1.46) 2.918,()0.0067a b a μ?μ=+-=+-==． 4444()(), 3.82 2.36b ?λ?μλε>-=->． 第五次迭代：
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