文章编号：1000-4750(2021)04-0247-10
李振眠1,2
，余 杨1,2
，余建星1,2
，赵 宇1,2
，张晓铭1,2
，赵明仁
1,2
(1. 天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津大学，天津 300350；2. 天津市港口与海洋工程重点实验室，天津大学，天津 300350)
摘 要：局部屈曲破坏是深水管道运行的最大安全问题之一。采用创新性的向量式有限元方法(VFIFE)分析深水管道结构屈曲行为，推导考虑材料非线性的VFIFE 空间壳单元计算公式，编制Fortran 计算程序和MATLAB 后处理程序，开展外压下深水管道压溃压力和屈曲传播压力计算、压溃和屈曲传播过程模拟。开展全尺寸深水管道压溃试验，进行深水管道压溃压力和压溃形貌分析，对比验证了VFIFE 、试验、传统有限元方法(FEM)得到的结果。结果表明：VFIFE 能够直接求解管道压溃压力和屈曲传播压力，模拟管道屈曲和屈曲传播行为，计算结果符合实际情况，与压溃试验、传统有限元方法符合较好，并具有不需特殊计算处理、全程行为跟踪等优势，可以为深水管道结构屈曲行为分析提供一套新的、通用的分析策略。关键词：管道结构；屈曲行为；向量式有限元；空间壳单元；压力舱试验 中图分类号：TU312+.1；P756.2 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.06.0357
BUCKLING ANALYSIS OF DEEPWATER PIPELINES BY VECTOR FORM
INTRINSIC FINITE ELEMENT METHODsmg9
LI Zhen-mian 1,2
, YU Yang 1,2
, YU Jian-xing 1,2
, ZHAO Yu 1,2
, ZHANG Xiao-ming 1,2
, ZHAO Ming-ren
1,2
(1. State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety, Tianjin University, Tianjin 300350, China;
2. Tianjin Key Laboratory of Port and Ocean Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China)
Abstract: Local buckling damage is one of the biggest safety issues during the operation of deepwater pipelines.The innovative vector form intrinsic finite element method (VFIFE) is used to analyze the buckling behavior of deepwater pipelines. After deriving the calculation formula of VFIFE space shell elements considering the nonlinear elastoplastic material, we developed a Fortran calculation program and a MATLAB post-processing program to simulate the collapse
and buckling propagation process. The collapse pressure and the buckling propagation pressure were calculated. A full-scale pressure chamber test was conducted to analyze the buckling load and buckling morphology. The VFIFE results were compared with those of the test, traditional finite element method (FEM) and DNV method. The VEIFE can directly simulate the pipeline collapse, the buckling propagation, the collapse pressure, and the buckling propagation pressure. The VFIFE results are in line with the actual situation and in good agreement with those of the other methods. The VFIFE has the advantages of not requiring special calculation processing and tracking of the entire behavior, thus providing a new and universal analytic strategy for buckling simulation of deepwater pipelines.
Key words: pipeline structure; buckling behavior; vector form intrinsic finite element method; 3D shell element;
pressure chamber test
深水管道由于外部高静水压作用，其设计通常依据局部屈曲压溃的失稳极限状态[1]
。现行的挪威船级社(DNV)设计规范
[2]
指出，管道在安装、
检修和运营过程中会出现空载状态，内部压力为
收稿日期：2020-06-08；修改日期：2020-09-04
基金项目：国家自然科学基金面上项目(51779173)；工信部项目(G18473CJ09)；河南省重点研发与推广专项(科技攻关)项目(192102310210)通讯作者：余 杨(1988−)，男，天津人，副教授，博士，硕导，主要从事海洋工程研究(E-mail: *************** ).作者简介：李振眠(1994−)，男，福建人，博士生，主要从事深水结构研究(E-mail: ****************** );
余建星(1958−)，男，福建人，教授，博士，博导，主要从事船舶与海洋工程研究(E-mail: *************** )；赵 宇(1995−)，男，福建人，硕士生，主要从事海洋工程结构研究(E-mail: ************* )；张晓铭(1996−)，男，河南人，硕士生，主要从事船舶与海洋工程研究(E-mail: ****************)；赵明仁(1996−)，男，辽宁人，硕士生，主要从事海底管道结构研究(E-mail: ***********************).
第 38 卷第 4 期Vol.38 No.4工 程 力 学2021年
4 月
Apr.
2021
ENGINEERING MECHANICS
247
零，仅承受外部静水压作用，需要校核外部静水压下深水管道抗屈曲能力。因此，开展外部静水压力作用下深水管道局部屈曲行为分析具有实际工程应用价值。
管道局部屈曲压溃和屈曲传播是一个复杂的力学问题，包含材料非线性、几何非线性和接触非线性。经过近百年的研究，径向外压下圆柱壳结构屈曲失效问题的研究不断深入，经历了基于弹性屈曲理论分析[3]、Karmen-Donnel薄板大挠度理论[4]和理想弹塑性平面应变二维圆环理论[5]的发展。其中，Timoshenko的二维圆环理论具有较好的适用性而被其他学者进一步发展。基于相同的假定，Haagsma和Schaap[6]计算方法被列为DNV 规范[2]推荐方法并沿用至今，得到了工业界广泛的应用和认可。但是，规范推荐方法忽略材料硬化效应，预测的屈曲载荷偏于保守。对于深水油气开发中常用的API X级钢管，其塑性强化性能显著，若进行简化将低估其抗屈曲能力[7]。此外，美国的Kyriakides团队[8 − 9]开展了管道压溃系列试验，分析了几何尺寸、材料性能、缺陷形式和加载路径等因素的影
响规律，并开发了考虑几何非线性和材料非线性数值计算方法，有力提升了业界对管道压溃行为的认识。同时，随着ANSYS、ABAQUS、ADINA等大型商业有限元软件的不断发展，Bai等[10]、Xue[11]、Toscano等[12]应用软件成功模拟了深水管道屈曲压溃和屈曲传播过程，为压溃压力和屈曲传播压力的准确预测提供了又一种可行的思路。Corradi等[13]、余建星等[14 − 17]也进行了大量的缩尺比以及全尺寸的管道屈曲压溃试验和软件模拟分析，深入分析管件径厚比、椭圆度缺陷、材料屈服强度等因素的影响规律。
向量式有限元(VFIFE)是近年来提出的一种新型有限元方法[18 − 20]，与传统有限元方法有着明显区别(见表1[21])。其中，VFIFE能够不通过结构的刚度矩阵求解结构力学问题，避免出现因矩阵病态而求解失败的情形。基于这一特性，VFIFE 在处理结构大变形、大变位、弹塑性、倒塌和碰撞等非连续或非线性问题时具有很大优势，陆续有学者开展理论研究和应用发展[21]。目前VFIFE 已经发展出梁[18]、膜[22 − 23]、板[24]和壳[25 − 26]等多种单元类型。对于壳单元，具有代表性的工作有：王震等[25]基于三角形CST薄膜单元和三角形DKT 薄板单元的叠加组合，建立了三角形薄壳单元的VFIFE基本理论；Wu[26]基于VFIFE对壳结构进行了动态非线性分析，验证了三角壳单元在整体大位移、大挠度、非线性材料特性以及接触碰撞等非线性分析中的准确性和可靠性。在海洋工程领域，VFIFE主要应用在海洋平台扶正分析[27]、平台-船舶碰撞分析[28]、海底管道力学响应分析[29 − 30]和海洋立管动态响应分析[31 − 33]等方面。以上研究推进了VFIFE的理论发展，验证了该方法在工程应用的可行性与优越性。
表 1 VFIFE与传统有限元方法的差别[21]
Table 1 Difference between VFIFE and traditional
finite element method[21]
比较内容VFIFE传统有限元方法
离散结果
质点(内力计算用单元的
概念)
单元计算过程
采用途径单元，便于处理
各种不连续问题，计算时
可随意增减质点和改变边
界条件
五星电器加盟
需特殊技术处理不连续问
题，计算时不容易增减单
元和改变边界条件
纯变形计算逆向运动
求导排除刚体位移的间接
计算
刚度矩阵无
有，需将单元刚度矩阵集
成得到总体刚度矩阵基本原理
强形式。每个质点满足牛
顿运动定律
弱形式。采用变分原理，
结构整体满足
目前海洋工程领域中VFIFE的应用以梁单元为主，壳单元的使用较少见，基于VFIFE开展外压下管道局部屈曲行为分析鲜见。本文将VFIFE 引入深水管道结构局部屈曲行为非线性动态分析，推导VFIFE空间壳单元计算公式，考虑非线性弹塑性材料并编制Fortran计算程序和MATLAB 后处理程序，开展了外压下深水管道压溃压力和屈曲传播压力计算、屈曲和屈曲传播过程模拟。同时，开展全尺寸深水管道压溃试验和ABAQUS 计算分析，对比验证深水管道屈曲载荷和压溃形貌，旨在为深水管道结构屈曲行为分析提供一套新的、通用的分析策略。
1 理论方法
VFIFE的基本原理是将结构离散为有质量的质点和质点间无质量的单元，质点用以描述结构运动学和动力学物理量，单元则用于约束质点运动。本文利用三角形常应变CST薄膜单元描述面内力学行为，三角形离散基尔霍夫DKT薄板单元面外力学行为，然后由二者线性叠加得到可以描述壳体空间力学行为的三角形薄壳单元。以下给出空间薄壳单元理论推导的主要过程，详细推导
248工 程 力 学
可参考文献[25]。
1.1 质点运动控制方程
VFIFE 将结构质量集中在质点上，其离散质量(惯量)分布情况趋近于真实连续体的质量分布，每个质点的等效质量(惯量)由质点的集中质量(惯量)和相连单元等效节点质量(惯量)得到。质点的平动和转动微分方程分别为：
M ¨x +αM ˙x =F (1)I ¨θ
+βI ˙θ=F θ(2)
M I x θαβF F θ式中：和分别为质点的质量矩阵和惯量矩阵；
和分别为线位移和角位移向量；和分别为平
动和转动阻尼参数；和分别为质点合力和合力矩向量。
式(1)和式(2)通过其中央差分形式进行数值求解，得到每个时间步内质点位移，公式如下：
x n +1=c 1
[(∆t )2m ]F n +2c 1x n −c 2x n −1θn +1=c 1(∆t )2I −1F n θ
+2c 1θn −c 2θn −1(3)x n θn F
n
F n θ∆t c 1c 2式中：、分别为第n 时间步初始时刻质点的位移和角位移向量；、分别为第
n 时间步初
始时刻质点的合力和合力矩向量；为时间步长；和为阻尼相关参数。
1.2 单元纯变形计算
由式(3)求得质点位移包括了刚体平移、刚体转动和单元节点的纯变形线(角)位移向量。为后续单元内力(矩)计算，需采用逆向运动方法
[18, 25]
求得单元节点的纯变形。
abc abc →a ′b ′c ′→a ′′b ′′c ′′→a ′′′b ′′′c ′′′a ′′′b ′′′c ′′′如图1所示，以节点a 为参考点，单元的逆向运动路径为，分别是：平移扣除刚体平移向量，两次转动扣除平面外转动向量和平面内转动向量。此时，单元回到初始时刻所在平面内，与初始时刻位形差异即为单元的纯变形。具体为：
图 1 薄壳单元的空间运动
Fig. 1 Space movement of thin-shell element
∆ηd
a =0,∆ηd i =(u i −u a )+∆ηr i −op +∆ηr i −ip ,i =
b ,c
∆ηd
θi =u θi +∆ηr θi −op +∆ηr θi −ip ,i =a ,b ,c
(4)
∆ηd i (∆ηd
θi )u a ∆ηr i (∆ηr θi )op ip 式中：为纯变形线(角)位移；为刚体平移；为逆向转动线(角)位移；下标
和表示平面外和平面内。
上海壹周报1.3 单元内力(矩)计算
如前所述，薄壳单元由薄膜单元和薄板单元
线性叠加得到。首先，在变形坐标系下将节点位移单元的面内分量作为膜单元的位移向量，将点线位移和角位移的面外节分量作为板单元位移分量。然后，对分离后膜单元部分和板单元部分进行单元节点内力积分。最后，将膜单元部分和板单元部分的单元节点内力转换到整体坐标系下合并得到单元对质点的约束力。其中，单元节点内力(矩)通过单元变形满足的虚功方程求解，如式(5)所示：
∑i
δ(ˆu i )T ˆf i +∑
i
δ(ˆu
θi )T ˆf θi =
V
δ(∆ˆε
m )T
ˆσm d V + V
δ(∆ˆεp )T
ˆσp d V (5)
∆ˆεˆσp 式中：和分别为应变增量和应力；下标m 和
n80
分别表示膜单元和板单元部分。
1.4 计算流程
依据上述理论方法，利用VFIFE 薄壳单元进
行结构行为模拟时的基本求解流程如图2所示(图中下标ext 和int 分别表示外力(矩)和内力
(矩))。模拟过程通过时间步不断迭代推进，每个时间步内计算内容主要有：1) 质点平动和转动计算获得单元纯变形；2) 单元节点内力(矩)计算。
图 2 计算流程Fig. 2 Calculation flow
工 程 力 学249
蒋毅君 清华大学
本文分别采用Fortran和MATLAB编写薄壳单元计算程序和后处理分析程序。程序控制外部静水压力随时间线性增大，并根据结构实时构型更新作用方向以保证法向加载。由于VFIFE的基本计算量为单个单元和节点，非常方便采用并行计算提高求解效率[34]，本文采用openmp技术进行计算加速。
2 深水管道压溃试验
深水管道压溃试验在天津大学深水结构实验室内进行，图3给出了全尺寸深水压力舱示意图。该实验装置能容纳8 m长全尺寸深水管道，加压能力达70 MPa，详细介绍可见文献[35]。
图 3 天津大学全尺寸深水压力舱
Fig. 3 Full-scale deepwater pressure chamber
in Tianjin University
如图4所示，采用慢线切割的方式从全尺寸管件上裁取标准拉伸试样件，然后通过万能拉伸试验机完成准静态材料测试。在确定材料屈服强度和弹性模量后，材料塑性区域的本构模型为拟合得到的C-S模型[36]，忽略应变率的影响的公式如下：
σp=A C−S+B C−Sεn C−S p(6)σp A C−S
B C−S n C−Sεp
式中：为塑性应力；为静态屈服应力；
和为静态应变硬化参数；为塑性应变。
拉
伸
试
样
拉
伸
试
验
图 4 管道试件材料参数拟合
Fig. 4 Fitting of material parameters of pipe specimens
试验的全尺寸管道参数如表2所示，其长度与直径的比值为24.62。已有研究[14 − 17]表明，10个直径
以上长度的管道可忽略端部边界条件对局部压溃压力的影响，20个直径以上长度的管道可忽略端部边界条件对于屈曲传播压力的影响。
表 2 试验管件参数
Table 2 Parameters of specimens
参数及单位直径
D/m
壁厚
t/m
长度
L/m∆
椭圆度
/(%)北服莱佛士
弹性模量
E/GPa A C−S
静态屈服应力
/MPa
静态应变硬化参数
B C−S n C−S
值0.3250.010 4.000.6206 100383.80610.00×1060.6302
全尺寸海底管道压力试验流程如图5所示，主要包括试验前处理、设备安装、加压测试、卸压排水和试验后处理等主要步骤。试验前处理包括管件切割、两端法兰焊接和管件主要参数的测量。然后。将管件送入压力舱内，并通过法兰盘固定于压力舱内，压力舱舱盖关闭。常压注水后需进行水密检验，打开数采系统进行压力监测，然后通过高压水泵不断往舱内注水实现加压，直至管道发生压溃。加压结束后进行卸压排水，取出管件进行形貌观察并完成数据处理。试验过程中，载荷的波动范围≤0.5%，测量精度±0.2% FFS，控制精度±0.2% FFS，系统波动值不高于±0.5%。由于高压水泵注水缓慢，压力舱压溃试验应视为准静态试验，测得的水压峰值为准静态屈曲载荷。
图 5 全尺寸海底管道压力试验流程
Fig. 5 Experimental procedure of pressure
test for full-scale pipes
250工 程 力 学
3 屈曲行为分析
在传统有限元分析中，由于结构屈曲后会发生大位移、大转角或大应变，需要在平衡条件和应变表达式中考虑变形后的构形，一般作为几何非线性问题处理。但在VFIFE 中，由于求解质点内力时依据每个时间步更新的结构构形，几何非线性概念不强。而且，控制方程式(3)采用显式时
间积分法求解，也不存在非线性的概念。因此，VFIFE 处理管理管道屈曲问题的非线性时，不需要特殊的处理。
1.0×10−6本文的计算模型参数与表1中试验管件参数一致。由于管道模型的对称性，计算模型简化为1/8模型，并设置对称边界约束。考虑管道压溃后上、下壁面碰撞的情况，定义计算模型的对称面为刚性面，不允许质点穿越。参考文献[25]，时间步长取 s ，平动和转动阻尼参数均取100.0。计算采用位移控制法[22, 25]
跟踪管道结构屈
曲和后屈曲的全过程，实时记录管道中心截面上短轴端和长轴端质点位移。
3.1 压溃分析
对于静力分析问题，VFIFE 须经由动力分析过程，通过减小加载速度降低结构惯性力和应力波的影响。本文采用五种加载速率(18.75 MPa/s~150.00 MPa/s)进行求解，通过比较节点位移-载荷曲线确定实现准静态加载过程的临界加载速率。计算选取跟踪的节点为管道中间截面上长轴端和短轴端处的节点，其节点位移分别记为U 1和U 2。如图6所示，随着外压不断增大，节点位移先是缓慢增大，然后达到某值时会急剧增大，最后稳定不再增大。对应的物理过程为管道结构发生屈曲的过程：随着外压不断增大，管道截面首先发生微小变形，然后在屈曲载荷处发生压溃，产生大变形，最后上、下壁面接触。基于节点位移载荷曲线，通过B-R(Budiansky-Roth)运动准则[37]
即可准确判断管道屈曲载荷。
由图6可知，当加载速率低于37.50 MPa/s 时，管道参考节点的位移-载荷曲线趋于一致，即实现静力屈曲分析，所求得的屈曲载荷即为管道的静力屈曲载荷。比较不同的加载速率，可以发现：随着加载速率的增大，管道的屈曲载荷有所增大，屈曲临界过程更为复杂，屈曲载荷判断难度增大。这是因为加载速率较大时，结构的惯性
力和应力波会影响管道的抗屈曲性能，使得管道的屈曲载荷增大。较大加载速率对应的屈曲载荷为管道结构的动力屈曲载荷。可见，从工程应用角度，研究结构的静力屈曲载荷意义重大。b a o
U 1图 6 管道节点位移与压力载荷曲线
Fig. 6 Nodal displacement-external pressure curves
图7为深水管道压溃试验记录的试验水压-时间曲线。其中，虚线为预设的压力加载方案：以2 MPa/min 的速度加载到15 MPa 后进行保压。实线为实测的舱内压力值。压力舱通过高压水泵注水，舱内水压缓慢上升，当试验管件压溃时，舱内水压骤然下降到某一较小水压值。这是因为管道在压溃的瞬间发生了大变形，使得舱内容纳水的空间体积突然加大，从而导致舱内水压突然大幅下降。显然，深水管道压溃试验水压加载速率较37.5 MPa/s 小得多，测得的屈曲载荷应为静力屈曲载荷。由图7可知，管道的试验静力屈曲载荷为11.59 MPa 。
同时，利用ABAQUS 对表2所示的管道进行模拟，采用经典的流体舱数值模型
[1, 15, 35]
。另外，
采用DNV 规范的计算方法对管道屈曲载荷进行预测。DNV 规范屈曲压力计算公式为：
(p c −p el )(p 2c −p 2
p )=p c p el p p ∆
D
t
(7)
p el p p 式中：为弹性压溃压力；为塑性压溃压力。两个参数的计算方法如下：
p el =2E (t /D )3/(1−ν2)(8)p p =2σ0αfab t /D
(9)
σ0σ0=A C −S 式中，αfab 为制造系数，代表了不同制管工艺对管道屈服强度的影响。对于本文研究的无缝钢管，αfab =1.00。为特征屈服强度，。
管道压溃试验值、VFIFE 、ABAQUS 和DNV 方法计算得到的静力屈曲载荷如表3所示。可
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