绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）
理科数学
使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则 ( )
2.设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则 ( )
3.设向量a,b满足|a+b|,|ab|,则ab ( )
4.钝角三角形的面积是,,,则 ( )
5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是
( )
6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1（表示1 cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( )
7.执行如图的程序框图,如果输入的,均为2,则输出的 ( )
8.设曲线在点处的切线方程为,则 ( )
9.设,满足约束条件则的最大值为 ( )
10.设为抛物线：的焦点,过且倾斜角为的直线交于,两点,为坐标原点,则的面积为 ( ) 11.直三棱柱中,,,分别是,的中点,,则与所成角的余弦值为 ( )
12.设函数,若存在的极值点满足,则的取值范围是 ( )
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13.的展开式中,的系数为15,则 （用数字填写答案）.
14.函数的最大值为 .
15.已知偶函数在上单调递减,,若,则的取值范围是 .
16.设点,若在圆：上存在点,使得,则的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列满足,.
（Ⅰ）证明：是等比数列,并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
18.（本小题满分12分）
如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,为的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设二面角为,,,求三棱锥的体积.
19.（本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：
年 份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
| | | | | | | |
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：,.
20.（本小题满分12分）
设,分别是椭圆：的左、右焦点,是上一点且与轴垂直,直线与的另一个交点为.
（Ⅰ）若直线的斜率为,求的离心率；
（Ⅱ）若直线密云地震在轴上的截距为2,且,求,.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设,当时,,求的最大值；
（Ⅲ）已知,估计的近似值（精确到）.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时填写试题号.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图,是外一点,是切线,为切点,割线与相交于点,,,为的中点,的延长线交于点.证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆的极坐标方程为,.
（Ⅰ）求的参数方程；
lec（Ⅱ）设点在上,在处的切线与直线：垂直,根据（Ⅰ）中你得到的参数方程,确定的坐标.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若,求的取值范围.
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】A
【解析】在复平面内对应的点在第四象限，可得，，解得．
【提示】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
2.【答案】C
【解析】集合，，．
【提示】先求出集合，，由此利用并集的定义能求出的值．
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】向量，，，又，，解得．
【提示】求出向量的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于的方程，解得答案．
【考点】平面向量的基本定理及其意义
4.【答案】A
【解析】圆的圆心坐标为，故圆心到直线的距离，解得．
【提示】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【考点】圆的一般方程，点到直线的距离公式
5.【答案】B
【解析】从到，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从到最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有种走法，同理从到，最短的走法，有种走法，小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种走法．
【提示】从到最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另elsajean挑战最粗极限2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从到，最短的走法，有种走法，利用乘法原理可得结论．
【考点】排列、组合的实际应用，分步乘法计数原理
6.【答案】C
【解析】由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，圆柱表现出来的表面积是．空间组合体的表面积是．
【提示】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【考点】由三视图求面积、体积
7.【答案】B
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由得：，即平移后的图象的对称轴方程为．
【提示】利用函数的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
【考点】正弦函数的对称性，函数的图象变换
8.【答案】C
【解析】输入的，，当输入的为2时，，，不满足退出循环的条件；
当再次输入的为2时，，，不满足退出循环的条件；
当输入的为5时，，，满足退出循环的条件；
故输出的值为17．
【提示】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【考点】程序框图
9.【答案】D
【解析】方法1：，；
方法2：，，．
【提示】方法1：利用诱导公式化，再利用二倍角的余弦可得答案；方法2：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得的值，再平方，即得的值．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值
10.【答案】C
【解析】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为，从区间随机抽取个数，，…，，，，…，构成个数对，，…，，对应的区域的面积为，
，．
【提示】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率的近似值．
【考点】几何概型
11.【答案】A
【解析】由题意，为双曲线左支上的点，则，，，，可得：，即，又，可得，，解得．
【提示】由条件，，列出关系式，从而可求离心率．
【考点】双曲线的简单性质
12.【答案】B
【解析】函数满足，即为，可得关于点对称，函数，即的图象关于点对称，即有为交点，即有也为交点，为交点，即有也为交点，…
则有
．
【提示】由条件可得，即有关于点对称，又函数，即的图象关于点对称，即有为交点，即有也为交点，计算即可得到所求和．
【考点】抽象函数及其应用
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】
【解析】由，，可得，，
，由正弦定理可得，解得．
【提示】运用同角的平方关系可得，，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．
【考点】解三角形
14.【答案】②③④
【解析】①如果，，，不能得出，故错误；
②如果，则存在直线，使，由，可得，那么，故正确；
③如果，，那么与无公共点，则，故正确
④如果，，那么，与所成的角和，与所成的角均相等，故正确
【提示】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
【考点】命题的真假判断与应用，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系
15.【答案】1和3
【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
甲的卡片上的数字是1和3．
【提示】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【考点】进行简单的合情推理
16.【答案】
【解析】设与和的切点分别为、，由导数的几何意义可得，得，再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得，从而得出．
【提示】先设切点，然后利用切点来寻切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可．
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议