绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
考前须知：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 场所精神
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.
31i
i
+=+〔 〕 A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2.设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．假设{}1A
B =，那么B =〔 〕
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5 3.我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层共有灯〔 〕
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
假如古代也有手机
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部所得，那么该几何体的体积为〔 〕
A ．90π地源热泵设计
B ．63π
C ．42π
D ．36π
5.设x，y满足约束条件
2330
2330
30
x y
x y
y
+-≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+≥
⎩
，那么2
z x y
=+的最小值是〔〕
A．15
-B．9-C．1D．9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕
A．12种B．18种C．24种D．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向教师询问成语竞赛的成绩．教师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我如今给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，那么〔〕 A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，假如输入的1
a=-，那么输出的S=〔〕
A．2 B．3 C．4 D．
5
9.假设双曲线C:
22
22
1
x y
a b
-=〔0
a>，0
b>〕的一条渐近线被圆()22
24
x y
-+=所截得
的弦长为2，那么C的离心率为〔〕
A．2 B．3C．2
D
．
3
麦克风门10.直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，那么异面直线
1AB 与1C B 所成角的余弦值为〔 〕
A ．
2 B ．5 C ．5
D ．3 11.假设2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，那么()f x 的极小值为〔 〕 A.1- B.3
2e -- C.3
5e -
12.ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，那么()PA PB PC ⋅+的最小值是〔 〕
A.2-
德国民法典B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，那么D X = ．
14.函数(
)2
3sin 4f x x x =+-
〔0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
〕的最大值是 ． 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，那么
1
1
n
k k
S
==∑ ．
16.F 是抛物线C :2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．假设M 为F N 的中点，那么F N = ．
三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 〔一〕必考题：共60分。 17.〔12分〕
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)假设6a c += , ABC ∆面积为2，求.b
18.〔12分〕
淡水养殖场进展某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量〔单位：kg 〕某频率直方图如下： （1） 设两种养殖方法的箱产量互相独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新
养殖法的箱产量不低于50kg，估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值〔准确到0.01〕
P 〔
〕 k
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
金刚烷胺
19.〔12分〕
如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点. 〔1〕证明：直线//CE 平面P AB 〔2〕点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o
45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值
20. 〔12分〕
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 21.〔12分〕
函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. 〔1〕求a ；
〔2〕证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2e f x --<<.
〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
〔1〕M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； 〔2〕设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕
330,0,2a b a b >>+=，证明：
〔1〕3
3
()()4a b a b ++≥； 〔2〕2a b +≤．
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