--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------
绝密★启用前数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分.
如果事件A，B互斥 ，那么 | 如果事件A，B相互独立，那么 |
| |
棱柱的体积公式 | 球的体积公式 |
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 | 其中R表示球的半径 |
| |
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是虚数单位，复数 （ ）
A.
B.
C.
D.
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为时，输出x的值为 （ ）
A. B. 1
C. 3 D. 9
4. 函数在区间内的零点个数是 （ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
5. 在的二项展开式中，x的系数为 （ ）
A. 10 B.
C. 40 D.
6. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则 （ ）
A. B.
C. D.
7. 已知为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则 （ ）
A. B.
C. D.
8. 设，若直线与圆相切，则的取值范围是 （ ）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.
2. 本卷共12小题，共110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.
10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________.
11. 已知集合，集合，且，则_________，_________.
12. 已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中，焦点为F，准线为.过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E.若，点M的横坐标是3，则_________.
有机污染13. 如图，已知和是圆的两条弦，过点B作圆的切线与的延长线相交于点D.过点C作的平行线与圆相交于点E，与相交于点F，，，，则线段的长为_________.
14. 已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数，法制时空.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
16.（本小题满分13分）
现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）台湾公共电视>固液分离装置求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用，分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
17.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.
18.（本小题满分13分）
已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，，.
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明.
19.（本小题满分14分）
设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，证明直线的斜率k满足.
20.（本小题满分14分）
已知函数的最小值为0，其中.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数k的最小值；
（Ⅲ）证明.
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】
【提示】给出函数解析式运用导数的相关性质求解其函数最值．
2.【答案】A
【解析】∵为偶函数，反之不成立，
∴“”是
“为偶函数”的充分而不必要条件．
【提示】直接把代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．
【考点】三角函数的奇偶性，充分，必要条件．
3.【答案】C
【解析】根据图给的算法程序可知：第一次，第二次，则输出．
【提示】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当时跳出循环，输出结果．
【考点】循环结构的程序框图．
4.【答案】B
【解析】解法1：因为，，即，且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1．
解法2：设在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确．
【提示】根据函数两端点的函数值异号且函数连续，可确定内有唯一的零点．
【考点】函数零点的求解与判断．
5.【答案】D
【解析】∵，∴，即，∴的系数为．
【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令，得即可得出项的系数
【考点】二项式定理．
6.【答案】A
【解析】∵，由正弦定理得，又∵，∴，
所以，易知，∴，．
【提示】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出，然后利用平方关系式求出的值即可．
【考点】正弦定理，三角函数中的二倍角公式．
7.【答案】A
【解析】∵，，
又∵，且，，，
∴，，
所以，解得．
【提示】根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量积的定义求出再根据即可求出．
【考点】平面向量在平面几何中的应用．
8.【答案】D
【解析】∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离为，所以
设，则，解得．
【提示】由圆的标准方程出圆心坐标和半径，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．
【考点】直线与圆的位置关系．
第Ⅱ卷
二、填空题
9.【答案】18
9
【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取，中学中抽取．
【提示】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每
个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．
【考点】分层抽样．
10.【答案】
【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：．
【提示】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长，宽，高分别为6，3，1（单位：），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可
【考点】由三视图求几何体的表面积与体积．
11.【答案】
【解析】∵，又∵，画数轴可知．
【提示】齿轮有限元分析解不等式不等式，再画出数轴即可得出答案．
【考点】集合的基本运算，集合间的关系．
12.【答案】2
【解析】∵可得抛物线的标准方程为，∴焦点，
∵点的横坐标是3，则，所以点
由抛物线得几何性质得，解得．
【提示】把抛物线的参数方程化为普通方程为，算出，则点，由抛物线得几何性质得，解出．
【考点】抛物线的简单几何性质．
13.【答案】
【解析】∵由相交弦定理得，所以，
又，设，则，
再由切割线定理得，即，解得，故．
【提示】由相交弦定理求出，由相似比求出，设，则，再由切割线定理，求解．
【考点】圆的性质的应用．
14.【答案】
【解析】∵函数的图像直线恒过定点，且，∴，，，，由图像可知．
【提示】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数的图像与函数的图像，结合图像，可得实数的取值范围
【考点】函数图像的应用．
三、解答题
15.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）
函数的最小正周期为．
（Ⅱ）
当时，，当时，
【提示】（Ⅰ）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将
化为，即可求得函数的最小正周期；
（Ⅱ）可分析得到函数在区间的范围，，从而可求得在区间上的最大值和最小值．
【考点】三角函数的周期性，最值．
16.【答案】（Ⅰ）每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为．
（Ⅱ），
这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
（Ⅲ）可取
随机变量的分布列
【提示】（1）直接计算概率即可．
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件，利用互斥事件的概率公式可求；
（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
【考点】互斥事件与相对独立事件的相关性质，数学期望．
17.【答案】（Ⅰ）以为正半轴方向，建立空间直角坐标系．
则
（Ⅱ），设平面的法向量
则取
是平面的法向量
得：二面角的正弦值为．
（Ⅲ）设；则，
，
即．
【提示】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，通过得出，证出．
（2）求出平面，平面的一个法向量，利用两法向量夹角求解．
（3）设，利用，得出关于的方程求解即可．
【考点】线线垂直，异面直线所成的角的正弦值．
18.【答案】（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为；
则，
得：
（Ⅱ）
【提示】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．
（Ⅱ）先写出的表达式借助于错位相减求和；
【考点】等差等比数列的通项及性质．
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