2012 年普通高等学校招生全国统一考试
全国课标Ⅰ理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( ) A．3 B．6 C．8 D．10
2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
3．下面是关于复数的四个命题：
p1：|z|＝2， p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i， p4：z的虚部为－1，
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
4．设F1，F2是椭圆E：(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线上一点，
△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
5．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7
6.如果执行右考考你的智商边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…,aN，输出A，B，则( )
A．A＋B为a1，a2，…，aN的和
B．为a1，a2，…，aN的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A．6 B．9 C．12 D．18
8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为( )
A． B． C．4 D．8
9．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)单调递减，则ω的取值范围是( )
A． B． C．(0，］ D．(0,2］
10．已知函数，则y＝f(x)的图像大致为( )
11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，
△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
12．设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )
A．1－ln2 B．(1－ln2) C．1＋ln2 D．(1＋ln2)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量，夹角为45°，且＝1，＝，则＝__________．
14．设x，y满足约束条件，则z＝x－2y的取值范围为__________．
15．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．
16．数列{an}满足李昌奎故意杀人案an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
18．（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 选矿学19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
| | | | | | | |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
20．（本小题满分12分）
设抛物线C：x2＝2py (p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)满足f(x)＝ex清皇陵地宫亲探记－1－f(0)x＋x2．
(1)求f(x)的解析式及单调区间； (2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1) b的最大值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题计分.
22．(本题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，
证明：(1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD．
23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|帮练下腰致其伤残PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
24．(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|．
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2］，求a的取值范围．
2012年全国课标Ⅰ理科数学参考答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | C | C | D | C | B | C | A | B | A | B |
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13. 14.[－3,3］ 15. 16. 1 830
17．解：(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0．
因为B＝π－A－C， 所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0．
由于sinC≠0，所以． 又0＜A＜π，故．
(2)△爱的流刑地ABC的面积，故bc＝4．而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8．
解得b＝c＝2．
18．解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80． 当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80．
所以y关于n的函数解析式为
(2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7．
X的分布列为
X的数学期望为EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76．
X的方差为DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44．
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