2020年8月Aug. ,2020
第36卷第4期Vol. 36, No. 4滨州学院学报
Journal of Binzhou University
张子振，门秀萍，段爱华
(安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠233030)
摘要：研究一类四元中立型时滞神经网络模型。以模型神经之间的传输时滞为分岔参数， 利用特征值法得到模型产生分岔周期解的充分条件。并利用中心流形定理和规范型理论推导出 模型周期解稳定性和周期大小的计算公式。最后利用仿真示例验证了所得结果的正确性。
关键词：中立型神经网络；时滞；分岔周期解
中图分类号：0175; TP 183 文献标识码：A EXDI ：10.13486/j. cnki. 1673 - 2618. 2020. 04. 008
0引言
由于神经网络在工程领域中的实用性，已经被广泛应用在诸如智能控制、优化求解、模式识别、信号处 理、图像处理等众多领域口切。尤其是中立型神经网络可以描述一些关于过去状态数据的重要信息，因此,
中立型神经网络受到国内外研究学者的广泛关注。文献［4］研究了一类具有两个时滞的中立型神经网络
Hopf 分岔，文献［5］研究了一类中立型神经网络模型正周期解的存在性及全局吸引性，文献［6］研究了一
类中立型神经网络概周期解的存在性及稳定性，文献［7］则研究了带有Levy 噪声的中立型神经网络的反
巢湖学院学报馈控制问题。最近，文献［8］研究了如下四元中立型时滞神经网络模型：
d ；fi (z)dz
441/\(业(/一 ◎))+届 dQ —『2)+人2乞3(/—『2)+爲业(/一『2),
=一口1工1 (t) +血2 九(/—")),
蚯(/)
dz
(t) +a u fi (^2 (/—")) o
/Zi Xi (t) +a 2i fl (^2 Ct~T2)) +a 3i/1 (© (z —r 2)) +
fj.s x 3 (z) +a 13 /3 (a?i («—ri )),
(1)
其中，忑(i=l,2,3,4)表示第i 层神经元的状态;p ；(i = l,2,3)表示内部处理过程的稳定性系数；為(加=1,
产业结构调整指导目录(2011年本)2,3)表示中立行为影响系数；3& = 2,3,4)，呦0 = 2,3,4)表示神经元之间的连接强度“”(”=1,2)表示
两层神经元之间的传输时滞。
令 r=ri+r 2，如(/) = © (/—“)，"；(/)=忑(/)异=2,3,4。系统(1)转化为
收稿日期=2020 -06 -20
基金项目：国家自然科学基金资助项目(12001001)；安徽省高校优秀青年人才支持计划项目(gxyqZD2018044)；安徽省 高校自然科学研究重点项目(KJ2O19AO655 ,KJ2O19AO656 ,KJ2019A0662 ,KJ2020A0002)
第一作者简介：张子振(1982-)，男，山东聊城人，副教授，博士，从事动力系统稳定性、分岔研究。
E-mail : zzzhaida@ 163 ・ com
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滨州学院学报第36卷
阻(£)+<i 2i/i (力2 (^-r))+a 3i/i (力3 (^-r)) +
dtti (£)df
a 4i/i (力4 (^-r)) +^itt 2 (^-r) +^2w 3 (^-r)+^3w 4 (^-r),
= _化况2(力)+。12 九(«1(C )，= _〃3 况3(£)+。13 九(«1(C )，
dtt 4 Q)df
“4 坳(力)+^14/4 («1 (C) o
文献［8］研究了神经网络模型(2)的局部渐近稳定性和分岔周期解的存在性。本文在文献［8］的基础 上，继续研究网络模型(2)分岔周期解的稳定性及周期大小等性质。
1分岔周期解的存在性
(Hi) 九(0)=0也=1,2,3,4。
当条件(H 】)满足时，可以得到模型(1)在零点处的线性化部分为
= _阿力1(£)+。21力2(£—疋)+。31 “3(
k\ U 2(£—7") +k 2 u 3 (^―r) +怡3力4 Ct~T )9
她(C
df d%3 (C df dtt 4 (f)df
〃2力2(£)+。12力1 (C ，〃3力3(£)+。13力1 (C ，
p4 坳(力)+。14力1 (') o
进而可以得到相应的特征方程
A 4+D 03A 3+D 02A 2+D 01A+D 00 + (D 13A 3+D 12A 2+D 11A+D 10)e-Ar =0o
(4)
北京市委书记刘奇其中，D 。，和D “G = 0,l,2,3)的表达式可参看文献［8］。因此，当r=0时，如果条件(H?)成立，则模型(2)
在零平衡点附近是局部渐近稳定的。
(H 2 ) D20〉0 9 D23〉0 9 D22 D23〉。21，D2I D22 D23〉D ：3 D2I 0 其中 9
D20 = Doo + D10，D2I = Doi + Dll ，D22 = D02 + D ］2 , D ］3 = D03 + D13 o
当r>0时，假设入=心为方程(3)的根，得到
((D 13co 3 + D i co ) cos rco+ (D 12cu 2 —D 10) sin Ta )=D G3a )3 —Dnto,
J
(5)
+Diito)sin rco — (D 12a )2 — D 1G ) cos ra )= —co 4 +D G2a )2 ~ D GG 。
进而有
co 8 +D 33co 6 +D 32co 4 +D 31co 2 +D 30 =0o
(6)
其中,D 3/(£=0,l,2,3)的表达式可参看文献［8］。
令亦=©，贝q 方程(6)变为
0 +D 33 +D 32 +D 310+D3O =0。 (7)
(H 3)根据文献［8］的讨论，假设方程(7)存在4个正实根0,02，坚，04。
如果条件(HQ 成立，那么方程(6)存在正根妙=但；(£ = 1,2,3,4)。对于
Ti = — X arccos/ 径呎 \ ,2= 1,2,3,4。
a )i \ n \a )i )J
其中，
kkk43
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第4期
张子振，门秀萍，段爱华四元中立型时滞神经网络模型周期解
G (妙)—(-D13C0? + Dii 妙)X (D 03co ? —Doi 妙)+ (-D12CO? —D “)X (cot —D°2显 + Doo ) »
H^i ) = (D 13^+D 11a )i y+(D 12^-D 1G y 0
令 To — min{r/} —1 »2,3,40 另外 9根据方程(4)可知：Re ［常］
=］。其中 9
fQv) = v ［ +D 33v 3 +D 32 v 2 +D 31v +D 3Q ,5 =a )l o
(H 4) f&W
舉］t 工0。因此，根据文献［8］的讨论，可以得到下列结论。
引理何 如果条件(HQ 〜(HQ 成立，则当)时，模型⑵的零平衡点E°(0,0,0,0)局部渐近
稳定；当r=r…时，模型(2)在零解处产生分岔周期解。
2分岔周期解的稳定性和周期大小
令r=m+p,p€R，且(〃r)。那么模型(2)在p = 0处产生Hopf 分岔，并且可以转化为
u(.t) =L f ,(.u t )+F(./Li,u t )。
其中,M (i) = (M1,M2,M3,M4)T eC([-l,0],R 4),L p ：C-^R 4,F ：7?XC-^R 4，分别为
L ”0 = (r°+p)(A0(O)+A20( —l)),F(p,0) = (Fi ，F2，F3，FQT 。
其中，
卜竺加2世(_i )+叫严矚(_i )+
—阿
°120—"2
00
0 -10■0
0。21—尿0。31 ~k 20。41 ~k 3~
0Ai =
»A 2 —
°13
0—何
0000(214
-
1
―限0
21
十
21
十
2!
叫”％(-1)+(怡1。12严2 (0) 怡2。13 严3 (0) 怡3。14 严4 (0)
31 31 3]
—1)+%佇(％( —1)+%((%( —l)+h. o. t.+…
F 2 = (r 0 +〃)(如与：空(0)
⑴
舛(0) +h. o. t. H ----),
尸3 =(讥 +〃)(“与；"°〉空(0) +%叮⑴妳(0) +h. o. t. H ----),
F 4 = (r 0 +//) (ai4^(0)^ (0) +ai4^(0)^ (0) +h. o. t. +…)。
根据Riesz 表示定理可知，存在[ —1,0]f 疋 使得
l u =『〔切⑴,“)。®),。e c ([—i,o]~疋)。
选取？(&,“)= (m+p)(Aid(&)+A2d(& + l))，其中,d(&)为狄拉克函数。
利用文献[9]中的算法和计算步骤，可以得到确定分岔周期解稳定性等特性的参数表达式：
g 2o=2roP[A lie -2ir o-o + 屁2 优 e -矶％ +h 13ple~2i ^ +h u ple~2i ^ +A 2J ； +h 31p^ +A 4J ；],
gii =r Q Pi2h 11+2h 12p 2 p 2+2h 13p 3 勿+弘睥勿 A+2^2i P2 +2h 31ps +2h n pl ],
g02=%0 P[Ane 2ir °^ +A12 pl e 2iro<w ° +h 13pl e 2ir °^ +h u pl^iroa,° +h 21p2 +h 31ps +h^pt ],
g 21=2r 0 P ：A 11(2W^(-l)e-i ^+W^(-l)e-i ^)+A 12(2W^(-l )Ae-i ^+W^(-l )Ae i ^) +
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氐(2W 撐(一1)勿eT 沁+W 谿(一1)0代咖。)+几(2可生〉(一1)勿。—咖。+可谿(一1)
屍由氏)+
滨州学院学报第36卷
其中,
e -1^^ (3Ai5 +3A16pl p 2 +3A17pl 卫3+3屁8洌卫4)+竝(无21 (2W1P (0)+W 谿(0))+3无22) +
Ps (A 31
(0) +W^ (0)) +3h 32) +p ： (A 41 (0) +W^ (0)) +3A 42)],
。21/\(0) , _^31/Z l (0)
_k\ 012尸2(0)丄爲 413尸3(0)丄忽 414/^(O) 7"11 2] 十 2] 十 21 '"12
2! "" 2! !
z _^lfl (0) J —居 412 严2(0) | 爲 413 严3(0) | 怂 414 严4(0) 7 _。21 严1(。) 几-----2!—，h15---------3!------十—3!--------十-----3!------，必-----------
7 _。31 严1(0) , —041/^1(0) , _^12/Z 2(0) , _。12严2(0) , _ 力17 Wj ，力18 3~j 9/121 2~j ，力22 Wj ，力 31_
7 —^-13
3(0) j —<214/4 (0) j —。14 严4(0)亠— 。12 亠—九32
，九4] 5~! ，“42 ，Pl — ~T ，P3 — ~T ，o ! /! o ! 1伽十“2 1伽十“3
厶 _lcoo +阿—(。21 —居)e _ir °^ p 2 — (a 31 ~k 2)e~ir ^ p 3P4=-----------------------------------------------
-----------------3!°12
3!
。13 f 3 (0)2!
°13(。41_爲)eT 切昨 ，
厶 * —(。21 —届)
— P ； _ (q 3i~^2)e irQajQ * _ (a 4i — ^3)e irQajQ
2
“2—' 3 何―' 4 "4—'
P=[l + p2 p2 +p3 p3 +卫4 pt H-roe -^^ ((1 —届)卫2 p2 +(。31 —爲)卫3 p3 +(。41 —爲)卫4 pt )]_1，
W 2G =^p^)^^p^)+E 1e 2^^W 11= -^p^) + ^pW)+E 29"~ ~ CU0T0
吹0p(&) + 黑+码 e% #, Wu CUoTo ~3o>0 To cooro 并且
E] =2
_2ico 0 + p\
—°12—Q13—Q14
卫(0) = (1，卫2，卫3 ，卫4) e",
施密特触发器仿真
(。31—爲)e_矶叱
02icoo + “30
(% 一届)e_矶叱 2icoo + p -2
（5i —爲）e_矶吟-00
2ia )o + 阿
1
-An e _2iro<Wo +A i 2/>2 e _2ir °^ +A is pl e _2iro<Wo +h u pl e _2ir °^ -
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—卩\
。21 —居。31 —爲。41—忽「
-1
~2h 11+2h 12 p 2 p 2 +2A 13 p 3 p 3 +2h u p 4 p 「
a 12―化
0X
2A 2i
°13
—
何
弘31
_ °13
-1
―"_
_ 2A 41 _偏振分束器
于是，可以得到
G （o ）
i
2讥0>
（g “g2。一2|gJ2—呼\ 丄亜
2(8)
T 2
Re{C 1(0)}
Re{”Go)}‘
02=2Re{G (O)}, Im{C 1(O)}+；2Im{A /(r o )}
(10)(11)
T q CO q
根据文献［9］中确定分岔周期解稳定性和周期大小的算法，可以得到下列定理。
定理1对于模型（2），如果；2>0（；2<0），那么Hopf 分岔是超临界（次临界）的；如果他VO （02〉O ）,
那么分岔周期解是稳定（不稳定）的；如果r 2>0（T 2<0），那么分岔周期解是递增（递减）的。
• 50 •
第4期
张子振，门秀萍，段爱华 四元中立型时滞神经网络模型周期解
3仿真示例
选取文献［8］中相同的参数，即
〃1=〃2=〃3=〃4 = 1・ 5 , /i (.X )= f 2 (.x) =f3^x)=f^{x)= tanh(^),
<221 — <231 = 2 ,<Z 4i — 1 »<Zi2 — <213 =。14 = —1 Ml =爲=爲=0. 1 0
显然，由零平衡点经过计算可以得到
coo=l ・ 658820=0. 93990
当r=0时，仿真效果如图1所示，零平衡点E o (0,0,0,0)局部渐近稳定。
图1当r=o 时,E o (O,O,O,O)局部渐近稳定
当r=O.8e (O,ro)时，仿真效果如图2所示，零平衡点E 。(0,0,0,0)局部渐近稳定。
0.600.40
冒 0.20
-0.20
50
100 150 200
0.300.20
号 0.10
-0.10
0.150.10
O 0.05
-0.05
-0.10
0 50 100 150 200
0 50 100 150 200
图2当r=O.86(O,ro )时，E 。(0,0,0,0)局部渐近稳定
当r=l. 12>r 0时，零平衡点E o (0,0,0,0)失去稳定性，示例模型在E o (0,0,0,0)附近产生一簇分岔 周期解，仿真效果如图3所示。因此，仿真结果与引理1中的所得理论结果一致。另外，根据计算结果得
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