2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
A题城市表层土壤重金属污染分析
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加， 人类活动对城市环境质量的影响
日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开
展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关
注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区
等，分别记为 1 类区、 2 类区、⋯ ⋯ 、 5 类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度
不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距 1 公里
左右的网格子区域，按照每平方公里 1 个采样点对表层土（ 0~10 厘米深度）进行取样、
编号，并用 GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的
多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照 2 公里的间距在那些远离人及工业活动的
自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件 1 列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件 2 列出了 8 种
主要重金属元素在采样点处的浓度，附件 3 列出了 8 种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金
属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收
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题 目 A 题 城市表层土壤重金属污染分析
摘 要：
本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的 模型，并在满足 D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。
在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法 1：先将道路离散化成近似
胡莱足球均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。由警车的数目 m ,
将全区划分成 m个均匀的分区，从每个分区的中心点出发，到最近的道路节点，作为
警车的初始位置，由 Floyd 算法算出每辆警车 3 分钟或 2 分钟行驶路程范围内的节点。
考虑区域调整的概率大小和方向不同会影响调整结果， 本文利用模拟退火算法构造出迁
移几率函数，用迁移方向函数决定分区的调整方向。计算能满足 D1 的最小车辆数，即
为该区应该配置的最小警车数目，用 MATLAB计算，得到局部最优解为 13 辆。
在选取巡逻显著性指标时，本文考虑了两个方面的指标：一是全面性，即所有警车
走过的街道节点数占总街道节点数的比例，用两者之比来评价；二是均匀性，即所有警
车经过每个节点数的次数偏离平均经过次数的程度，用方差值来大小评价。
问题三：为简化问题，假设所有警车在同一时刻，大致向同一方向巡逻，运动状态
分为四种：向左，向右，向上，向下，记录每个时刻，警车经过的节点和能够赶去处理
事故的点，最后汇总计算得相应的评价指标。
在考虑巡逻规律隐蔽性要求时，文本将巡逻路线进行随机处理，方向是不确定的， 采用算法 2 进行计算，得出相应巡逻显著指标，当车辆数减少到 10 角度换算辆或巡逻速度变大
时，用算法 2 计算巡逻方案和对应的参数，结果见附录所示。
本文最后还考虑到 4 个额外因素，给出每个影响因素的解决方案。食疗歌
关键词：模拟退火算法； Floyd 算法；离散化
参赛队号 11***02
参赛密码
（由组委会填写）
队员姓名 * 佳 tuodu** 梅 * 巍
一 问题的重述
110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能
够增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了
有力的保障。
现给出某城市内一区域， 其道路数据和地图数据已知， 该区域内三个重点部位的坐
标分别为：（5112，4806），（9126， 4266 ），（7434 ，1332）。该区域内共有 307个道路
交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场
均在下图的道路上。
该市拟增加一批配备有 GPS卫星定位系统及先进通讯设备的 110 计算机集成制造系统警车。设 110 警车
的平均巡逻速度 为 20km/h，接警后的平均行驶速度为 40km/h。警车配置及巡逻方案要
尽量满足以下要求：
D1. 警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于 90％；而赶到重点部位的时间必须在
两分钟之内。
D2. 使巡逻效果更显著；
D3. 警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。
现在我们需要解决以下几个问题：
一. 若要求满足 D1,该区最少需要配置多少辆警车巡逻？
二. 请给出评价巡逻效果显著程度的有关指标。
三．请给出满足 D1且尽量满足 D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。
四. 在第三问的基础上，再考虑 D3条件，给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。
五．如果该区域仅配置 10 辆警车，应如何制定巡逻方案，使 D1、D2尽量得到满足？
六. 若警车接警后的平均行驶速度提高到 50km/h，回答问题三。
七. 你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们相应的解决方案。
二 问题分析
本题为城区道路网络中警车配置及巡逻问题。在进行警车配置时，首先要考虑警车
在接警后在规定时间内赶到现场的比例， 在此条件下， 以车数最少为目标， 建模、求解；
在制定巡逻方案时，要考虑巡逻的效果及隐蔽性问题。
问题一只要求满足 D1，求最少的警车配置数，可以认为警车是不动的，在三分钟
或两分钟内它能到达的区域就是它的覆盖范围。据此，在满足所有街道的覆盖率不低于
90%的条件下，寻最优解。
问题二要评价巡逻效果，有两个方面需要考虑：一是巡逻的全面性，即经过一段时
间后警车走过的街道数占总街道数的比例；二是巡逻的不均匀性，即经过一段时间后警
车经过每一条街道的次数相差不大，用方差来衡量。
问题三是在满足 D1 的条件上尽量满足问题二所给的指标， 并给出评价方案的指标。
首先到一组满足 D1 的各警车位置，然后在和各警车位置相连的点中随机寻一个点，
判断新的点是否满足 D1，如果满足则警车行驶到该点，否则重新寻，直到满足为止。
一段时间后统计所有车走过的点数及每个点被走过的次数， 用问题二给出的两个指标进
行评价。综合两个指标，可判断此路径的好坏，重复这个过程，直到综合评价指标达到
一个满意的值为止。
问题四增加了隐蔽性要求，首先给出评价隐蔽性的指标，隐蔽性可用路线的随机性
来评价，将它加入到问题三的模型中去进行求解。
问题五限制警车数量为 10，要综合考虑 D1、D2，先分配这 10 辆车使道路的覆盖
率最高，然后按照问题三的步骤进行求解，其中每一步对 D1 的判断只需使道路的覆盖
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