2021数学建模AB题解析，B题完全解答
A题城市表层土壤重金属污染分析
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日
显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城
市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、??、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左
右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化
学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度
及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列
出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属
的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析
whetheror
你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有
了这些信息，如何建立模型解决问题？ A题问题分析： 1、第一问利用matlab或者地理学的绘图软件实现应该不难；从而根据图来分析污染
程度，做出适当解释；（比赛前数学中国预测过一个赛题，题目初衷跟这个题目差不多，
有的学校把它作为模拟题，那么恭喜你们中奖了）
2、第二问让大家通过数据分析说明污染的原因，这个时候需要利用功能区的因素，
一般情况下，大家应该也就是些工业区的原因，只不过你需要用数据来验证下；至于分析分数的基本性质教学设计
方法，大家可以根据平时的积累来选择方法；（当然也不排除其他原因）
3、这一问是要你确定污染源的问题，其实就是到污染最严重的位置，大家应
该也不难到，通过利用算法来吧，至于什么算法自行选择；（注意，要分析污染源的传播特征来建立模型，至于“什么是重金属传播特征”自己去百度下吧）
4、模型评价，并对你的模型扩展，这一问大家应该不难解决吧，其实就是开放性的做个报告； B题：
110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。 现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点部位的坐标分别为：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。该区域内共有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下图的道路上。
秦皇岛教育学院
该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要尽量满足以下要求：
D1. 警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。 D2. 使巡逻效果更显著；
D3. 警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。现在我们需要解决以下几个问题：
一. 若要求满足D1，该区最少需要配置多少辆警车巡逻？二. 请给出评价巡逻效果显著程度的有关指标。
三．请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。四. 在第三问的基础上，再考虑D3条件，给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。
五．如果该区域仅配置10辆警车，应如何制定巡逻方案，使D1、D2尽量得到满足？
六. 若警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h，回答问题三。
七. 你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们相应的解决方案。
B题解析：
索溪峪的野教学实录摘要：
从清华园到未名湖本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。
在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均
匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。由警车的数目 ，将全区
划分成个均匀的分区，从每个分区的中心点出发，到最近的道路节点，作为警车的初始
位置，由Floyd算法算出每辆警车3分钟或2分钟行驶路程范围内的节点。考虑区域调整
的概率大小和方向不同会影响调整结果，本文利用模拟退火算法构造出迁移几率函数，用
迁移方向函数决定分区的调整方向。计算能满足D1的最小车辆数，即为该区应该配置的
最小警车数目，用MATLAB计算，得到局部最优解为13辆。
在选取巡逻显著性指标时，本文考虑了两个方面的指标：一是全面性，即所有警车走
过的街道节点数占总街道节点数的比例，用两者之比来评价；二是均匀性，即所有警车经
过每个节点数的次数偏离平均经过次数的程度，用方差值来大小评价。
问题三：为简化问题，假设所有警车在同一时刻，大致向同一方向巡逻，运动状态分
为四种：向左，向右，向上，向下，记录每个时刻，警车经过的节点和能够赶去处理事故
的点，最后汇总计算得相应的评价指标。
在考虑巡逻规律隐蔽性要求时，文本将巡逻路线进行随机处理，方向是不确定的，采
用算法2进行计算，得出相应巡逻显著指标，当车辆数减少到10辆或巡逻速度变大时，
用算法2计算巡逻方案和对应的参数，结果见附录所示。本文最后还考虑到4个额外因素，给出每个影响因素的解决方案。关键词：模拟退火算法；Floyd算法；离散化
一问题的重述
110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够
增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力
的保障。
现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点部位的坐标
分别为：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。该区域内
共有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下图的道路上。
该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的
平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要尽量
满足以下要求：
D1. 警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。 D2. 使巡逻效果更显著；
D3. 警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。现在我们需要解决以下几个问题：
一. 若要求满足D1，该区最少需要配置多少辆警车巡逻？二. 请给出评价巡逻效果显著程度的有关指标。
三．请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。四. 在第三问的基础上，再考虑D3条件，给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。
五．如果该区域仅配置10辆警车，应如何制定巡逻方案，使D1、D2尽量得到满足？
六. 若警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h，回答问题三。
七. 你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出你们相应的解决方案。
二问题分析
本题为城区道路网络中警车配置及巡逻问题。在进行警车配置时，首先要考虑警车在接警后在规定时间内赶到现场的比例，在此条件下，以车数最少为目标，建模、求解；在制定巡逻方案时，要考虑巡逻的效果及隐蔽性问题。
问题一只要求满足D1，求最少的警车配置数，可以认为警车是不动的，在三分钟或两分钟内它能到达的区域就是它的覆盖范围。据此，在满足所有街道的覆盖率不低于90%的条件下，寻最优解。
问题二要评价巡逻效果，有两个方面需要考虑：一是巡逻的全面性，即经过一段时间后警车走过的街道数占总街道数的比例；二是巡逻的不均匀性，即经过一段时间后警车经过每一条街道的次数相差不大，用方差来衡量。
千代富士问题三是在满足D1的条件上尽量满足问题二所给的指标，并给出评价方案的指标。首先到一组满足D1的各警车位置，然后在和各警车位置相连的点中随机寻一个点，判断新的点是否满足D1，如果满足则警车行驶到该点，否则重新寻，直到满足为止。一段时间后统计所有车走过的点数及每个点被走过的次数，用问题二给出的两个指标进行评价。综合两个指标，可判断此路径的好坏，重复这个过程，直到综合评价指标达到一个满意的值为止。
问题四增加了隐蔽性要求，首先给出评价隐蔽性的指标，隐蔽性可用路线的随机性来评价，将它加入到问题三的模型中去进行求解。
问题五限制警车数量为10，要综合考虑D1、D2，先分配这10辆车使道路的覆盖率最高，然后按照问题三的步骤进行求解，其中每一步对D1的判断只需使道路的覆盖率尽量高即可。
问题六同问题三，只需将车速改为50km/h即可。
三模型的假设
1. 警车都在路上巡逻，巡警去处理案件的时间不考虑；
2. 所有事发现场都在道路上，案件在道路上任一点是等概率发生的；
3. 警车初始停靠点是随机的，但尽量让它们分散分布，一辆警车管辖一个分区；
4. 假定各个划分区域内，较短时间内，最多会发生一个案件；
5. 假设区域内的每条道路都是双行线，不考虑转弯对结果造成的影响；
6. 如果重点部位不在道路上的，假设这些重点部位在离它们最近的道路上；
7. 图中水域对巡逻方案没有影响。
四符号说明
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