第 57 卷第 6 期2020 年 12 月化 工 设 备 与 管 道PROCESS EQUIPMENT & PIPING
V ol. 57 No. 6Dec. 2020
赵骞，吕春磊，刘玉华
（兰州兰石重型装备股份有限公司 青岛设计部，山东 青岛 266520）
摘 要：我国现行分析设计标准采用第三强度理论，基于此前提，在压力容器设计过程中，采用极限载荷分析时会遇到一些问题。就设计计算过程中遇到的一些问题进行阐述，提出了实际建议。重点讨论了采用等效Mises 屈服极限方法的适用性。关键词：极限载荷；应力分析；屈服准则 中图分类号：TQ 050.2；TH 123 文献标识码：A 文章编号：1009-3281（2020）06-0011-004
收稿日期：2020-09-22
作者简介： 赵骞（1989—），男，工程师。主要从事压力容器的
设计及设备研发工作。
近年来，压力容器应力分析应用日益普遍化。GB/T 150—2011 [1]直接引入了局部结构应力分析和评定的相关要求，这一变化更促进了分析设计的应用。面对复杂的实际问题，以应力分类法为主导的分析设计往往被作为主要的设计方法。然而，应力分类法仍存在一些不确定的情况，这在相关的标准规范及研究成果中都有提及 [2-6]。作为应力分类法的代替，塑性分析方法越来越受到人们的重视。设计工作中常将极限载荷分析方法作为应力分类方法的一种很好的验证和补充。在ASME Ⅷ-2 [6]中明确提出“对于应力分类可能产生模糊、不明确结果的情况，推荐采用极限载荷或弹塑性分析方法”。王小敏 [2]等提出以极限载荷法与弹性性控制（解决问题）相结合的设计思路。该模式既保证了设计的安全经济，又兼顾了计算成本（时间和效率）。本文就实际工作中应用极限载荷分析时遇到的一些问题进行阐述和分析，重点讨论了采用等效Mises 屈服极限方法的适用性。
1 国内的现状及遇到的问题
我国的分析设计标准JB 4732—1995 [7]给出了“非弹性”相关的名词术语，包括“塑性分析”、“极限分析”、“极限载荷”等，并对上述名词进行了解释；JB 4732—1995中5.4条“塑性分析的运用”中指出“若给定载荷不超过结构塑性极限载荷的2/3，则在结构具体部位上不需要满足一次应力的限制要求”。以上内容为我国压力容器设计中极限载荷分析的应用提供了标准支撑。但标准中并未给出合格准则、评定方
sal法等细则 [4]。文献 [4]基于ASME 标准进行讨论分析，对极限载荷分析中涉及的几个重要概念及原理进行了梳理。陆明万等 [8-9]以ASME 为主线详细介绍了压力容器塑性分析的力学基础及塑性分析方法。但是在国内的设计工作中参照ASME Ⅷ-2中的相关内容进行极限载荷分析会不可避免地遇到一些问题，值得思考与探讨。
1.1 屈服准则及其对应的流动准则不同
我们知道，第四强度理论比第三强度理论更为符合试验结果 [10]；但从形式上，第三强度理论的表达式比第四强度理论更为简单。所以两种强度理论在工程中均被广泛采用。
ASME Ⅷ-2是采用第四强度理论（V on Mises 屈服条件），而我国分析标准JB 4732—1995采用的是第三强度理论（Tresca 屈服条件）。然而，计算程序判断屈服时，一般采用了V on Mises 屈服条件 [4，9]。这是因为V on Mises 屈服条件由一个屈服面函数即可完成判断，而Tresca 屈服面有棱边，需要识别6个屈服面函数。可以这样概括：JB 4732—1995中规定要校核基于第三强度理论的当量强度 [7]，而实际商用有限元软件进行极限载荷分析时，却是以第四强度理论的当量强度作为指标去判断材料屈服与否。
若仍然按照标准给定的屈服极限进行分析会出现两个现象：（1）计算得到的极限载荷偏大；（2）极
第 57 卷第 6 期
· 12 ·化 工 设 备 与 管 道限状态下的应力强度明显大于屈服值，造成直观上不合理。现象（1）在文献 [11]中有详细论述，这里不再赘述；现象（2）起因在于软件按照第四强度理论的当量强度判断屈服，而我们习惯性地显示了第三应力强度当量值，若此时显示第四强度理论当量值，就会观察到软件计算出的实际进入塑性区的部位。
最好的解决方法是对商用软件进行二次开发，直接采用Tresca 屈服条件。然而该方法涉及的理论较为复杂，且存在正确性验证的问题 [12]，不利于工程应用推广。
文献 [13]提出，将标准中给定的屈服应力乘以/32作为等效Mises 屈服极限。文献
[11]中对厚壁圆筒和平封头算例进行了验证，将标准中给定的屈服应力乘以/32作为等效Mises 屈服极限，进行极限载荷计算，求得厚壁圆筒和平封头的极限载荷，得出与塑性力学理论（基于第三强度理
论的极限载荷）一致的结果 [11]，说明将标准中给定的屈服应力乘以/32作为等效Mises 屈服极限计算结构的极限载荷是偏于保守并且可行的。1.2 不同元件的差异
然而，以上两个实例并不能得出一般性的结论，对于封头等一些特殊的元件，该方法往往会得出与公式计算不一致的结果。为解释这一问题，这里简单以中径公式计算内压柱壳和球壳的三向主应力，可以发现球壳的第一主应力等于第二主应力，第三主应力近
似为零，即σ1 = σ2，σ3 = 0（柱壳为σ1 = 2σ2，σ3 = 0） [14]。
将三向主应力的关系带入到强度理论的表达式，球壳的第三及第四强度理论当量可以表示为 [10]
3131r v v v v =-= （1）
41221322320.512220.5
1r v v v v v v v v v v =
-+-+-=
vhs录像机
+=^
^^h h h @
@ （2）对于柱壳有：
3131r v v v v =-= （3）
.
< 4122132232051205
1v v v v v v v v =
-+-+-=
=^
^h h h @
@ （4）通过式（1）~（4）可以看出，对于内压柱壳，其V on Mises 应力强度是Trecsa 应力强度的/
32倍，故而，需要在软件中人为降低屈服值，使得软件计算的V on Mises 应力值只达到材料的屈服强度乘以
/32，即可判断材料进入屈服。相当于根据Trecsa 应力强度判断屈服，满足JB 4732—1995使用第三强度理论的要求。但对于内压球壳，其V on Mises 应力强度等于Trecsa 应力强度，不需要将材料的屈服强度乘以/32作为等效Mises 屈服极限。1.3 算例验证 [15]
笔者对一封头筒体模型进行了极限载荷分析，封头内径SR = 2 864 mm ，最小厚度δh = 135 mm ，筒体内径D
i
= 5 613 mm ，最小厚度δc = 250 mm 。材料为12Cr2Mo1，设计温度下屈服强度σs = 243 MPa ，弹性模量E = 1.86×105 MPa ，设计压力P = 13.55 MPa ，不考虑腐蚀裕量。采用轴对称模型进行分析，选择二阶单元进行网格划分。模型过渡及网格如图1所示。
图1 几何模型及网格
Fig.1 Geometry model and mesh
采用理想弹塑性材料模型，等效Mises 屈服极限243×
/3
2= 210.44 MPa 。按照JB 4732—1995
中的概念“在极限载荷下，结构的变形将无限制地增大，从而失去承载能力”，可以确定上述结构在载荷达到19.4 MPa 后结构的变形开始无限增大，失去承载能力，该值即为结构的极限载荷。计算结束并绘制“载荷-位移”曲线如图2。此时，极限载荷的2/3为12.93 MPa ，小于设计压力13.55 MPa ，判定该结构不满足设计要求，需要增加筒体或者封头的厚度。
图2 封头筒体模型的载荷-位移曲线（1）
Fig.2 Load-displacement curve of head and shell structure (1)
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dppb
赵骞，等. 极限载荷分析方法的实践与讨论
通过查看封头筒体结构极限状态下的Stress Intensity应力云图（图3）可以发现，该模型封头部位的Stress Intensity值明显低于筒体。如果只看该结果就会很疑惑：结构并没有出现不能继续承载的截面，但变形却将无限制地增大。裕量，较筒体裕量更大。
综合式（5）及式（6）的计算结果，可以这样总结：极限载荷计算结果中封头部位的承载能力被低估了。等效Mises屈服强度对封头而言显得过度保守
。
图4封头筒体结构的Mises应力分布
Fig.4 V on Mises stress distribution of head and shell
isight图3封头筒体结构的Stress Intensity应力分布
Fig.3 Stress Intensity distribution of head and shell
查看封头筒体结构极限状态下的V on Mises应
力云图（图4）可以发现，该模型封头首先大面积达
到或接近屈服值。相比于Stress Intensity应力结果，
V on Mises应力结果更为直观地展示了结构极限状态
下的失效部位。但此时的应力只到了210 MPa附近。
说明封头的承载能力被低估了。
根据JB 4732—1995[7]中式7-1及式7-4分别核
算筒体和球壳的厚度：
21.
.244.99mm
KS P
PD
21621355
13555613
c
m
i#
d
##
=
-
=
-
=
（5）
.
.
21620.25.
0.
KS P
PR
025
05
1355
286412233
c
m
i
d
##
##
=
-
=
-
=
（6）
显然，给定的封头与筒体厚度均满足标准要求，
这与极限载荷计算结果不符。且封头壁厚有12
mm
图5封头筒体模型的载荷-位移曲线（2）
Fig.5 Load-displacement curve of head and shell structure (2)
现将之前的模型中仅封头部位的屈服极限改
为实际屈服值243 MPa，筒体材料仍按等效Mises
屈服值210.44 MPa，其余条件不变，重新计算后
可以得出新的载荷-位移曲线如图5，极限载荷为
20.75 MPa。极限载荷的2/3为13.83 MPa，大于设计
压力13.55 MPa，满足强度要求。此时Stress Intensity
应力云图（图6）上可以看出筒体部位大面积区域应
力超过或达到屈服值，而封头仍可继续承载，这与封
头裕量大于筒体裕量的实际情况相符
。
图6封头筒体模型的Stress Intensity应力分布
Fig.6 Stress Intensity distribution of head and shell structure
拓展为更一般的情况，文献[16]详细证明了“在
一般条件下，第三强度理论与第四强度理论值之比
在（1，/23）范围内，只要中间主应力与最大或最
小主应力相等，则第三强度理论值与第四强度理论值
完全相同[16]”。同一结构计算的第三应力强度总是大
于第四应力强度，最大差别为/23，将标准中给定
的屈服应力乘以/32作为等效Mises屈服极限的做
第 57 卷第 6 期· 14 ·化 工 设 备 与 管 道
法是安全的，但对某些元件可能不经济。
2极限载荷分析中遇到的其他问题
笔者在极限载荷计算中还遇到一些其他问题
（1）对于不锈钢材料，部分温度下的许用应力放大到了对应屈服值的0.9倍，相当于降低了不锈钢材料对应于设计温度下屈服强度（R t p0.2）的安全系数。在进行极限载荷分析时，若按照实际屈服强度，并要求设计载荷不得大于极限载荷的2/3（相当于1.5的安全系数），几乎是不可能达到的，并不合理。故而，参照ASME中的要求，理想弹塑性材料模型中的屈服限取为1.5 S m（S m为设计温度下的许用应力）更为合适（《压力容器分析设计》征求意见稿中也同样要求），同时兼顾了一些屈服极限较高的高强材料[8]。
（2）极限载荷的确定。工程上对于极限载荷的确定通常有两倍斜率法、双切线法以及零曲率法三种。文献[2]对上述三种方法应用便利性及优缺点进行了叙述。JB 4732—1995附录B.5.4.2给出了实验确定极限载荷时的数据处理方法，与两倍斜率法一致。同时4.16从概念上定义：对应于结构的变形无限增大，从而失去承载能力状态的载荷为极限载荷[7]。现在，更多被推荐和采用[2-6，8]的是按照定义判定，即“对于小的载荷增量不能求得平衡解[8]”。对结构进行校核时可以采用“载荷与抗力系数设计（LRFD）”，不用求出准确的极限载荷，只需要载荷达到规定值时计算可以收敛[6]。
（3）实际结构载荷形式会更复杂，除了内压载荷外，还会考虑到附件的载荷等。复杂的载荷形式对极限状态塑性失效的形式复杂化，这为结果的判定增加了困难。建议具体模型可以先加载部分简单的载荷进行分析，逐步扩展到全部载荷。
（4）标准中，同种材料的板材和锻件存在许用应力不一致，甚至不同规格的板材和锻件对应着不同的许用应力，这导致实际模型中可能存在材料性能跳档问题。遇到此种情况时，需要提前处理好模型，不同区域设定不同的材料属性。
除了上述问题，实际操作中可能还会有一些不利因素，导致极限载荷分析失败，例如：最初弹性分析时采用的模型对不重要的区域网格控制不佳，可能影响极限分析结果；原模型裕量本来就很小，极限载荷分析时载荷系数非常接近1.5，计算收敛耗费时间较长；实际设备需要考虑多重工况的组合，需要求得多组极限载荷等。
3结束语
文中对按照现行JB 4732—1995进行极限载荷分析可能遇到的一些问题进行了阐述，归纳并得出以下结论。
（1）JB 4732—1995对进行极限载荷分析给出了规范性的支撑，但缺少实际操作中详细控制点。
（2）极限载荷分析时可以将标准中给定的屈服应力乘以/32作为Mises屈服极限，结果偏保守。
（3）缘于强度理论的差异，基于第三强度理论设计的球形封头比筒体有更好的经济性。
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Keywords: limit load; stress analysis; yielding criterion
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