刘文;李锐;张晋红;林腾蛟;杨云
【摘 要】针对势能法计算斜齿轮时变啮合刚度精度不足问题,提出一种刚度修正算法.考虑端面重合度大于或小于轴向重合度两种情况下单齿接触线长度的不同表达形式,建立齿根圆与基圆不重合时的变截面悬臂梁模型,采用切片法和积分思想推导并计算了斜齿轮啮合刚度,通过与ISO算法和有限元法对比分析,验证了该修正算法的可行性.在此基础上,探讨了螺旋角、模数、齿数、齿宽和压力角等参数对啮合刚度的影响.计算与分析表明,啮入段的相对时间与端面重合度和轴向重合度大小及比重有关;齿轮基本参数的变化引起重合度和单齿啮合刚度的改变,进而影响综合啮合刚度波动值和均值;当端面重合度或轴向重合度在整数附近时,啮合刚度波动值较小,而总重合度在整数附近时,啮合刚度波动值较大.与传统势能法相比,修正算法提高了斜齿轮时变啮合刚度的计算精度,在斜齿轮刚度激励的准确计算方面具有较强的实用性.%Due to the inaccuracy of potential energy method in calculation of time-varying mesh stiff-ness of helical gears,a stiffness correction algorithm was proposed.Considering the different expressions for the length of contact lines of single tooth on two kinds of situations in which the transverse contact ra-tio is greater or less than the overlap ratio,a non-uniform cantilever beam model was established when root circle and base circle misaligned,and then the mesh stiffness of helical gears was derived and calculated by using slice-integral method.By comparing with ISO standard and finite element method,the feasibility of the proposed correction algorithm was verified.Meanwhile,a parametric study was conducted to investi-gate the effects of various parameters,such as helix angle,normal module,tooth number,face width and normal pressure angle on the behavior of mesh stiffness.The calculation and analysis indicate that the rela-tive time of the engaging-in section is related to the proportion values of transverse contact ratio and over-lap ratio.Variation of gear parameters affects the fluctuation value of total mesh stiffness and average mesh stiffness by changing the contact ratios and single mesh stiffness.In addition,the fluctuation is little when the transverse contact ratio or overlap ratio is close to an integer,while it fluctuates more intensively when the total contact ratio is close to an integer.Compared with the traditional potential energy method, the precision of correction algorithm in calculating time-varying mesh stiffness of helical gear
s is obviously improved.It has relatively better practicability in the accurate calculation of stiffness excitation of helical gears.
【期刊名称】《湖南大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(045)002
【总页数】10页(P1-10)
【关键词】势能法;斜齿轮;时变啮合刚度;重合度
【作 者】刘文;李锐;张晋红;林腾蛟;杨云
【作者单位】重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆 400044;重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆 400044;重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆 400044;重庆京东方光电科技有限公司,重庆 400714;重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆 400044;重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆 400044
【正文语种】中 文
【中图分类】TH132.41
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齿轮传动是机械系统中应用最广泛的运动和动力传递形式,对系统的动态特性有很大的影响.随着对机械系统性能要求的提高,齿轮传动正朝着大功率、高转速、低噪声的方向发展,而啮合刚度的时变特性是齿轮系统产生振动噪声的主要源头,它的准确计算是齿轮系统动力学分析的重要基础[1].
在齿轮系统的啮合刚度方面,国内外学者进行了许多研究. 齿轮啮合刚度由轮齿的弹性变形求得,其计算主要有材料力学法、弹性力学法、石川公式法和有限元法等. 根据研究对象不同,又分为直齿轮和斜齿轮. 对于直齿轮,文献[2-4]运用势能法对直齿轮时变啮合刚度进行了计算,并分析了齿根裂纹对啮合刚度的影响;文献[5]基于有限元法分析了两种算法对直齿轮啮合刚度的影响;文献[6]提出一种基于石川公式的直齿轮啮合刚度改进算法;文献[7]基于有限元法和弹性接触理论提出了一种线性规划法计算啮合刚度的方法,并分析了齿轮结构参数和基本参数对啮合刚度的影响;文献[8-9]基于势能法将齿根简化为圆弧和直线,推导并计算了直齿轮啮合刚度,提高了其计算精度.
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对于斜齿轮,文献[10]提出了求解理想圆柱齿轮和斜齿轮时变啮合刚度的近似方程;文献[11]
建立斜齿轮参数化数值模型并运用有限元法计算其时变啮合刚度;文献[12]将有限元法和弹性接触理论相结合来计算斜齿轮的啮合刚度;文献[13]提出了考虑安装误差时斜齿轮啮合刚度的有限元计算方法;文献[14]基于有限元法分析了不同齿轮参数对斜齿轮啮合刚度的影响规律;文献[15]运用累积积分势能法推导了斜齿轮的时变刚度,并分析了模数、齿数和齿宽的影响;文献[16]运用累积积分势能法研究了齿面剥落和局部破损对斜齿轮时变啮合强度的影响;文献[17-18]通过计算齿轮时变啮合刚度,并结合其他参数,预估了齿轮系统的振动特性和辐射噪声.
以上文献取得了大量研究成果,但对于斜齿轮啮合刚度的求解,ISO标准只能计算平均啮合刚度或齿轮单齿啮合刚度的最大值,有限元法计算量较大且结构参数改变需花费大量时间重新建模,石川公式难以考虑精确渐开线齿廓. 势能法不仅可以考虑精确渐开线齿廓而且能够快速、准确求得斜齿轮的时变啮合刚度,目前基于势能法求解斜齿轮的啮合刚度虽有少量研究[15-16],但其忽略了齿根圆与基圆不重合的问题,导致计算结果存在较大误差,同时对斜齿轮啮合刚度的影响因素研究较少.
本文在文献[3-4,8-9,15-16]研究成果的基础上,以斜齿轮副为研究对象,运用切片法和积分思
想,提出了一种考虑齿根圆与基圆不重合时斜齿轮啮合刚度的修正算法,进一步提高了计算精度,使斜齿轮的时变啮合刚度求解更加准确. 此外,分析探讨了螺旋角、模数、齿数、齿宽、压力角的变化对斜齿轮啮合刚度的影响以及啮合刚度波动值与重合度之间的关系,为齿轮系统减振降噪设计提供了一定的理论基础.
1 斜齿轮时变啮合刚度计算原理
对于直齿轮来说,在不考虑重合度的情况下,每个轮齿可看作是一个变截面的悬臂梁,在齿面载荷的作用下发生变形. 如图1所示为直齿轮轮齿变截面悬臂梁模型.
齿轮的时变啮合刚度包括5个部分:赫兹接触刚度kh、弯曲刚度kb、剪切刚度ks、轴向压缩刚度ka和基体刚度kf,齿轮副的啮合刚度为各部分刚度的并联形式. 对于直齿轮,各部分刚度可表示为[2-4]:
(1)
(2)
图1 直齿轮轮齿变截面悬臂梁模型Fig.1 Cantilever beam model of spur gear tooth
(3)
(4)
(5)
式中：Uh、Ub、Us和Ua分别为储存在轮齿中的赫兹接触能量、弯曲能量、剪切能量和轴向压缩能量；F为啮合线方向的啮合力；E、G和ν分别为弹性模量、剪切模量和泊松比；B为齿宽,Ix为轮齿距离基圆x处截面的惯性距；Ax为横截面面积；d为啮合点和基圆在齿高方向的距离；h为啮合点和齿轮中心线的距离,α1为啮合力F与齿轮中心线垂直方向的夹角.
由齿轮轮体变形引起的啮合线上的等效刚度即基体刚度,其表达式如式(5)所示. 式中uf和Sf如图2所示,uf和Sf可表示为[3]:
uf=rb[(α1+α2)sinα1+cosα1]-rf
Sf=2rfθf
式(5)中系数L*,M*,P*,Q*由多项式近似为[19]:
(6)
式(6)中：Xi*代表系数L*,M*,P*和Q*;hfi=rf /rint;rf，rint与θf如图2所示;Ai、Bi、Ci、Di、Ei和Fi的值列于表1中.
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图2 齿轮轮体变形几何参数Fig.2 Geometrical parameters for gear rim deformation表1 式(6)中的系数值Tab.1 Values of the coefficients for Eq.(6)甲壳胺
L*(hfi,θf)M*(hfi,θf)P*(hfi,θf)Q*(hfi,θf)Ai-5.574E-560.111E-5-50.952E-5-6.2042E-5Bi-1.9986E-328.100E-3185.50E-39.0889E-3Ci-2.3015E-4-83.431E-40.0538E-4-4.0964E-4Di4.7702E-3-9.9256E-353.300E-37.8297E-3Ei0.02710.16240.2895-0.1472Fi6.80450.90860.92360.6904
综上所述,将各部分刚度按并联方式组合即可得到一对齿轮副的啮合刚度,表示为:
(7)
中华情2012式中：下标1和2分别指主动轮和被动轮.电视剧金凤花开
斜齿轮由于存在螺旋角,其啮合刚度计算与直齿轮有区别,但可以利用切片法和积分的思想,将其沿齿宽方向切分成若干片很薄的轮齿,每一部分可认为是直齿轮,通过计算各部分的啮合刚度,最后积分即可得到斜齿轮的啮合刚度. 斜齿轮的悬臂梁模型如图3所示.
图3 斜齿轮悬臂梁模型Fig.3 Cantilever beam model of helical gear tooth
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