6.1、图a 所示两梁，弯曲刚度EI 均为常数。 (i) 画梁的剪力与弯矩图； (ii) 画挠曲轴的大致形状； (iii) 写出梁AB 、BC 、CD 三梁段的位移边界条件与连续条件（不必列挠曲轴近似微分方程）。 黄业斌
解： 梁的剪力图见图b ，弯矩图见图c ，挠曲轴大致形状见图d 。
设)()()(321x W x W x W 和、分别表示AB 、BC 、CD 三梁段的挠曲轴曲线。 对于梁（a ），相应有
1(0)0W =，'1(0)0W = 在A 点 （1）
()b
s
F ()
c
'凹曲线()
a Fa
)()(21a W a W = 在B 点 （2）
2(2)0W a =，3(2)0W a =，''23(2)(2)W a W a = 在C 点 （3）
梁在自由端D 无位移边界条件。
相关讨论：
1、 在运用梁的挠曲轴近似方程EI
x M x W )
()(''=
求挠曲轴曲线)(x W 时，一般需根据约束情况、载荷性质与截面性质（是否有突变）分段求解，每段需两个位移边界和连续条件。本题梁分三段，故需6个位移边界与连续条件。 2、 常见的位移边界与连续条件为：
（1）铰支端，挠度为零；（2）固定端，挠度为零，转角为零，如图a 的A 端；（3）梁中载荷性质突变处，左右梁挠度与转角连续；（4）梁中间支承，左梁段与右梁段挠度为零，左右梁段转角连续， 如图a 的C 点；（5）梁中铰，左右两梁段挠度连续，如图a 的B 点；（6）自由端，无位移边界条件，如D 点。
3、 挠曲轴大致形状的绘制
（1） 满足位移约束条件。对于梁a ，满足A 端挠度和转角为零，C 处
挠度为零，B 处挠度连续但不限制转角连续。
（2） 由弯矩图确定挠度曲轴的凹、凸、拐点与直线区。图a 的AB 段
为正弯矩，挠曲轴为凹曲线。图a 的BCD 段为负弯矩，挠曲轴为凸曲线。梁a 的B 处不是拐点，梁间铰处挠曲线的转角不连续（曲线在此处不光滑，形成一个角点）。
6.2、图a 、b 所示两梁长l ，弯曲刚度EI ，两梁中点作用外力偶0M ，梁b 的B 端弹簧常数为k 。试用积分法确定梁的挠曲轴方程。
()
a
解： 解法一：
1、
梁的挠曲轴近似微分方程和通解 两梁的弯矩图均如图c 所示。对图a 、b 和c 所选定的坐标系，两梁的弯矩方程为：
()
c
()
e
1()
d ()
f
()
g 0M kl
深二度烧伤=
()
b
AC 段 x l M x M 01)(=流氓是怎样炼成的
20l
x ≤≤ （1） CB 段 )()(02x l l M x M −=
l x l
≤<2
（2） 两梁的挠曲轴近似微分方程及其积分形式均为
AC 段 x EIl M w 0'
'1=
20l
x ≤≤ （3） 12012'C x EIl M w +=
20l
x ≤≤ （4） 113016D x C x EIl M w ++=
20l
x ≤≤ （5） CB 段 )(0'
'2l x EIl M w −=
l x l
≤<2
（6） 2201)2(2'C lx x EIl M w +−=
l x l
≤<2
（7） 222301)3(6D x C lx x EIl M w ++−=
l x l
≤<2
（8） 2、 由位移边界与内部连续条件确定积分常数
先考虑梁a ，它在A 、B 两端点挠度为零，在C 点挠度与转角连续。由它们可确定4个积分常数：
0)0(1=w ，0)(2=l w ，)2()2(21l w l w =，)2
()2(2'1'l
w l w = （9）
信箱英文将方程（4）、（5）、（7）、和（8）分别代入上述条件，求得
EI l M C 2401−=，01=D ，EI l
M C 241102=，EI
l M D 8202−= （10）
将（10）式代入（5）和（8）得梁a 的挠曲轴方程
)4(242201l x EIl x M w −=
20l
x ≤≤ （11） )311124(24322302l x l lx x EIl M w −+−=
l x l
≤<2
（12） 再考虑梁b ，它与梁a 的区别是端点B 的支承条件换为弹性支承。式（9）
的第二个条件0)(2=l w 换为
kl沥青路面再生技术
M k F l w B
02)(−==
式中B F 是端点B 的支反力。除此之外，方程（1）~（9）对梁b 完全适用，按相同的方式，解得
2
0124kl M EI l M C −
−
=，01=D 20
022411kl M EI l M C −=，EI
l M D 8202−
= （13） 梁b 的挠曲轴近似微分方程为
x kl
M EI l M EIl x M w 24(6200301+−= 20l
x ≤≤ （14）
EI l M x kl M EI l M lx x EIl M w 8)2411(
)3(602002302−−+−=
l x l
≤<2
（15） 解法二：
对于梁a 的AC 和BC 梁段分别以端点出发取坐标1x 和2x ，得两梁段的挠曲轴近似微分方程及其积分为：
AC 段 10
'
'1x EIl
M w =
（16） 12
1012'C x EIl
M w +=
（17） 11131016D x C x EIl M w ++=
2
01l
x <≤ （18） CB 段 20
'
'2x EIl
M w −
= （19） 22
2022'C x EIl
M w +−
伤花怒放= （20） 22232026D x C x EIl M w ++−
= 2
02l
x <≤ （21） 由边界条件
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