吴艳果;曹鸿钧;李婧
【摘 要】The nonlinear dynamic mechanism of Rulkov neuron model for tapered bursting, square bursting andspiking is discussed, especially the mechanism of tapered bursting. The key to tapered bursting is the saddle-nodebifurcation and the flip bifurcation, and it belongs to the fold/flip type bursting. The duration of the tapered burstingincreases as a increases. The parameter ranges of the single neuron corresponding is also given to different burstingpatterns.%讨论了Rulkov神经元产生锥形簇放电、方形簇放电及峰放电的非线性动力学特征,尤其是锥形簇放电的放电规律和动力学特征.指出产生锥形簇放电的关键在于鞍结点分岔和flip分岔,属于fold/flip型簇放电；而锥形簇放电的持续距离随着控制参数的增加而增大.首次给出了单个神经元产生各种簇放电的参数取值范围. 【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2011(011)029
【总页数】5页(P7043-7047)
【关键词】Rulkov神经元;簇放电;非线性动力系统;分岔条件四川职业技术学院学报
【作 者】吴艳果;曹鸿钧;李婧
【作者单位】南阳师范学院数学与统计学院,南阳47301;北京交通大学理学院,北京100044;南阳师范学院数学与统计学院,南阳47301
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.14
作为对传统的基于微分方程的Hodgkin-Huxley［1］的神经元模型的简化，近十年来，基于映射的混沌Rulkov［2，3］神经元模型在神经科学的研究中得到了广泛的应用。
用快、慢分解技术［4］和分岔混沌理论，Rulkov［2］，De Vries［5］详细地讨论了神经元产生方形簇放电的机理在于双稳定性和零划线。Ibarz、Tanaka 等［6，7］讨论了两个离散的混杂系统的神经元簇放电的机理。曹鸿钧［8］讨论了椭圆形簇放电的机理及离散混
杂神经元网络的各种类型。但是对于神经元簇放电的各种类型，尤其是对于锥形簇放电的放电模式及分岔条件等在现有的文献中并没有给出全面的分析。而对于簇放电的持续距离随参数的变化也没人讨论。
本文在前人的基础上，详细分析了单个Rulkov神经元可能存在的各种簇放电，并对产生各种簇放电的分岔条件和分岔机理进行了详细的讨论。
1 模型分析
本文首先考虑Rulkov在文献［2，3］中提出的混沌神经元模型:
式(1)中均为参数，0＜η＜＜1，x(n)代表神经元膜电位势能，α和σ做为控制参数决定系统是处于静止状态、峰放电状态或簇放电状态。由于η的值很小，yn变化非常小。因此可以把yn作为分岔参数，用快慢系统分解来讨论系统的各个性质，从而可以用快子系统:
的性质来研究全系统的性质。
快变量子系统表现系统可能出现的快速振荡和稳定态行为。同样的把xn作为分岔参数，也 可以得到系统的慢变量子系统。慢变量子系统表现为控制快变量子系统的开关。由快慢变量子系统的共同作用构成模型可能出现的各种混沌脉冲振荡行为。
2 分岔分析
记
由方程(3)可得系统(1)的不动点方程为
且由式(3)可得
当 |R'(x)|＜1时，系统的不动点为稳定不动点，当|R'(x)|＞1时，系统的不动点为不稳定不动点。下面我们可以由不动点的不同类型来讨论系统的各种分岔。
2.1 鞍结点分岔
由分岔性质可知［9］，系统(3)存在鞍结点分岔的充分条件是存在参数γ0和x0使得
由式(3)可知任意的x，都有=1故使式(7)成立的所有x都可以使式(8)成立有两个零点，而这站用变压器
两个零点均不满足，因此只要使式(7)成立的x0都可以使式(8)和式(9)成立。因此只要求得满足式(7)的 x0，代入式(6)可求得 γ0，由此得到的(x0，γ0)都可以使上述四个式子成立，即为所求的鞍结点分岔点。下面我们出使式(6)和式(7)同时有解的参数取值范围，此范围即为鞍结点分岔存在的范围。
由，可知当 x＜0 时，而当
当)单调递增且其值一直小于0;当单调递减;当单调递增且其值一直大于0;
故当1，即
时，鞍结点分岔存在。
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联立式(6)式和式(7)消去x可得鞍结点分岔的方程为:
2.2 Flip 分岔
由分岔性质可知［9］，系统(3)存在Flip分岔的充分条件是存在参数γ0和x0使得
由前一节分析可知，满足式(13)的(x0，γ0)即为所求的flip分岔点。当时，R'(x)取得最小
时flip分岔存在。联立式(12)和式(13)可得flip分岔曲线:
2.3 外临界分岔
当x＜0 时0，而当 x＞0时，故当x＜0时，R(x)单调递增，当x＞0时，R(x)单调递减。因此当x=0时，R(x)取得最大值，而当x取最大值R(0)=α+γ时，若快变量xn能从激发态回到静息态，则首先要满足条件R(x)可以把最大值迭代到不动点曲线上。即:
联立式(18)和式(19)消去γ得
下面讨论此方程有解的范围，由式(20)可得有唯一解?是连续函数，故 F(x，，由介值定理，当Fmin≤0时，方程的解存在，所以当
时，外临界分岔存在。联立式(18)和式(19)消去x得外临界分岔曲线:
由以上分析可得下面性质1:
性质1，系统存在鞍结点分岔和flip分岔;，系统同时鞍结点分岔、外临界分岔和flip分岔;，鞍结点分岔与外临界分岔相等。
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邮件发原理3 不同簇放电分岔条件
图1(a)当α=2.4，α=3.9，α=4.15，α=4.7时全系统(1)的波形图;(b)快子系统式(3)的分岔曲线图，其它参数σ=－1，η=0.000 1。
当α=2.4时，快变量只有静息态而没有活动状态。当α=3.9时，系统产生锥形簇放电，当α=4.15时系统产生方形的簇放电，而当α=4.7时系统由簇放电转变为峰放电的状态。图1(b)给出系统的分岔曲线图，其中γEC表示外临界分岔，γSN表示鞍结点分岔，γFP表示flip分岔。当，外临界分岔与鞍结点分岔相等，此时簇放电消失，因此在图1(a)中当α=4.7时产生峰放电的状态。
图1 波形与分岔曲线图
图2 不动点分岔路曲线图
下面就与xn有关的分岔来讨论快变量产生不同簇放电的分岔条件，快变子系统(3)就其平衡点的不同分岔参数形成图2的S形不动点曲线。把全系统(1)的快变量的运动轨迹叠加到其不动点曲线上，可得下图:
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其它参数 σ = －1，η =0.000 1，γSN1和 γSN2为鞍结点分岔，γFP1和 γFP2为 flip 分岔，γEC为外临界分岔。
3.1 锥形簇放电
当，系统没有外临界分岔;由式(11)和式(17)联立可得当右侧的鞍结点分岔和左侧的flip分岔相交时α＜2.58时，γSN1＜γSN2＜γFP1＜γFP2，此时当 yn增加至γSN2的右侧时，xn增加至不动点曲线的上支附近，沿不动点曲线上支的稳定部分移动，但由于γSN2＜γFP1故xn不会进入 γFP1和 γFP2之间的混沌振荡区，因此不会产生簇放电。xn在左侧的鞍结点分岔处回落至不动点曲线的下支附近，在两个鞍结点分岔之间形成如图1(a)所示周期的放电，而不会产生活动状态。反之当α＞2.58时，γSN1＜γFP1＜γSN2＜γFP2。系统的分岔曲线图如图2(a)所示，在静息状态时，快变量的迭代值在S曲线的下支的稳定部分，且在直线x=σ下方，因此yn缓慢增加，当yn＞γSN2时，系统进入活动状态，xn在两个flip分岔之间进入混沌震荡区。迭代值的平均值在x=σ之上，yn开始缓慢减小，由于没有外临界分岔，系统在最大值和最小值之间振荡，并随着yn的减小迭代的振幅开始减小，至左边的flip分岔γFP1处，迭代值的最大值和最小值相交，振幅减为0，形成锥形簇放电，在左鞍结点处γS
N1回到不动点曲线的下部稳定分支，重回静息态。因此当2.58＜α＜4时在右侧的鞍结点分岔和左侧的flip分岔之间形成了锥形簇放电的激发态，按照Izhikevich对簇放电类型的划分此种簇放电又称为 fold-flip型簇放电［10］。而锥形簇放电的持续距离由右侧的鞍结点分岔和左侧的鞍结点分岔之间的距离决定。在图3(a)中给出当α变化时锥形簇放电的持续距离的变化。从图3中可以看出当α不断变化时，锥形簇放电的持续距离随着α的不断增大而增加。由以上的分析可以得到如下的性质:
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