扩散⽅程的数值解法
扩散⽅程的数值解法
其中表⽰为源项，假设源项可表⽰为温度的线性函数，即 对⽅程式两边同乘 ，并对控制体 积分，可得 最终可将其简化为：
式即为⼀维稳态导热问题的最终离散形式，这时的问题关键在于表⽰控制体上的导热系数，确定界⾯上的导热系数，⽅法包括算术平均(arithmetic mean) 和调和平均( harmonic mean)两种，经验证，调和平均法更接近物理事实。
⼀维⾮稳态导热的离散
⼀维⾮稳态导热问题的数学描述为：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 15: \rho c \frac{\p a r t T }{\part \tau} …
对控制体在其进⾏积分，
对于积分部分的离散，引⼊加权因⼦，将温度在时间段上的积分表⽰为： [λA (x )]+A (x )1dx d dx dT
S =0
(1)
S S =S +C S T P P (1)A (x )P T (+P (δx )e λA e e −(δx )w λA w w S A Δx )=P P T ()+W (δx )w λA w w T ()+E (δx )e λA e e
S A Δx
C P (2)
a T =P P a T +W W a T +E E
b (3)
(3)λ,λw e [τ,τ+Δτ](ρc )A Δx (T −P P P
τ+Δτ
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T )=P τ
[−∫τ
τ+Δτ
网络数据库(δx )e λA (T −T )e e E P ]dτ
(δx )w λA (T −T )
w w P W +(S +∫ττ+Δτ
C S T )A Δxdτ
节电技术P P P (5)
f ΔτTdτ=∫τ
τ+Δτ
[fT −(1−f )T ]Δτ
式的积分式可表⽰为：
进⼀步简化为：
其中，
通过改变加权因⼦ 的值，0，1，0.5可以分别得到显式(explicit)，隐式(implicit)，Crank-Nicolson格式。
多维导热问题
在直⾓坐标系下，⼆维⾮稳态导热问题的数学描述为：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 14: \rho c\frac{\p a r t T }{\part t} = \… 分别对控制⽅程的各项进⾏积分离散，
(5)(ρc )(T −P ΔτA Δx
P P T )=P 0
f [−(δx )e λA (T −T )e e E P ]
(δx )w λA (T −T )w w P W +(1−f )[−(δx )e λA (T −T )e e E 0
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P 0
](δx )w λA (T −T )
w w P 0
W 0
+[f (S +C S T )−P P (1−f )(S +C S T )]A Δx
P P 0
P (6)
a T =P P a [fT +E E (1−f )T ]+E 0a [fT +W W (1−f )T ]
W 0
+T [a −P 0P 0
(1−f )a +W (1−f )S A Δx ]+P P S A Δx
C P (7)
a =P fa +E fa +W a −P 0
fS A Δx
P P (7.1)
a =P
0Δx
(ρc )A Δx P P (7.2)
a =E (δx )e
λA e e (7.3)
a =W
(δx )w
λA w w (7.4)
f
对于⾮稳态项，对控制体P积分后离散可得：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 61: …e \rho c \frac{\p a r t T }{\part t}dx d… 对于扩散项，对控制体P积分后离散可得：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 54: …int_w ^e \frac{\p a r t }{\part x}(\lam… 对于源项，对控制体P积分后离散可得：
对于上式，可以整理成以下形式：
其中，
式 即为⼆维直⾓系导热问题的离散⽅程，界⾯上的导热系数可通过上述的调和平均法( harmonic mean )求得。
源项处理
上式中的源项包括所有不能代表控制⽅程⾥⾮稳态项，对流项，扩散项的项。对于源项的处理⼗分重要，上述案例中通过将源项局部线性化，即，相⽐较与将源项看为常数的⽅法，且每次$S $ 都能随着 变化更新值，因此局部线性化更能保证源项更接近物理事实。
此外，若需要保证代数⽅程的求解不收敛，需要保证边界处理
对于第⼆类和第三类边界条件上的处理⽅法主要有两种，附加源项( additional source term method )和补充边界结点代数⽅程的⽅法，经过实验验证，附加源项法相⽐于补充结点法，更能明确的表现物理意义，且实施⽅法简单。因此以下主要介绍附加源项法的实施过程。 附加源项法，简⽽⾔之是将第⼆类和第三类边界条件所规定的热量条件，转化为同控制容积中的源项具有同等地位的附加源项。 假设结点P在x⽅向上的前⼀个结点W，正好是外边界 此时，对上述多维⾮稳态的离散⽅程 进⾏变化，消去不可知的温度，可得：
由Fourier定律，将转化为热流量Sdxdydt =∫t
t +Δt
∫x n
∫w e
(S +C S T )Δx Δy Δt
P P (8.3)
a T =P P a T +E E a T +W W a T +N N a T +S S
b (9)
a =P a +W a +E a +N a +S a −P 0
S Δx Δy
P (9.1)
a =W
,a =(δx )w Δyλw E ,a =(δx )e Δyλe N ,a =(δy )n Δxλn S (δx )s
Δxλs (9.2)
a =P
0Δt
(ρc )Δx Δy P (9.3)
龙舟梦b =S Δx Δy +C a T P 0P
(9.4)
(9) −(9.4)S =S +C S T P P T P S <P 0
(9)T W (a −P a )T =W P a T +E E a T +N N a T +S S a (T −W P T )+W b (10)
(T −P T )W q Δy
B
因此，对于第⼆类边界条件来说， 是已知量，最终可将离散⽅程转化为：
⽽关于第三类边界条件，需要联⽴对于 界⾯上的Fourier定律$ q_B = \lambda_B (T_W - T_P)/(\delta
x)_w $ 也即是说，外边界温度 和最外层的结点温度 之间的热阻包括原先假想的结点边界处的导热热阻加上外⾯的对流热阻，$1/h +(\delta x)_w/\lambda_B $ 最终对于 式，化简可得：
对于附加源项法的具体实施步骤：
1. 计算边界上的附加源项 ，并将其分别带⼊原有的 中
2. 令边界上的导热系数 ，使
3. 对内结点建⽴离散⽅程组，求解代数⽅程组
4. 获得收敛后的解后，按照Fourier 定律或Newton冷却定律解出边界层上的温度Reference:
Patankar S. Numerical heat transfer and fluid flow[M]. Taylor & Francis, 2018.
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q B a T =P ∗P
a T +E E a T +N N a T +S S (S +C )Δx Δy
Δx Δy q Δy
B =a T +E E a T +N N a T +S S (S +
C S )Δx Δy
C ,ad (10.1)
q =B (T −f T )h W w T f T P w (10)(a +P ∗
)T =1/h +(δx )/λw B A
P (a ∗+S )
C ,ad =a T +E E a T +N N a T +S S {S +C }ΔV
ΔV [1/h +(δx )/λ]w B AT f
=a T +E E a T +N N a T +S S (S +C S )ΔV
P ,ad (10.2)
S ,S C ,ad P ,ad S ,S C P λ=B 0a =W ∗
0T f
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