1. 什么是散度？
连杆机构2. 散度在图像处理中有何应用
1. 什么是散度
襄樊电影1.1 散度的定义
散度是作用在向量场上的一个算子。
用三维空间来举例，向量场就是在空间每一点处都对应一个特殊的三维向量的向量函数：佳能650d召回
。比如海洋里，各点在单位时间单位体积中水的流量就是一个三维场，这个场也称为通量。
散度算子定义为：
。
它是一个标量函数(场)，也就是说，在定义空间中每一点的散度是一个值。
1.2 散度的物理意义
用水流来解释，散度的物理意义可以叙述为：
∙如果一点的散度大于0，那么在这一点有一个水龙头不断往外冒水（称为源点）
∙如果一点的散度小于0，那么在这一点有一个下水道，总有一些水只进不出（称为汇点）
∙如果一点的散度等于0，那么请放心，在这个点周围的小区域里，单位时间进来多少水就出去多少水。
1.3 数学推导
咱们来看看在一点的附近到底发生了什么。以这一点为中心，用一个边长分别为的平行于坐标轴的长方体盒子包围它，来详细分析长方体各表面水向外跑了多少。先看盒子在方向上的两个面：
第一个面是一个面积为的长方形，它的中心坐标是，这一点的通量是，用Taylor展开式可以近似为：
，又因为这一长方形的外法线方向是，因此这一面在单位时间向外的流量就是二者相乘再乘以面积，由于法线的特殊形式，y、z分量自动消失了：
同理，在x负半轴上的那个面单位时间向外的流量是：
魔鬼双面人
因此单位时间在x方向上的总的向外的流量是：
把三个坐标轴向外的流量加在一起，我们就得到了围绕点，体积为的长方体单位时间向外的流量是
。
从上面的推导立即可以得出结论：
∙在一个区域中，单位时间向外的总流量就是把每一个小区域向外的流量加起来(内部相互抵消，最终只有区域边界上的值得以展现)：
2012全国百强县
∙平均到一个点上，单位时间向外流量的密度就是
∙
∙一个区域无论多复杂，只要不包含源点和汇点，其上散度的积分一定为0
假设在空间中有一个浓度场，则在每一点都有一个浓度上升最快的方向，我们称其为梯度，它是一个向量场。浓度差带来的后果就是空间物质会发生运动，从高浓度向低浓度运动，其结果就是浓度中和,趋向平衡。这种运动可以用一个偏微分方程描述： 武警学院这个方程被形象地称为扩散方程，来源于物理上的连续性方程。等式右边一定是负散度，因为若一个点散度为正，说明它浓度大，扩散应该减少它的值，然而因为浓度对应的运动场是梯度的负值（高浓度向低浓度流动），因此恰好内外两个负号抵消了，最终右端就出现了貌似不科学的正散度结果，不要被迷惑住。散度算子内部的量可以是标量，也可以是矩阵，用于调节浓度差与扩散方向之间的关系。
为了更加直观地理解，咱先略去多余因子，这样方程就变成了：
等式右边被称为Laplace算子，一般用一个正三角来简写，你可以用二阶导数来理解它。在一小段时间间隔上，这个方程又可以离散化为：
直接含义就是：在每个小时间段内，如果一个点的二阶导数大于0，则把它的浓度增加一些，如果一个点二阶导数小于0，则把它的浓度降低一些。因为二阶导数大于0的点往往是下凹的点，是局部极小值，因此增加它可以让局部浓度变平滑;类似地，二阶导数小于0的点往往是上凸点，是局部极大值，要减少它才能更平滑。
当时间趋向于无穷大时，方程达到稳定，左端为0，那么我们就得到稳定值满足的条件：整个区域上散度为0。也可以理解为最终消灭了所有的源点和汇点，场变得光滑了。
2. 散度在图像去噪中的应用
在图像领域散度算子主要用在去噪中。假设一幅图像为，它的梯度算子是一个二维场，那么我们立即可以用散度算子构造一个扩散方程：
把这个扩散方程作用于图像就可以去噪了，上面已经解释了它的作用过程是比较图像上的每个点，如果一个点值比周围点低，就增加它，如果比周围点高，就减少它，实质就是平滑图像。但是由于它是各向同性的均匀扩散方程，导致图像上所有细节均匀模糊，去噪效果很糟糕。
Perona和Malik在90年代初发现，由于图像边缘往往处在梯度值较大的点处，如果扩散方程在梯度值较大的区域减速扩散，在梯度值较小的区域加速扩散，则可以在着重去噪的同时保护图像有用细节。他们修改后的扩散方程就是有名的P-M方程：
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议