一、知识的拓展延伸与相关史料
1.天元术和四元术
我国古代很早就知道许多实际问题可归结为解方程。《九章算术》中辑录了大量一次方程组的问题，还有涉及一元二次方程的问题.唐代学者王孝通已经会用高次（主要是三次）方程来解应用题.但当时都比较重视特定方程（组）的具体解法研究，至于如何建立这些方程（组），求解的一般原理，则很少涉及. 宋元时期高次方程数值求解技术的发展，必然引起对列方程方法的需求.“天元术”就是在这样的背景下产生的.在传世的宋元著作中，对天元术有较详细记载的是李冶（1192－1279）的《测圆海镜》（1248年）和《益古演段》（1259年）两部著作。天元术与现今代数中的列一元方程解应用题的方法基本上一致.先是“立天元一为某某”，相当于现在的“设x为某某”（天元就是未知数x）；接着根据问题给出的条件列出两个相等的式子；再通过所谓的“同数相消”，把这两式相减，得到一个一端为零的方程. 在天元术中，用算筹来记方程中各项的系数.起初，每一项系数旁都用一个字来表明该项的名称，后来李冶简化了表示的方法，只在一次项旁记上一个“元”字.或在常数项旁记上一个“太”字.13世纪中叶起，天元术的方法被发展推广到多元高次方程组，于是先后产生了二元术、三元术和四元术.
四元术的创始人是13~14世纪间的杰出数学家和数学教育家朱世杰.朱世杰的“四元术”是在高次方程的数值解法以及“天元术”的基础上发展起来的.当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（相当于x）外，还需要增设地元（相当于y）、人元（相当于x）乃至物元（相当于u），再列写出二元、三元甚至四元的高次联立方程组，然后求解。这就是朱世杰在他的著作《四元玉鉴》中所介绍的“四元术”.朱世杰不仅提出了多元（最多到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述方法，而且把《九章算术》等书中四元一次联立方程解法推广到四元高次联立方程.在欧洲，解联立一次方程开始于十六世纪，关于多元高次联立方程的研究还是十八、十九世纪的事。
李冶发展总结的天元术和朱世杰创立的四元术实际上已是一种半符号式的文字代数，它比古希腊和印度数学中使用缩写文字记号来记述方程的简字代数又向前迈进了一步。这是我国对世界数学的一大贡献.
2.韦达对方程理论的贡献
韦达（1540―1603），法国数学家，是16世纪最伟大的数学家。他第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系.
韦达认真研究了前人的代数著作，发现其中所讨论的方程都是各种特殊类型的具体数字系数的方程。
例如，卡丹的《大术》中方程的种类多达66种，每一种方程都要给出一个特别的解法.韦达想到，特殊类型的方程种数不计其数，对每一种都加以研究既烦琐又无必要.他努力寻求一种表达各种代数方程及其解法的高效率的通用方法.这种方法就是系统地用字母表示数，把方程写成字母系数的一般形式.
韦达的《分析术引论》（1591）是数学史上的第一部符号代数著作。在此书中，韦达不仅用字母表示未知数及其幂，而且用字母表示方程中各项的系数。他用元音字母表示未知数.用辅音字母表示已知数.不过韦达当时使用的数学符号还较少，有些表达方式与现代写法不尽相同.而且在记述代数式或方程时常采用字母、符号与文字语言混用的形式.
韦达在代数中系统地使用字母和符号后，就把这种符号式的代数称为“类（相当于式）的计算术”，以区别于“数的计算术”，并以此作为算术与代数的分界线.从此代数的面貌焕然一新，成了研究一般类型的式和方程的学问。
3.丢番图的功绩
丢番图（公元3－4世纪），古希腊数学家。对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少.但在一本《希腊诗文选》（这是公元500年前后的遗物，大部分为语法学家梅特罗多勒斯所编辑，其中有46首和代数问题有关的短诗）中，收录了丢番图的墓志铭，流传至今。
丢番图对代数学和数论的发展起了极其重要的作用和深远的影响.他有几部著作，最重要的是《算术》，还有一部《多角数》，另一些已遗失.《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大，可和欧几里得的《原本》相媲美，原为十三卷，现仅存六卷.丢番图的《算术》是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程.现在对于只考虑其整数解的整数系数的不定方程，就叫做丢番图方程，它是数论的一个研究分支.不过丢番图当时并
不要求解答是整数，而只要求是正有理数.从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围.代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算.就引人未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想（虽然当时未有现代方程的形式）这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数.丢番图最早系统地使用了代数符号，他使用的那套符号系统是代数学上的重大进步，也是欧洲符号代数的先驱.希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的.为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣.一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都需要几何模式的解释。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊.他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题.他在解代数问题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜.因此他被后人称为“代数学之父”。
4.方程模型
实际生活中的很多问题与数学有关，我们需要将实际问题转化成数学问题，通过解决相应的数学问题去解决实际问题，这就是数学建模的意义。数学模型的建立是一个“实际——数学—一实际”的过程.数学建模重在“建”，在现实生活中面临的实际问题，往往难于表述成数学的形式，需要通过数学建模的学习和实践，将实际问题抽象成数学问题。
方程是一种重要的数学模型，在实际问题中很多问题可以通过方程解决，如行程问题、工程问题、增长率问题等。建立方程模型的关键是出问题中的相等关系，通过列表、画图等方法能清楚地分析复杂问题中的数量关系，多角度地分析问题，发现列出方程的依据.得到方程的解后，一般应检验它是否符合实际问题的意义.
5.同解方程
如果两个方程的解完全相同，那么它们叫做同解方程。
方程的同解原理1：方程的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程。老河口实验小学
方程的同解原理2：方程的两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的方程与原方程是同解方程。
一元一次方程解法的一般步骤中的各步（去分母、去括号、移项、合并同类
项、系数化为1等）都可以使所得方程与原方程同解。
6.应用题的算术解法与代数解法
从小学到中学，数学课程最显著的变化，是从主要学习算术过渡到对代数和几何的学习。从发展的角度看，代数学是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的.首先扩大了数的范围，其次在用字母表示数的基础上，应用“运算律”和等式、不等式的基本性质等研究代数式、方程和不等式等。在小学和中学的数学课中，都有解应用问题这一内容.在小学基本使用“算术解法”，而在中学多用“代数解法”.下面通过实例，来比较一下这两种解法的不同.
问题：设有5元和10元的人民币共12张，共计85元，问：其中5元、10元的人民币各几张？
【算术解法】若12张人民币全部是5元的，则共计5×12=60（元），与总和相差85-60=25（元）.
现在让我们逐次用一张10元的人民币去换一张5元的人民币，使得总张数保持不变，每换一次，总值将增加10-5=5（元），那么换几次才能补足总差额25元呢？这只要做一次除法就行了，即25÷5=5，所以答案是：10元人民币的张数=（85-60）÷（10-5）=25÷5=5，5元人民币的张数=12-5=7.
【代数解法】设10元人民币的张数为x，则5元人民币的张数为12-x.根据题意，列方程10x+5（12-x）=85，得x=5.
在算术解法中，我们需要一定的准备工作，需要先作假设，当假设与已知发生矛盾时，再纠正；在代数解法中，我们通过引进一个未知数x表示问题中待求的量，然后把未知数代入问题中，直接由题意列出方程，再用运算律和等式的性质，求出方程中未知量x的值.
把两种解法加以比较可以看出，算术解法的思维过程相对复杂，所列的每个式子中只有已知数或已求出的数；而代数解法在思维上是一种正向思维，依题意“翻译”成数学语言，即列出方程，其中不仅有已知数也有未知数，然后再利用“运算律”和“等式性质”，求出方程中未知数应有的值.
一般说来，算术解法的公式和理由，由问题的类型不同而不同.但代数解法的基本原理有效地利用了“相等关系”“运算律”和“等式性质”，所以代数解法具有普适性.当问题越复杂时，代数方法的优越性就越明显.所以说，从算式到方程是数学上的一个进步。
二、拓展性问题
1.用方程研究钟表中的问题
钟表是日常生活中的计时工具.我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容，例如，我们可以思考在0时到12时之间，钟表上的时针与分针在什么时候成60°的角？秒针与时针共有几次成60°的角？
分析：将上述问题看成圆周上的追击问题.设分针的速度是1单位长度/min ，则时针的速度是112
沈晗耀
vc 网络编程单位长度/min ，将分针与时针看成是在环形跑道上同时（从0时开始）同向而行，求两者相距10单位长度所用的时间.
【略解】设从0时开始，过x min 后时针与分针成60°的角，此时分针比时针多走了n （n =0，1，2，3，…，11）圈，则x -12x =60n +10或x -12
x =60n +50，从而解得满足题意的22个解；0时到12时之间，秒针比时针多走了719圈，共有719×2=1 438次成60°的角.
栓塞>虹膜识别系统2.盈不足问题
在介绍“盈不足问题”前，先讲一个杨损考吏的故事。
杨损是我国唐代一位清正廉明的官员。有一次，他打算从属下某部门的两名官吏中选拔出一个提升.对他俩的资历、职位和政绩等作了一番考察、评比之后，发现两人情况不相上下，难分高低。究竟提升谁好呢？主管这项工作的官员感到很为难，一时决定不下，于是去请示杨损.杨损听了介绍以后，想出了一个方法，他说：“本部门办事所最需具备的技能，莫过于计算了，现在我出一道算题考考他们的计算能力.”这道题是这样的：
“有人于黄昏时分在林中散步，无意中听到几个盗贼在分赃，偷的大概是布匹.只听得盗贼说，如果每
人分6匹，就余5匹；如果每人分7匹，就差8匹.试问有几个盗贼在分多少匹布？”
杨损将这道题说给两名候选官吏，要求把题目记下来，并且当场演算。同时，杨损还宣布：
“谁先算对答案，就提拔谁.”
mask过了一会儿，其中一名官吏呈上了正确答案：“共有13个盗贼，83匹布。”于是，他马上就被宣布得到提升.由此，杨损也得到了清正廉明，办事公道，任人唯贤的好名声。
以上杨损考吏所提出的这类问题，就是我国乃至世界数学史上很有名的“盈不足问题”
“盈不足问题”作为我国数学的古典名题，在2000多年前的《九章算术》一书中就有很多详尽而深刻的阐述。它的典型形式，如书中的“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、物价各几何？
题意是：有若干人一起买鸡.如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱.买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？
请用方程解上述问题，并归纳求解“盈不足问题”的方法.
3.与托尔斯泰有关的数学问题
俄罗斯文学家列夫·托尔斯泰是《战争与和平》《安娜·卡列尼娜》《复活》等世界文学名著的作者.据说列夫·托尔斯泰在文学工作之余对数学也很感兴趣，他还写过一本算术课本。下面有三道与列夫·托尔斯泰有关的数学题，试用方程求解。
（1）在物理学家辛格尔的回忆录里，曾提到列夫·托尔斯泰很喜欢的一道数学题：
一组割草人要把两片草地的草割完，两片草地一大一小，大的比小的大一倍.大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完；另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，这一小块次日又由一人去割，割完恰好需要一天工夫.这组割草人共有多少？
（2）下面一道题是列夫·托尔斯泰与少年朋友在一起时出的.
一只天鹅在天空中飞翔时遇到了一天鹅，它向这天鹅问好：“你们好啊，100只天鹅.”这天鹅回答说：“我们不是100只，但是如果以我们这么多，再加上一个这么多，再加上我们的一半，再加上我们的一半的一半，你也加进来，那么我们就是100只了。”这天鹅有多少只？
（3）当列夫·托尔斯泰这位文学巨匠逝世后，一道关于他的数学题悄然传开：伟大的文学家托尔斯泰活了82岁，他在19世纪比在20世纪多活了62岁，他是哪一年生的？哪一年逝世的？
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