一元二次方程，就是只有一个未知数
且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0 定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。
一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要
有等号，且分母里不含未知数。 (4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）
补充说明
1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法) 2、该部分是中考的热点。 3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理） 4、方程两根为x1，x2时，方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得) 5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。
一般式
ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0) 例如：x^2+2x+1=0
配方式
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
两根式（交点式）
a(x-x1)(x-x2)=0 一般解法
1.分解因式法
（可解部分一元二次方程） 因式分解法
又分“提公因式法”、“公式法
（又分“平方差公式
”和“完全平方公式
”两种）”和“十字相乘法
”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 如 1.解方程：x^2+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0 解得：x?= x?=-1 米非司酮
2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0 解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0 即 x-3=0 或 x+1=0 ∴ x1=3，x2=-1 3.解方程x^2-4=0 解：（x+2）（x-2）=0 x+2=0或x-2=0 ∴ x?=-2，x?= 2 十字相乘法公式： x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例： 1. ab+b^2+a-b- 2 =ab+a+b^2-b-2 =a(b+1)+(b-2)(b+1) =(b+1)(a+b-2) 2.公式法
（可解全部一元二次方程） 首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中） 2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2 3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根 当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a 来求得方程的根
（可解全部一元二次方程） 如：解方程：x^2+2x－3=0 解：把常数项移项得：x^2+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 因式分解得：（x+1)^2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当
4.开方法
（可解部分一元二次方程） 如：x^2-24=1 解：x^2=25 x=±5 ∴x?=5 x?=-5
5.均值代换法
（可解部分一元二次方程） ax^2+bx+c=0 同时除以dna双螺旋a，得到x^2+bx/a+c/a=0 设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0) 根据x1*x2=c/a 求得m。 再求得x1, x2。 如：x^2-70x+825=0 均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m≥0) x1*x2=825 所以m=20 所以x?=55， x?=15。 一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到） 一般式：ax^2+bx+c=0的两个根x?和x?的关系： x1+x2= -b/a x1*x2=c/a
如何选择最简单的解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法） 2．看是否可以直接开方解 3．使用公式法求解 4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序： 1.ses因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法
例题精讲
1、开方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方
法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n 例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)^2=7 3x+1=±√7 x= ... ∴x1=...,x2= ... （2）解： 9x^2-24x+16=11 (3x-4)^2=11 3x-4=±√11 x= ... ∴x1=...,x2= ... 2．配方法：
例1 用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x^2-4/3x=2/3 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-4/3x+( -2/3)^2= 2/3+(-2/3 )^2 配方：(x-2/3)^2=10/9 直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3 ∴x?= , x?= . ∴原方程的解为石家庄东方美术职业学院x?=,x?= . 3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。 当Δ=b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根） 当Δ=b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根） 当Δ=b^2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a （两个虚数根）（初中理解为无实数根） 例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8，c=5 b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= (4±√6)/2 ∴原方程的解为x?=(4+√6)/2,x?=(4-√6)/
2. 4水泥预制u型槽排水沟．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 (3) 6x^2+5x-50=0 (选学） (4)x^2-4x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x?=5,x?=-2是原方程的解。 (2)解：2x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x?=0，x?=-3/2是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。 (3)解：6x^2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解。 (4)解：x^2-4x+4 =0 (x-2)(x-2 )=0 ∴x?=2 ,x?=2是原方程的解。
小结
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将
方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
课外拓展
一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0)。在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数，使 x1+ x2 =b,x1·x2=1,x^2-bx+1=0, 他们再做出解答 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。 在公元
前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。 十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
判别方法
一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作
为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式
，二次三项式，二次函数，二次曲线
等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力
、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想
，渗透数学的简洁美。 教学重点：根的判别式定理及逆定理
的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 二、学情分析 学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究 作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。 三、教学目标髋骨 依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，教学目标是： 知根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号"△"
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