关于丢番图方程x^2＋y^2=2z^2
关于丢番图方程x"+Y"一2z"
骨州一七四煤田地质勘探队子弟学校邓渡
在研究丢番图方程(Diophalatine
《qt=~ltiQn)x'+y'=z'中，我们发现，研
盖番图方程x'+=2z明显的整数
解有x:k,Y=k,z=k.并且当n是奇数
对，还有解x=k,y=一k,z=0，这里k表
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示任一整数，我们称这墅解为平见解.理在
的问题是除了这些平凡解外，它是否还有
其它解，或番为非平凡解呢?
下面的定理1将表明n=2时，丢番嘲方
而K=D—K.，代^上式，得
CD+1=(D—K)?10,
(10'一C.)D一1=K{n
取C=10'一C,,
程x+y=2z有非平凡解.
质量管理体系的意义定理l丢番图方程x.+,=2z
的所有整数解均可由
x=±(m一n+2ran)k,】r±《m0一
n.一2ran)k,z=±(m+n.)盘
x=±(irl一n一2ran)k,y=±(m0—
丁香小慧11+2mn)k,z=±(m+n.)k表也，这里
垮整数或零,m,n是整数，且m>n>
0,(m,n)=1,m,n～奇一锅.
先给出
荸l理1Ⅲ方程x.+.崤冠(x,
CD一1K?i0(6)
显然,C=}0一C是整数，并且出(6)
刊别法t自然数N=10a+b被D(D
与10Ni素)整除的充要条件是I=a+bK赦
D接除.
今后我们称这种判剐自然数N能否被【]
墼豫的方法为D的(n.K)f另【J法.
CD+1=K1O
故
N一^f.10=(】Oa4-一(a+bK)10
=一(K10一1)b=一CbD
所以,K—MlO能被【整除，又D与10互
素，故N能被D整除的兔要条件是M能被1O 整除.证毕.
类似地，可以证明下f
判别按1自然数N=1,0a4-b被D(D
与10互索)整除的亮要条件是M:a—bK
被D整除.一'
今后，我们称这种判别自然数N船否被
D整除的方法为D的(n.一K)判别法.
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例1尹f别48345882能否被l3整除?
由表I知13有(1.4).(1.一9),(2,3).
(2.一10),(3.12),(3，一1).……等判别
法，其中<1.4),(23),(3，一1)等判别法
使用时计算量较小.
.
48345882
47463
(2.3)法+189 (63x0)
663
(1,4)法I2……(3×4)
78
因为78能被13整除,..屯原数能被l3整除. 利用这个判别法，极翳导出一系列除
性的特辣判别法，如
1.N=a】l0+az10'一+…+a一【10
+a能被3或9整除的充要条件是M=c+
a+…+a能被3或9整除.
2.K=I10+a10'十…+a【10
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+a能被l1整除的充要条件是M=(a4-as
+a5+…)一(a2+a'+咀6+…)能被11整除.
y)=1,X>0,Y>0,z>0,21x的全部
解可表为x=2ab,y=a一b,z=a十b.
这里a>b>0,(a,b)=1,b一奇一偶
定理1的汪明:'
设(X,y):k,
x=k¨ykY】,
X十Y.=2z得
k是正整数或零.争
则x"Y1)=1，代入
Yi=2(一})(1)
左边是整数，从而2(一}必为整数，由此
易推知÷也是整数.
设÷=z，代入(1)得
x{+y{=2zi
由.(2)变形得
(xl+YI)=2(zi+x1YI)
(2)
所以x1+y1E0(rood2)，从而xl～y =(xjYI)一2yIE0(mod2).设X1+Y =2XI，盖1Y1=2Y1，解得xJ=Xl+Yj, .
=
X1一YI，代入(2)得
(XJ+Y1)+(Xj—Y1)=2zi
2X{+2Y}=2z{
印X{+Yj=z{
由于(xI-Y1)=1,
由引理1可知t
XI=±2mi1,Yl=
zI=±(m+12.)或
X1±(m～rl.),
zI±(m+Ⅱ)
(Xl,Y1)=1,
±(in.一12.),
YI=±2mn,
这里m>n>0,(m,n)=1,m,n一奇一偶.
所以
xl=±((m.一12)+2mn),
YI=±((m一12)～2mn),
z1;±(m+12)或
x1='±((m—12)一2ran),
y1±【(m一n.)+2mn),
zI=±(m十n)
因此,
工：士(m一n十2mn)k.
Y=±(m一n一2mn)k.
z±(122+12.)k，或
x=(m.一12～2_丑)k,
,=±(m一n+2ran)k,
z=±(m+n)k
这里m>n>O,(m,n)=1,m,n一奇一
偶,k是正整数或零.
定理l吐毕.
下面我们用初等方法证明
x+y=2z.只有平凡解.
先仿照[2](可去掉(a,b)=1的限
制)证明.方程z.=2a(a+3b.)只有解
a=0,b=k,z=0}a=k,b=±k,z=2,
k是整数.且易证得
目『理2丢番图方程a(a十3h)=z只有解a:0,b=k,z:O}ak,b=O,
z:k,k是整数.,
定理2丢番图方程x草'.2z.只
有凡平解,x=a,y=a,z=a;x=a,Y=tpa
～
a,z=0，这里a表示整数.
证明设(x,y)=b，则x-bx1,=
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