方程之思
——从丢番图到韦达
□孙敏洋
请看第13页思维导图的第一分支，用字母表示数是代数学的源头，这里面究竟有怎样的历史故事呢？我们都知道，数量和数量之间的关系，人类最初是用文字表达的，例如：每本书的价钱×4是4本书的价钱，每个班的人数×4是4个班的人数，每个苹果的质量×4是4个苹果的质量。用汉字来表达，显然比较繁琐。因而古希腊数学家丢番图想到了用“缩写”的方法来表示，按照丢番图的方法，这里的“每本书的价钱×4”，取“价”发音的第一个字母，表示成“j ×4”。那么其他两个，就分别表示为“r ×4”和“z ×4”。丢番图用字母缩写来表示数量间的关系，虽然简洁了，但每个字母都表示特定的意思，不能把j ×4和r ×4等同，所以，并没有给数学家研究数学带来更多简便。一直到16世纪，法国数学家韦达想，如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉，不都是一个数和4相乘吗？也就是可以表示成：□×4，而韦达就表示成了a ×4。这儿的a 不表示任何具体的意义，和“□”一样，只是一个符号而已。自从韦达把字母当作符号来表示数之后，数学，尤其是代数学得到了快速发展。小朋友，说出来你可能都不信，从丢番图用缩写方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数，中间用了1200多年！万事开头难，正是因为无数数学家百折不挠、呕心沥血献身数学，才有人类当下璀璨的数学文明。
小朋友，本学期我们又解锁了一个新技能：方程。它会帮助我们轻松解决一些复杂的实际问题。具体来说，我们学习了用字母表示数，含有字母的式子，解方程。看上去内容很多，但这其实仅仅算是方程入门，而我更愿意称之为：代数入门。是的，你没看错，用字母表示数、含有字母的式子以及方程，正是打开“代数学”大门的钥匙，我们以后会在初高中，甚至大学，进一步学习代数，感受它的无限魅力。今天，我们就来梳理一下所学，为将来做好扎实准备吧。
用字母表示数
代数入门
历史
怎样的数
解方程
赛巴安解：设未知数
分析等量关系
列方程
解方程
文字
字母缩写/丢番图
未知确定数
数
量数量关系
每个苹果的质量×4
j ×4r ×4
z ×4
a /□×4
扑克牌中，A 表示1，J 表示11，Q 表示12，K 表示13
2，4，6，8，x ，12x ＝10
1只青蛙1张嘴，2只青蛙2张嘴，3只青蛙3张嘴……y 只青蛙y 张嘴
合唱团有男生x 人，女
生的人数是男生的2倍多5人女生的人数是中草药提取物
（2x ＋25）人乘法分配律a （b ＋c ）＝a b ＋a c
长方形面积S ＝a b
长方形周长C ＝2（a ＋b ）
含
有字母的式子
根据（等式的
性
质
）列方程
解
决
实
际
问
题
同一个数，等式仍然成立等式两边都加上（或减去）
同一个不为0的数）
，等式仍然成立等式两边都乘同一个数（或除以每
诺基亚5000刷机本
书的
价钱×4每个
班的人数×4字母（符号）/韦达
1200多年
已
知
确定数
变
化
的数
集美大桥
公
式
/运
算律
狐狸之歌等量
关
系
妈妈的年龄是（a ＋25）岁
小红
a 岁，妈妈比小红大25岁25元
可以买5张儿童票
设1张儿童票
x 元，则5x ＝25
那么，用字母表示的究竟是怎样的数呢？应
该说，字母可以表示所有的数，但究竟用不用字
母表示数，则取决于人的需要。扑克牌中，用A
表示1，J表示11，Q表示12，K表示13，这是
用字母表示已知确定数，可以说是一种扑克牌文
化。我们平常的数学练习中，会看到这样的题：
2、4、6、8、x、12，问x是多少？这是用字母
表示未知确定数，x就相当于（），是出题的需要。而1只青蛙1张嘴，2只青蛙2张嘴，3只青蛙3张嘴……y只青蛙y张嘴，青蛙的只数不断变多，嘴的数量也随之不断增加，说不完，用字母可以表示所有的情况，这是用字母表示变化的数。
用字母表示数的巨大意义更多地体现在，不仅可以用含有字母的式子表示数量，还可以表示数量关系、公式、运算律和等量关系。例如：合唱团有男生x人，女生人数是男生人数的2倍多5人，那么2x＋5既可以表示女生的人数，又可以表示女生人数与男生人数之间的关系。乘法分配律用字母表示为：a（b＋c）＝a b＋a c；长方形面积计算公式用字母表示为S＝a b，周长计算公式用字母表示为C＝2（a＋b），其中a表示长方形的长，b表示长方形的宽；当然，可以用含有字母的式子表示的公式、运算律远不止这三个。
等量关系其实是数量关系的一种，为什么要单独列出来呢？因为我们的主角：方程，就是根据等量关
系列出来的。例如：25元可以买5张儿童票，这里面蕴含的等量关系是：5张儿童票的价格等于25元，如果设1张儿童票是x元，那么5x＝25。当然，题中的等量关系有时不是那么明显，需要我们好好审题，细细思考。
列方程解决实际问题的步骤可分为四步：第一，需要用字母表示合适的未知数；第二，仔细审题，分析等量关系；第三，用含有字母的等式表示出等量关系，即列方程；第四，根据等式的性质解方程，等式的性质即：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。因为和以往的递等式计算格式不一样，你在解方程时要注意格式的规范性。
小朋友，短短一个单元方程的学习，跨越了人类上千年的数学探索发展史，是无数数学家的智慧结晶。我们现在回顾历史，学习智慧，就好似站在巨人的肩膀上，可以看得更远。也期待你在继承知识的同时，把百折不挠、勇于探索的精神也继承下来，在学习中不怕吃苦，不怕失败，不断成长。
（作者单位：北京外国语大学附属苏州湾外国语学校）
昨晚没睡好
小灵通：“我昨天晚上没睡好！”
豆豆：“怎么了？”
小灵通：“临睡前，我打死了一只蚊子。”
羟基磷酸钙
豆豆：“蚊子都被你打死了，那睡得应该很香啊！”
小灵通：“是啊！我也是这么想的。可就在我刚刚入睡时，外面飞来了一大蚊子给他开追悼会，最后居然还搞了
个大聚餐！”
最大的面积
一个地主要用篱笆围出一块土地，想用最少的篱笆围出最大的面积。
他请了建筑设计工程师、物理学家和数学家来帮忙。
工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，说：“假设篱笆有无限长，围起半个地球，面积够大了吧？”
数学家听后，没说话，只见他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。”
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