蔡新华
（湖南文理学院物理与电子科学系，湖南常德 415000）
摘 要：通过分析静电能量的内在含义，对静电能量的几个主要计算公式及其应用条件进行了细致的比较。指出了电势零点的选择对计算公式表述形式的影响。 Analysis and calculation of the electrostatic energy
Cai Xinhua
(Department of Physics and Electronics, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000)
Abstract: Through analyzing the physics meaning of the electrostatic energy, some main calculating formulae of the electrostatic energy and their applied conditions are compared in detail. It is indicated that the expression forms of the calculation formulae of electrostatic energy are influenced by the selection of zero potential.
Keywords: electric charge system; electrostatic energy; zero potential
静电能量的分析与计算是电磁理论研究的重要问题之一。在电磁学中，存在着多个形式不同的静电能计算公式，正确的区分这些公式所表达的物理意义和应用条件，是电磁学教学和研究中应特别引起重视的问题。本文通过分析电磁能量的基本定义，对几个不同形式计算公式的应用条件进行了细致的比较，并讨论了电势零点的选择对计算公式表述形式的影响。诉诸权威
燃烧海洋上的海盗1 静电能量物理意义的分析
电荷体系在聚集起来的过程中，外力反抗电场力做了功，因而电荷体系具有静电能。电荷体系从一种分布状态变成另一种分布状态的过程中外力反抗静电力所做的功等于这两状态间静电能的变化量，因此静电能是一个相对的概念。如果要计算电荷体系处于某种分布状态时的静电能，则必须首先选定参考状态。目前我们通常 河南300万人死亡* 湖南省教育厅科学研究基金项目：02C098
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选定当带电体系的电荷无限分割为许许多多微小部分且这些微小部分彼此分散的相距为无穷远时的状态为参考状态。
若带电体系由若干个带电体组成，则体系的总静电能由各带电体之间的互能和每个带电体的自能组成。把每一带电体看成一个整体，将各带电体从彼此分开无限远移到现在位置的过程中所做的功，等于他们之间的相互作用能。而把每一带电体上的电荷从无限分散的状态聚集起来的过程中所做的功，等于这个带电体的自能。正确的理解了静电能量的这些含义，就能区分各个能量计算公式的差异。
2 几个不同计算公式的分析比较
对于具有n 个点电荷的封闭系统，其相互作用能表述为：
i n i i q ∑==121φ
互W （1）
式中φi 是由系统中除q i 外的n-1个点电荷在电荷q i 所在处产生的电势。将（1）式推广到电荷连续分布的情况，可得到连续分布电荷的能量计算公式：
∫=dv
e ρφ21
W （2） 将（2）式应用到带电导体系，由于导体均为等势体，可得出带电导体系的静电能为： i n i i q W ∑==121φ
互 （3）
此时φi 是所有导体上的电荷（包括q i ）在第i 个导体上产生的总电势。
（1）、（2）、（3）式在推导的过程中有紧密的联系，并且（1）式和（3）式在形式上完全一样，但他们的内在含义有很大的差别。（1）式表达的是电荷间的互能，而（2）、（3）两式表达的是电荷系的总能量。式中的φi 的含义也不相同。要正确理解这些形式相同的公式所具有的不同含义，我们必须紧扣静电能量的定义。在点电荷系统中，由于使用了具有有限电量的几何点粒子模型，而这模型的缺陷是点电荷在其自身所在的几何点处的电势是发散的。因此在（1）式中我们只能将φi 定义为除q i 外其余n-1个带电粒子在q i 处产生的电势。这样做实质上已经除去了将一个点电荷所带的有限电量从彼此无限分散的状态聚集起来的过程中所做的功，即点电荷的自能。因此（1）式所表达的是点电荷间的互能。在（2）式中，实质上我们已将带电体上的电荷无限分割，并且公式所表达的是将这无限分割后的电荷从彼此无限分散的状态聚集起来的过程中所做的功，因此它所表达的就是总静电能了。将（2）式应
用于导体系得到了（3）式，虽然（3）式和（1）式在形式上完全一样，但两式中的φi 已有很大差别。
由于导体系中各导体我们均认为它们具有一定的体积，因此某导体上的电荷在其自身处产生的电势不再发散。而且在利用（2）式导出（3）式需要用到导体为等势体的条件，某导体为等势体是指空间的所有电荷（包括该导体自身的电荷）在该导体上所产生的电势为常数，因此（3）式中的φi 是所有电荷在第i 个导体上产生的电势，故（3）式所表达的也就是带电导体系的总静电能。
3 静电能量计算与电势零点的选择
计算静电能量时从电荷的角度考虑我们得到了：
∫
=
dv w e φρ21 （4） 从场的角度考虑可以得出： ∫→→⋅=dv D E w e 2
1 （5） 在静电的情况下（4）（5）两式所表达的均为电荷体系的总静电能。其中 →→⋅D E 2
1为静电场的能量密度，而ρφ2
1没有这种含义。这是我们熟知的事实。利用它们计算静电能量时，由于电势是一个与参考点的选择有关的量，而电场强度并不与参考点的选择有关，这样是否会使得计算结果不一致呢？为了正确的理解这个问题，我们不妨观察一下这两式的联系。在（5）式中，利用，可以将其写成：澳门科技大学2020年本科招生
φρφφ+⋅−∇=⋅−∇=⋅→
→→→)(D D D E ∫∫+⋅∇−=→dv dv D e φρφ21)(2
1W ∫∫+⋅−=dv s d D φρφ2121r r （6） 由于我们讨论的是体系的总能量，故体积分是对全空间积分。因此上述等式右边的面积分是对无穷大的面进行。对于有限的电荷分布体系可以选取无穷远处的电势为零，从而得到（4）式。由此可以看出，要使（4）（5）两式等价，实际上已将电势的零点确定，而电势零点的这种选择方法则是与前述的电荷体系静电能量的参考状态的选择是一致的。因此，当我们按前述的规定选定了能量的参考状态后，对于实际的电荷分布来说电势零点已经被唯一的确定，即无限远处电势为零。这样（4）（5）两式的计算结果将是一致的。而对于许多电磁学著作中经常例举的无限大电荷分布情况，我们应该将它们视作一种理想模型，对于这样的电荷分布，无论采用哪一种
方法计算静电能，均得不到有意义的结果。
参考文献贝克曼重排
1 赵凯华，陈熙谋. 电磁学[M]. 北京. 高等教育出版社. 1985.
庄逢甘2 H.G.布克. 电磁场中的能量[M]. 北京. 高等教育出版社. 1988.
3 J.A.Stratton. Electromagnetic Theory. McGraw-Hill bookcompany[M]. New York.
1981.
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